浙江省台州市2024届高二数学第二学期期末调研试题含解析

浙江省台州市2024届高二数学第二学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线上的点到直线的最短距离为()A． B． C． D．2．在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为,则在内取值的概率为（）A． B． C． D．3．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有A．5种 B．10种C．20种 D．120种4．双曲线的渐近线方程是A． B．C． D．5．一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知，）A． B． C． D．6．指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（）A．推理的形式错误 B．大前提是错误的 C．小前提是错误的 D．结论是真确的7．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量，若，则.其中所有正确命题的序号是（）A．② B．①③C．②③ D．①②③8．函数的大致图象是（）A． B．C． D．9．的二项式系数之和为（）．A． B． C． D．10．已知，，，则（）．A． B． C． D．11．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．812．已知随机变量，若，则，分别为（）A．和 B．和 C．和 D．和二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”．14．已知棱长为的正方体中，，分别是和的中点，点到平面的距离为________________．15．已知向量与互相垂直，则________．16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差．18．（12分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长大于21小时，则称为“过度用网”（1）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（2）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（3）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望E.19．（12分）设函数.（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的值域.20．（12分）设函数.（1）化简：；（2）已知：，求的表达式；（3），请用数学归纳法证明不等式.21．（12分）已知在平面直角坐标系内,点在曲线(为参数,)上运动.以为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;（2）若与相交于两点,点在曲线上移动,试求面积的最大值.22．（10分）设，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：设抛物线上点，由点到直线距离公式，得点A到直线的距离，由二次函数的性质，可求最小距离.详解：设抛物线上的任意一点，由抛物线的性质点A到直线的距离易得由二次函数的性质可知，当时，最小距离.故选B.点睛：本题考查抛物线的基本性质，点到直线距离公式，考查学生转化能力和计算能力.2、B【解题分析】

根据，得到正态分布图象的对称轴为，根据在内取值的概率为0.3，利用在对称轴为右侧的概率为0.5，即可得出答案．【题目详解】∵测量结果，∴正态分布图象的对称轴为，∵在内取值的概率为0.3，∴随机变量在上取值的概率为，故选B．【题目点拨】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3、B【解题分析】

根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【题目详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.【题目点拨】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.4、B【解题分析】

由双曲线方程求得，由渐近线方程为求得结果.【题目详解】由双曲线方程得：，渐近线方程为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.5、C【解题分析】

设获利为随机变量，可得出的可能取值有、、，列出随机变量的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望.【题目详解】设获利为随机变量，则随机变量的可能取值有、、，由题意可得，，则.所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为，故选C.【题目点拨】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.6、B【解题分析】分析:指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，若,则是增函数，若,则是减函数所以大前提是错误的。所以B选项是正确的。点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。7、C【解题分析】

根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断.【题目详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有种可能；满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有种可能；根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为，故①错误；对②：对写出通项公式可得，令，解得，即可得常数项为，故②正确；对③：由正态分布的特点可知，故③正确.综上所述，正确的有②③.故选：C.【题目点拨】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.8、D【解题分析】

利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【题目详解】函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C；故选D．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．9、B【解题分析】由题意得二项式系数和为．选．10、C【解题分析】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小11、D【解题分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【题目详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．12、C【解题分析】

利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【题目详解】，，.，，由期望和方差的性质可得，.故选：C.【题目点拨】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、至少有个交点【解题分析】分析：反证法证明命题，只否定结论，条件不变。详解：命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，结论的反面为“与轴至少有个交点”。点睛：反证法证明命题，只否定结论，条件不变，至多只有个理解为，故否定为.14、1【解题分析】

以D点为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解．【题目详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，设

是平面的法向量，则，即，令，可得，故，设点在平面上的射影为，连接，则是平面的斜线段，所以点到平面的距离．【题目点拨】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、1【解题分析】

两向量垂直，其数量积的等于0.【题目详解】【题目点拨】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题．16、1【解题分析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为【解题分析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为，再计算即可．【题目详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件.由题意得(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,显然则；；；；所以的分布列为0123【题目点拨】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题．18、（1）19小时；22小时.（2）（3）分布列见详解；.【解题分析】

（1）根据平均数计算公式，分别计算两组数据的平均数即可；（2）根据二项分布的概率计算公式即可求得；（3）根据题意写出的取值范围，再根据古典概型概率计算公式求得对应概率，写出分布列，根据分布列求得期望.【题目详解】（1）A班样本数据的平均值为，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时.（2）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，根据二项分布的概率计算公式：从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率：.（3）的可能取值为0,1,2,3,4.，，，，.的分布列是：01234P.【题目点拨】本题考查根据茎叶图计算数据的平均值，离散型随机变量的分布列求解以及根据分布列求解数学期望，属综合中档题.19、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将函数的解析式利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式可计算出函数的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范围，再结合正弦函数的图象得出的范围，于此可得出函数在区间上的值域.【题目详解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因为，因为，所以，所以，所以的值域为.【题目点拨】本题考查三角函数的基本性质，考查三角函数的周期和值域问题，首先应该将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，结合三角函数图象得出相关性质，考查计算能力，属于中等题．20、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解题分析】

（1）利用组合数公式化简后可得出结果；（2）由（1）得出，令可得，化简得出，代入函数的解析式，利用二项式定理进行化简得出，于此可得出的表达式；（3）先由（2）中的结论，结合组合数的性质得出，然后再用数学归纳法证明出不等式成立即可.【题目详解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用数学归纳法证明.（i）当时，则有，结论成立；（ii）假设当时，，那么当时，，所以当时，结论也成立.根据（i）（ii）恒成立.【题目点拨】本题考查组合数的性质与计算、以及二项式定理的逆向应用，同时也考查了利用数学归纳法证明数列不等式，证明时要适当利用放缩法进行证明，考查推理能力，综合性较强，属于难题.21、(Ⅰ)曲线的标准方程：；直线的直角坐标方程为：(Ⅱ)【解题分析】试题分析：(Ⅰ)对于曲线，理平方关系消去参数即可；对于极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数得到直线的直角坐标方程．(Ⅱ)欲求面积的最大值，由于一定，故只要求边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于的直线上时，距离最远，据此求面积的最大值即可．试题解析：(Ⅰ)消参数得曲线的标准方程：.由题得：，即直线的直角坐标方程为：