2024届天津市大良中学 数学高二下期末考试试题含解析

2024届天津市大良中学数学高二下期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，均为实数，且，，，则()A． B． C． D．2．在的二项展开式中，的系数为（）A． B． C． D．3．x-2xn的展开式中的第7A．16 B．18 C．20 D．224．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．5．若对任意正数x，不等式恒成立，则实数的最小值（）A．1 B． C． D．6．已知函数在处取得极值，则的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．7．已知等差数列的前项和为，，，则（）A．10 B．12 C．16 D．208．如图，，分别是边长为4的等边的中线，圆是的内切圆，线段与圆交于点.在中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．9．若函数至少有1个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．10．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或11．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（）A． B．C． D．12．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好有2次抽到奇数的概率是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某班有名学生,其中人选修课程,另外人选修课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.14．已知函数且，则____．15．在中，，，分别是角，，所对的边，且，则的最大值为_________．16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，过作，垂足为，的中点为，若，则__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。（1）求椭圆方程；（2）若，试问⊿的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。18．（12分）如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C作与直线BC1平行的平面A1CD交AB于点D．（Ⅰ）证明：CD⊥AB；（Ⅱ）若AA1与底面A1B1C1所成角为60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．19．（12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击局，每局射击次，射击中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望．21．（12分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.22．（10分）设函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出的大小关系.详解：在同一平面直角坐标系中，分别作出函数的图像由图可知，故选B.点睛：解决本题，要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系，解决此类问题时，有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.2、C【解题分析】

因为,可得时，的系数为，C正确.3、B【解题分析】

利用通项公式即可得出．【题目详解】x-2xn的展开式的第7项令n2-9=0＝0，解得n＝故选：B．【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4、B【解题分析】

由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系．【题目详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数，且有，则，，，，且，，由于函数在上为减函数，所以，，因此，，故选B．【题目点拨】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较大小，考查中间值法比较指数式和对数式的大小关系，再利用函数单调性比较函数值大小时，要结合函数的奇偶性、对称性、周期性等基本性质将自变量置于同一单调区间，结合单调性来比较大小关系，考查分析问题的能力，属于中等题．5、D【解题分析】分析：由题意可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值为，从而求得实数的最小值．详解：由题意可得恒成立．

由于（当且仅当时取等号），故的最大值为，，即得最小值为，

故选D．点睛：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．6、A【解题分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，进而求得的图象在处的切线方程.【题目详解】，函数在处取得极值，，解得，，于是，可得的图象在处的切线方程为，即．故选：A【题目点拨】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数求切线方程，属于基础题.7、D【解题分析】

利用等差数列的前项和公式以及通项公式即可求出.【题目详解】，，，，故选：D【题目点拨】本题考查了等差数列的前项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题.8、A【解题分析】

利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式计算出所求的概率.【题目详解】在中，，，因为，所以，即圆的半径为，由此可得图中阴影部分的面积等于，的面积为，故所求概率.故选A.【题目点拨】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题.9、C【解题分析】

令，则函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。【题目详解】由题可得函数的定义域为；令，则，函数至少有1个零点等价于函数至少有1个零点；；（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零点，则，解得：综上所述：实数的取值范围是：故答案选C【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。10、B【解题分析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【题目详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【题目点拨】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．11、C【解题分析】

作，垂足为点D．利用点在抛物线上、，结合抛物线的定义列方程求解即可.【题目详解】作，垂足为点D．由题意得点在抛物线上，则得．①由抛物线的性质，可知，，因为，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故抛物线C的方程是．故选C．【题目点拨】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.12、B【解题分析】

先求出每次抽到奇数的概率，再利用n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式求出结果．【题目详解】每次抽到奇数的概率都相等，为，故恰好有2次抽到奇数的概率是••，故选：B．【题目点拨】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【题目详解】∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.【题目点拨】本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.14、【解题分析】

分别令和代入函数解析式，对比后求得的值.【题目详解】依题意①，②，由①得，代入②得.故填-2【题目点拨】本小题主要考查函数求值，考查对数运算，考查分子有理化，考查运算求解能力，属于基础题.15、【解题分析】

利用正弦定理边化角化简可求得,则有,则借助正弦函数图象和性质即可求出.【题目详解】因为，所以，所以．所以，因为，所以当时，取得最小值．故答案为:.【题目点拨】本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.16、16【解题分析】

由题意画出图形，利用几何知识得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物线方程联立，由弦长公式即可得答案．【题目详解】由题意画出图形如图，，为的中点，且，，则直线的倾斜角为，斜率为．由抛物线，得，则直线的方程为．联立，得．则，．【题目点拨】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线位置关系的应用，以及弦长的求法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）是定值.【解题分析】

(1)根据离心率公式和焦点公式计算得到答案.(2)设点和直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算PQ和点到直线距离，表示出面积，根据化简得到答案.【题目详解】解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为即而所以椭圆方程为（2）设当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆方程得，则，点到直线的距离所以由化简得代入上式得若直线斜率不存在易算得综合得，三角形的面积是定值【题目点拨】本题考查了椭圆的方程的计算，面积的表示和定值问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）连接AC3交A3C于点E，连接DE．推导出BC3∥DE，由四边形ACC3A3为平行四边形，得ED为△AC3B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CD⊥AB．（Ⅱ）过A作AO⊥平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值．【题目详解】（Ⅰ）连接AC3交A3C于点E，连接DE．因为BC3∥平面A3CD，BC3⊂平面ABC3，平面ABC3∩平面A3CD＝DE，所以BC3∥DE．又因为四边形ACC3A3为平行四边形，所以E为AC3的中点，所以ED为△AC3B的中位线，所以D为AB的中点．又因为△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．（Ⅱ）过A作AO⊥平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，设AB＝3．因为AA3与底面A3B3C3所成角为60°，所以∠AA3O＝60°．在Rt△AA3O中，因为，所以，AO＝2．因为AO⊥平面A3B3C3，B3C3⊂平面A3B3C3，所以AO⊥B3C3．又因为四边形B3C3CB为矩形，所以BB3⊥B3C3，因为BB3∥AA3，所以B3C3⊥AA3．因为AA3∩AO＝A，AA3⊂平面AA3O，AO⊂平面AA3O，所以B3C3⊥平面AA3O．因为A3O⊂平面AA3O，所以B3C3⊥A3O．又因为，所以O为B3C3的中点．以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．则，C3（0，﹣3，0），A（0，0，2），B3（0，3，0）．因为，所以，，因为，所以，，，，．设平面BA3C的法向量为＝（x，y，z），由得令，得z＝3，所以平面BA3C的一个法向量为．设平面A3CC3的法向量为＝（a，b，c），由得令，得b＝﹣2，c＝3，所以平面A3CC3的一个法向量为．所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值为．【题目点拨】本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．19、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【题目详解】（1）在棱上取一点，使得，连接，，因为，，所以，所以.又因为，，所以，，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，所以，.设平面的法向量为，则，即，取，则.又平面，所以平面的一个法向量为，所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【题目点拨】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20、（1）；（2）分布列见解析，【解题分析】

（1）求出基本事件总数，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率；

（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.【题目详解】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，

基本事件总数，

这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数.

∴这2局的得分恰好相等的概率；

（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，

则X的可能取值为13，15，16，18，

，

，

，

，

∴X的分布列为：

∴X的数学期望为.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（