5.5 用二次函数解决问题 苏科版九年级数学下册同步测试题(含答案)

5.5用二次函数解决问题同步测试题一、选择题

1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A.y=2a(x-1) B.y=2a(1-x) C.y=a(1-x2) D.y=a(1-x2.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）A.

150元

B.

160元

C.

170元

D.

180元3.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A.

60m2

B.

63m2

C.

64m2

D.

66m24.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（

）A.

6s

B.

4s

C.

3s

D.

2s

5.一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-190(x-30)2+10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（A.10m B.20m C.30m D.60m6.如图，抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（）A.(-l, 0) B.(0, 0) C.(1, 0) D.(3, 0)7．如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系8．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（）A．2m B．4m C．4m D．4m9．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＞210.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒二、填空题

11.将一根长20cm的铁丝围成一矩形，试写出矩形面积ycm2与矩形一边长xcm之间的关系式________．

12.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,4)，B(2,1)，则方程ax213.如图，抛物线y=12x2+12x-3与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点D,E分别是直线x=-1与抛物线上的点，若点14.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s=12t-6t2．汽车刹车后到停下来前进了m________

15.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度为________.

16.在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为（n－1，3n＋2），点Q是抛物线y=－x2＋x＋1上一点，则P，Q两点间距离的最小值为

.17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

x2–2mx–2m–2与直线y=-x-2

交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为________.18.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为________

米时，才能使喷出的水流不落在水池外．三、解答题

19.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=－10x＋500．

⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

⑵设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

⑶物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？20.某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.

（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?

（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．

（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？21某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的变化趋势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．(1)求图2中所确定抛物线的解析式；(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

参考答案一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a(1-x)2．

则函数解析式是y=a(1-x)2．2.【答案】A【考点】二次函数的实际应用-销售问题解：设获得的利润为y元，由题意得：

∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．故答案为：A．【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．3.【答案】C【考点】二次函数的实际应用-几何问题解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，当x=8m时，ymax=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故选C．【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．4.【答案】A【考点】二次函数的实际应用-喷水问题解：水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t﹣5t2得：5t2﹣30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故选A．【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t﹣5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．5.【答案】A【解答】解：在y=-190(x-30)2+10中，

当x=30时，y有最大值为10．

则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为10m6.【答案】C【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'与x轴的交点即为点P．

当y=3时代入到抛物线解析式得：

x2-2x-3=0，

解得x=3或x=-1．

则由图可知点A(-1, 3)，点B(3, 3)，

∴B'(3, -3)．

设直线AB'的解析式为：y=kx+b．

代入A，B'求得：y=-32x+32，

则该直线与x轴的交点为：当y=0时，x=1．

∴点7．解：设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意得：y＝x（2÷2﹣x）＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，∴矩形的面积与其一边满足的函数关系是y＝﹣x2+x，即满足二次函数关系．故选：C．8．解：根据题意，得OA＝12，OC＝4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣＝＝6，∴b＝2，∵C（0，4），∴c＝4，所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣6）2+10当y＝8时，8＝﹣（x﹣6）2+10，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2．则x1﹣x2＝4．所以两排灯的水平距离最小是4．故选：D．9．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD＝∴＝，方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是个定值．故选：B．10.【答案】B【解答】解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，

∴抛物线的对称轴是：x=7+132=10，

∴炮弹所在高度最高时：

时间是第10秒．

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.【答案】y=-【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=20÷2-x=10-x，

∴y=x(10-x)=-x2+10x．

12.【答案】x1=-3，【考点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组{y=ax2y=bx+c即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-3，x2=2.所以方程ax2=bx+c的解是x1=-3，x2=2故答案为：x1=-3，【分析】将点A，B的坐标分别代入两函数解析式，可求出两函数解析式，再将两函数联立方程组，求出两函数的交点坐标，即可得到关于x的方程ax2-bx-c=0的解。13.【答案】(-4,3)或(2,0)或(-2,-2)【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，二次函数的其他应用【解析】【解答】由抛物线的表达式求得点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,-3).由题意知当AB为平行四边形的边时，AB//DE，且AB=DE，∴线段DE可由线段AB平移得到.∵点D在直线x=-1上，①当点B的对应点为D1时，如图，需先将AB向左平移1此时点A的对应点E1的横坐标为-4，将x=-4代入y=1得y=3，∴E1②当点A的对应点为D2时，同理，先将AB向右平移2个单位长度，可得点B的对应点E2的横坐标为将x=2代入y=12x2+12x-3当AB为平行四边形的对角线时，可知AB的中点坐标为(-12∵D3在直线x=-1∴根据对称性可知E3的横坐标为-2，将x=-2代入得y=-2，∴E3综上所述，点E的坐标为(-4,3)或(2,0)或(-2,-2).【分析】根据二次函数y=12x2+12x-3与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B.直接令x=0和y=0求出14.【答案】6【考点】二次函数的其他应用【解析】【解答】解：根据二次函数解析式s=12t-6t可知，汽车的刹车时间为t=1s，当t=1时，s=12t-6t故答案为：6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值.15.【答案】6【解答】h＝12t-6t2

＝-6(t2-2t)

＝-6(t-116.【答案】310【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：∵点P的坐标为（n－1，3n＋2），∴设x=n－1，y=3n＋2，∴y=3x+5，即：点P在直线y=3x+5上，设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b，当直线y=3x+b与抛物线y=－x2＋x＋1相切时，则3x+b=－x2＋x＋1，即：x2+2x+b-1=0，∴∆=22-4×1×(b-1)=0，解得：∴与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2，此时，直线y=3x+5与直线y=3x+2的距离就是P，Q两点间距离的最小值.设直线y=3x+5与y轴的交点为C，直线y=3x+2与x，y轴的交点分别为F，E，如图所示，则C(0，5)，E(0，2)，F(-23，∴CE=3，OE=2，OF=23，EF=OE过点C作CD⊥EF于点D，∵∠CDE=∠FOE=90°，∠CED=∠FEO，∴∆CDE~∆FOE，∴CDFO=CEFE，即CD23∴P，Q两点间距离的最小值为310故答案是：310【分析】先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这两条直线间的距离，即可求解.17.【答案】－2≤m<-32或【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2mx–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：{y=(x-2m)(x+1)=0

解得：x∴抛物线与直线交点的横坐标为：-1,2m又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当2m>-1即m>-12时得出：1<2m≤2解得：当2m<-1即m<-12时得出：-4≤2m<-3解得：故答案为：-2≤m<-32或【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可.18.【答案】①②③⑤【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数的其他应用【解析】【解答】解：①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0．∴①符合题意；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2-4ac＞0，4ac＜b2．∴②符合题意；③∵抛物线的对称轴x＜1，即-b2a<1，得2a+b∴③符合题意；④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为-2．∴④不符合题意；⑤根据抛物线的性质可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；∴⑤符合题意；⑥当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．∴⑥不符合题意．故答案为①②③⑤．【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当x=1时y的值即可判断．三、解答题19.【答案】解：⑴当x=20时，y=－10x＋500=－10×20+500=300，

300×(12－10)=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

⑵依题意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x2+600x－5000=－10(x－30)2+4000

∵a=－10＜0，∴当x=30时，W有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

⑶由题意得：－10x2＋600x－5000=3000，解得：x1=20，x2=40．

∵a=－10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，W≥3000．

又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，W≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=(12－10)×(－10x+500)

=－20x