2024届山东省胶州市第一中学数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届山东省胶州市第一中学数学高二第二学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合满足，则集合的个数为A． B． C． D．2．如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A． B． C． D．3．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．-3 B．0 C．3 D．20194．圆与圆的公切线有几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是()A． B．C． D．6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．7．8张卡片上分别写有数字，从中随机取出2张，记事件“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则（）A． B． C． D．8．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A． B． C． D．9．已知向量，，且，若实数满足不等式，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．设函数，若，则实数a的值为（）A． B． C．或 D．11．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．12．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数______.14．已知随机变量服从正态分布X∼N(2,σ2)，若P(X<a)=0.32，则P(a≤X<4-a)15．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．16．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.18．（12分）已知（其中且，是自然对数的底）.（1）当，时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若且关于的不等式在上恒成立，求证：.19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于点，若点的坐标为，求的值．20．（12分）设函数f(x)=|x+a|+|x-a|.（1）当a=1时，解不等式f(x)≥4；（2）若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求a的取值范围．21．（12分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．22．（10分）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为，，且和的分布列为：012012试比较两名工人谁的技术水平更高．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可详解：集合，集合满足，则满足条件的集合的个数是故选点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。2、C【解题分析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.3、B【解题分析】

根据题意，由函数的奇偶性分析可得，函数是周期为4的周期函数，据此求出、、的值，进而结合周期性分析可得答案.【题目详解】解：根据题意，是定义在上的奇函数，则，又由，则有，即，变形可得：，即函数是周期为4的周期函数，是定义在上的奇函数，则，又由，则，故.故选：B.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.4、C【解题分析】

首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.【题目详解】圆，圆心，，圆,圆心，，圆心距两圆外切，有3条公切线.故选C.【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.5、A【解题分析】由，即，从而，令，则由得，，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，可得或，又，因此成立，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.6、C【解题分析】

根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【题目详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【题目点拨】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.7、C【解题分析】

利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可得出答案。【题目详解】事件为“所取张卡片上的数字之和为小于的偶数”，以为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、、、、，共个，由古典概型的概率公式可得，事件为“所取张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概型的概率公式可得，因此，，故选：C。【题目点拨】本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。8、D【解题分析】试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B选项；当x∈[0,2]时，y'=4x-ex有一零点，设为9、A【解题分析】分析：根据，得到，直线的截距为，作出不等式表示的平面区域，通过平推法确定的取值范围.详解：向量，，且，，整理得，转换为直线满足不等式的平面区域如图所示.画直线，平推直线，确定点A、B分别取得截距的最小值和最大值.易得,分别将点A、B坐标代入，得，故选A.点睛：本题主要考查两向量垂直关系的应用，以及简单的线性规划问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用.目标函数型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值．（3）将平移，观察截距最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标．（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z．10、B【解题分析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为，所以所以选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.11、D【解题分析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【题目详解】则故选：D【题目点拨】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.12、A【解题分析】易知在上恒成立，在上单调递减，又.本题选择C选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由，求导，再根据点处的切线与直线平行，有求解.【题目详解】因为，所以，因为点处的切线与直线平行，所以，解得.故答案为：【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14、0.36【解题分析】P(X<a)=0.32,∴P(X>4-a)=0.32,∴P(a<X≤4-a)=1-2P(X<a)=1-2×0.32=0.36.15、【解题分析】分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设，从而即可计算.详解：记中点为E，并连接，是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，设，，.故答案为.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．16、19【解题分析】按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1．【解题分析】分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出；（2）由，利用裂项求和法求出，由此能求出满足要求的最小整数.详解：（1）当时，当时，符合上式综上，（2）所以由对所有都成立，所以，得,故最小正整数的值为.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．18、（1）;（2）当或时，最小值为，当时，最小值为;（3）见解析.【解题分析】

（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再写出切点坐标，就可以写出切线方程．（2）当时，，求导得单调性时需要分类讨论,,，再求最值．（3）将恒成立问题转化为在上恒成立，设，，求出，再令设，，求最大值小于，进而得出结论．【题目详解】解：（1），时，，，，，函数在处的切线方程为，即.（2）当时，，，令，解得或，当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，；③当时，即时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，．综上所述：当或时，最小值为；当时，最小值为.（3）证明：由题意知，当时，在上恒成立，在上恒成立，设，，，在上恒成立，在上单调递减，，，存在使得，即，因为，所以.当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，，设，，，在恒成立，在上单调递增，，在单调递增，，．【题目点拨】本题考查导数的综合应用，考查了最值问题，考查了不等式恒成立问题.若要证明，一般地，只需说明即可；若要证明恒成立，一般只需说明即可，即将不等式问题转化为最值问题.19、（1）：，C:；（2）【解题分析】

（1）消去参数可得直线的普通方程，再把化成，利用可得圆的直角方程.（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程后利用韦达定理可求的值.【题目详解】（1）由直线的参数方程消参得直线普通方程为，由得，故，即圆的直角坐标方程为.（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得,即，由于，故可设是上述方程的两实根,所以，又直线过点，故由上式及的几何意义得：【题目点拨】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为（其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．20、(1)x∈[2,+∞)∪(-∞,-2](2)a∈[3,+∞)∪(-∞,-3]【解题分析】分析：（1）将a=1代入，分段求解即可；（2）利用fx=|x+a|+|x-a|≥|x+a-详解：（1）当a=1时，不等式fx当x>1时，fx=2x≥4，解得当-1≤x≤1时，fx=2≥4当x<-1时，fx=-2x≥4，解得综上所述，不等式的解集为[2,+∞)∪(-∞,-2].（2）f∴|2a|≥6，解得a≥3或a≤-3，即a的取值范围是[3,+∞)∪(-∞,-3].点睛：含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．21、（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；【解题分析】

（1）根据线段等长首先确定为四面体外接球球心；又底面，可知为正三棱锥；依次以为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱长均相等，可知其为正四面体；（2）由为四面体外接球球心及底面可得到即为所求角；设正四面体棱长为，利用表示出各边，利用勾股定理构造方程可求得，从而可求得，进而得到结果；（3）取