2024届安徽省合肥三十五中高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届安徽省合肥三十五中高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示，给出了样本容量均为7的A、B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．无法判定2．函数的图像可能是（）A． B．C． D．3．设随机变量，若，则（）A． B． C． D．4．的展开式中，系数最小的项为（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项5．已知，，是不全相等的正数，则下列命题正确的个数为()①；②与及中至少有一个成立；③，，不能同时成立．A． B． C． D．6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为，则x、y的值分别为A．7、8 B．5、7C．8、5 D．7、77．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A．15 B．16 C．17 D．188．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．A．420 B．180 C．64 D．259．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（）A． B． C． D．10．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞11．已知，则（）A． B．186 C．240 D．30412．已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A．它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上C．它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，两点间的距离______.14．运行如图所示的程序框图，则输出的的值为_____.15．在二项式的展开式中，的系数为__________．16．定义在上的函数满足，且当若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若方程在上只有三个实数根，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.19．（12分）已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.（1）若，求；（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.20．（12分）已知数列各项均为正数，满足．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．21．（12分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示，但因不小心将部分数据损毁，只是记得女生选择几何题的频率是.几何题代数题合计男同学22830女同学合计（1）根据题目信息补全上表；（2）能否根据这个调查数据判断有的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中.22．（10分）已知函数当时，求函数的极值；求函数的单调递增区间；当时，恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【题目详解】根据两组样本数据的散点图知，组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为应最接近1，组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为，满足，即，故选C．【题目点拨】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.2、A【解题分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可．【题目详解】解：f（﹣x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，由f（x）＝0得sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，则f（）0，排除C，故选：A．【题目点拨】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．3、A【解题分析】

根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果【题目详解】，即，所以，，故选A．【题目点拨】本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键．4、C【解题分析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C。5、C【解题分析】

①假设等式成立，由其推出a、b、c的关系，判断与题干是否相符；②假设其全部不成立，由此判断是否存在符合条件的数；③举例即可说明其是否能够同时成立.【题目详解】对①，假设（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0⇒a=b=c与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，∴①正确；

对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，∴②正确；

对③，举例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同时成立，∴③不正确．

故选C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，利用反证法、分析法等方式即可证明，有时运用举例说明的方式更快捷.6、D【解题分析】

根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【题目详解】组数据的中位数为17，，乙组数据的平均数为，，得，则，故选D．【题目点拨】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.7、C【解题分析】试题分析：由系统抽样的特点—等距离可得，∴3号、17号、号、号同学在样本中.考点：系统抽样.8、B【解题分析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论．详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．9、B【解题分析】由题意，恰有2天准时到站的概率为，故选择B。10、B【解题分析】

利用绝对值三角不等式，得到x-5+x+3【题目详解】x-5x-5+x+3故答案选B【题目点拨】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.11、A【解题分析】

首先令，这样可以求出的值，然后把因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出的会下，最后可以计算出的值.【题目详解】令，由已知等式可得：，，设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：；设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：，，所以，故本题选A.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.12、D【解题分析】由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解题分析】

求出的大小，得出A,O,B三点共线，即可求解.【题目详解】设极点为O，由题意可知即A,O,B三点在一条直线上所以【题目点拨】本题主要考查了极坐标的性质，要清楚极坐标的含义，属于基础题.14、【解题分析】

模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【题目详解】运行该程序框图,，满足执行程序满足执行程序满足执行程序不满足,故输出.故答案为【题目点拨】本题考查了程序框图的运行问题，准确计算是关键，是基础题．15、.【解题分析】

由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【题目详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【题目点拨】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．16、【解题分析】

先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m取值范围，即得结果.【题目详解】因为当时为单调递减函数，又，所以函数为偶函数，因此不等式恒成立，等价于不等式恒成立，即，平方化简得，当时，；当时，对恒成立，；当时，对恒成立，（舍）；综上，因此实数的最大值是.【题目点拨】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解题分析】分析：（1）由二倍角公式对函数化一，得到值域；（2），则，根据三角函数的图像得到或，解出即可.详解：（Ⅰ）解法1：=，函数的值域为.解法2：=，函数的值域为.（Ⅱ），则，或，即：或.由小到大的四个正解依次为：，，，.方程在上只有三个实数根.，解得：.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．18、(1)见解析；(2)见解析【解题分析】

（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.【题目详解】解：（1），，当时，，当时，，当时，；当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当，即时，函数在内有无零点；当，即时，函数在内有唯一零点，又，所以函数在内有一个零点；当，即时，由于，，，若，即时，，由函数单调性知使得，使得,故此时函数在内有两个零点；若，即时，，且，，由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点综上所述，当时，函数在内有无零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在内有两个零点．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.19、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）设，，联立直线的方程和抛物线方程可得，然后利用即可求出（2）根据（1）中结果可得到，同理，由可推出，然后写出直线的方程化简即可.【题目详解】（1），设，由得，，解得（2），同理，，所以化简得：直线过定点【题目点拨】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.20、（1），，；（2）猜想：；证明见解析.【解题分析】

（1）分别代入，根据，解方程可求得结果；（2）猜想，验证时成立；假设时成立，则时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果.【题目详解】（1）当时，，又当时，，解得：当时，，解得：(2)猜想：证明：（1）当时，由（1）可知结论成立；（2）假设当时，结论成立，即成立，则当时，由与得：又成