第4讲市场风险VaR

风险的度量-在险价值VaR内容提要VaR的定义计算VaR回想测试投资组合的VaRVaR用于投资组合风险管理VaR的定义VaR的定义VaR的含义是处于风险中的价值，“VaR(VauleatRiks)是指在市场的正常动摇下，在给定的置信程度下，某一金融资产或者证券投资组合在未来的特定的一段时间内的最大的能够的损失。更正式的讲，VaR是描画一定目的时段下资产(或资产组合)的损益分布的分位点。例如：某个敞口在99%的置信程度下的日VaR值为1000万美圆。损失和收益的关系可以由图表示，其中右侧的实线表示损失，左侧的实线表示收益。VaR有两个定义绝对VAR，给定置信程度〔99%〕下的最大损失，也称VaR〔零值〕VAR〔均值〕第二种VaR定义方式与经济资本分配和风险调整后资本收益率〔RAROC〕计算一致。注：大多数VaR都是短期风险，如1天、10天〔监管者要求〕巴塞尔协议规定p=99%对于内部资产，p=99.96%VaR与ES的定义VaRVaR的性质单调性：假设L1≤L2在任何情况下都成立，那么VaRτ(L1)≤VaRτ(L2)正齐次性：对于恣意正数h，有VaRτ(hl)≤hVaRτ(L)平移不变性：对于恣意一个固定的常数α，有VaRτ(L)≤VaRτ(L)+α不满足次可加性VaR不满足次可加性的例子VaR与ES的定义ES〔TVaR，CVaR，CED〕ES的定义对于金融资产损失函数L，在VaR的根底上，可以给出置信程度100(1-τ)%的ES定义如下ES1-τ(L)=E[Lt|Lt>VaR1-τ(L)]ES的性质ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性，而且还满足次可加性，是一致性风险测度。

VaR的计算计算VaR的步骤逐日盯市确认投资组合的市值衡量风险要素的变化率，如动摇率15%设定时间区域，样本察看时间段，如10天设定置信程度，如99%，假设分布，如正态分布分析前面信息数据，得出收入的分布概率，计算潜在的最大损失，综合得出VaR，如在99%的置信程度的VaR为700美圆影响VaR计算的几个主要要素上尾部概率τ持有期Δt损失的累积分布函数金融头寸的资产价值需求留意的是，空头头寸与多头头寸在实践分析过程中有明显不同。

几种常见的计算方法非参数法：运用历史数据，计算阅历分布和阅历分位数。历史模拟法参数法：假定收益率服从某种分布，估计参数，计算分布的分位数。正态分布T分布极值分布历史模拟法〔HistoricalSimulationApproach〕首先选择风险因子的历史数据，例如500个买卖日数据。其次，用历史数据计算资产组合的价值和价值的变化.最后，构建直方图，找到1%的分位点，即第5个最坏的损失。计算VAR。历史模拟法计算例子思索一个美国投资者，在2021年9月25日持有价值1000万的投资组合〔如图〕，组合中有4个股票指数，指数价钱以美圆计算，下面显示了4个指数的收盘价钱的历史数据〔可下载〕10天VaR历史模拟法的推行1、对察看值设定权重使权重随时间回望期的延伸而按指数速度递减将一切观测值由最坏到最好进展排序由损失最坏的情形开场，累积计算每一项权重的和，直到到达某指定分位数界限时为止。可以经过回想检验中，测试不同的l，来选取最正确参数l2、更新动摇率利用第i天动摇率与当前动摇率的不同，运用一种更新动摇率的方式，并基于在第i天观测到的百分比变化来调整市场变量。例如,假定是的两倍。市场变量在第i个情形会变成3、自助法假定有500个数据由观测样本x=(x1，…，xn)构造阅历分布函数Fn;从Fn中抽取简单样本X*=〔X1，…，Xm〕，m<=n,反复步骤〔2〕N次，由Bootstrap子样得到样本p分位数，xp，i，i=1，…，N。计算统计量:由中心极限定理，可以得到xp近似服从正态分布，由此可以得到分位点的点估计和区间估计。参数法1、正态分布：Z=(R–μ)/sdenotesastandardnormalvariable,N(0,1),不同置信程度对应的临界值如何选择c和时间段Dt公司范围内不同市场风险的比较，99%，1天潜在损失的衡量满足资本充足率回溯规范1日VaR和10日VaR假设市场是有效的，每日收益Rt是独立同分布的，服从正态分布N(m,s2)，那么10日收益率也是服从正态分布，均值10m，方差是10s2均值方差法计算股票组合的VaR假设持有两种股票，价钱分别为S1〔持有数量n1〕、S2〔持有数量n2〕，那么股票组合的价值为〔1〕风险因子选择股票价钱，Rv=资产组合收益率Ri=第i种股票的收益率，i=DSi/Siwi=资产组合中投资于第i种股票的比重,i,=1,2,withSwi=1〔2〕计算风险因子Rv的分布：假设价钱服从对数正态分布，日收益率服从正态分布。假设股票收益率Ri服从正态分布，mi和si，相关系数为r。〔3〕计算股票i的1日和10日VAR〔4〕计算资产组合1日和10日的VaR经过对这两支股票一年的历史数据，可以估计收益率的均值和方差分别为代入数据whereVaR1,VaR2,andVaRVdenotetheone-dayvalueatriskatthe99percentconfidencelevelfor留意，资产组合的VaR小于两个资产的VaR的和，这反映了由于权益资产不完全相关而引起的资产组合效应。均值方差法计算其他金融产品的VaR假设持有风险资产，价值为V，将V表述为n个风险因子fi的函数，i=1,...,n.，那么一阶泰勒展开近似为Didenotesthe"delta〞假设风险因子都服从正态分布，那么均值方差分析的优缺陷优点：计算方便根据中心极限定理，风险因子不一定需求满足正态性不需求定价模型，只需敏感因子缺陷收益正态性假设不满足胖尾性需求估计动摇率和相关系数无法进展敏感性分析无法计算置信区间均值方差的推行利用指数加权挪动平均值〔EWMA〕模型计算方差-协方差回归条件异方差〔GARCH〕模型计算时变方差运用其它分布，随机模拟产生DP的分布2、t分布大多数收益率是“胖尾〞的。可运用t分布来描画，用三个目的均值m、方差s2和自在度vV描画了胖尾形，v越小，尾部越胖；v越大，t分布越趋于正态分布。对于金融时间序列，v的取值常在4和8之间。极值实际极值实际可以描画一个变量x的阅历概率分布的右尾部形状.(假设要描画左尾部形状，我们可以运用变量–x.〕我们先选择右端尾部的一个数值u我们可以运用Gnedenko的结论：随着分布u的添加，趋向于广义帕累托〔Pareto〕分布。43广义Pareto分布44广义Pareto分布有两个参数x(有关分布的外形)和b(分布的规模因子)广义Pareto分布的累计分布函数为参数的最大似然估计45我们将一切大于u的察看值xi,按从大到小进展排序。假设有nu个观测值比u大。我们采用使得最大的x和b作为最大似然法估计的参数运用极值实际估计VaR对应于置信程度为q的VaR，我们对F(VaR)=q求解因此极值实际的例子令u=200，nu=13。采用Excel计算中的Solve程序，可求得使似然函数到达最大值的参数值为在99%的置信程度下的VaR值为有关u的选择阅历法那么：保证u近似等于实证分布中的95%的分位数。蒙特卡罗模拟采用蒙特卡罗模拟法，计算买卖组合一天展望期的VaR：利用当前的市场变量对买卖组合进展定价从Dxi服从的多元正态分布中进展一次抽样由Dxi的抽样计算出在买卖日末的市场变量利用新产生的市场变量来对买卖组合重新定价计算ΔP反复2-5步的计算，得出ΔP的概率分布计算股票组合的VaR首先，选择一切风险因子，设定其动态模型〔能够需求估计均值、方差和相关系数等变量〕，例如股票价钱服从如下随机过程其次，构造价钱途径，例如上述随机微分方程的解为withWtdenotingthecumulativeinnovationsfrom0tot.将上述过程离散化，利用均匀分布随机数，可以得出构造价钱途径所需求的随机数据。Dt=timeintervalbetweentandt–1Z=standardnormalvariableN(0,1)suchthat当有多个风险资产服从式〔27〕的几何布朗运动随机过程，相关系数为rij，均值为mi，方差为si，可将多变量方程写为X=(X1,...,Xn)是多元正态随机向量，均值等于0，方差矩阵为S，Sij=E(XXT)=rij,产生随机向量X=(X1,...,Xn)的方法先产生n个正态随机变量随机数计算矩阵A，使得S=AAT，例如产生随机向量最后，计算资产组合的价钱和VAR模拟10000次的价钱途径，得到资产组合的价钱阅历分布，计算1%的分位数。MonteCarloApproach优缺陷优点：可以思索其他分布，如允许胖尾，腾跃等特殊景象存在可以将任何复杂的资产组合纳入模型可计算置信区间敏感性分析和压力测试缺陷某些不测情况未被纳入分布中。计算机才干限制回想测试8.59回想测试〔Back-Testing〕回想测试的过程是统计例外的天数，也就是实践损失超出VaR的情形.损失可以是实践损失或者实际损失.假设发生例外的概率是p(=1–X),那么在n天内发生m次例外的能够性为Kupiec构建了一种基于初次出现损失超越VAR的时间的检验。设表示初次出现损失超越VAR所需求的天数，服从几何分布，零假设p=1-c,似然比检验为假设LR>3.84,回绝原假设。在JP摩根的例子中，T=252，N=20，p=0.95%，LR=3.91巴塞尔规那么记录上一个年度的每日超越VaR特例事件在黄灯区，监管者根据出现特例事件的缘由决议能否加以处分。模型的构成严谨。偏向的发生是由于头寸报告不准确，或者程序码错误。模型的准确度科研提高。偏向发生是由于模型不能准确地衡量风险〔到期察看值缺乏〕同日买卖。头寸在当天发生变化运气不好。市场动摇非常大或者相关性变化回溯问题的要点在将运气不好和错误模型分开。下面的表给出了正确模型后验测试本卷须知样本察看世界应该尽量短，以增大察看事件的数量，减少投资组合构成的变化影响置信程度不要选太高，由于这样会降低统计测试的有效性或力度。后验测试需求平衡两种类型误差的选择，回绝正确模型和接受错误的模型。我国商业银行关于前往测试的〔一〕商业银行应比较每日的损益数据与内部模型产生的风险价值数据，进展前往检验，根据最近一年内突破次数确定市场风险资本计算的附加因子，并按季度将前往检验结果及附加因子调整情况报告银监会。银监会对商业银行前往检验结果和附加因子调整情况进展监视。〔二〕符合以下情况的，商业银行可向银监会恳求不根据实践突破次数调整附加因子：1．商业银行如能合理阐明其运用的模型根本稳健，以及突破事件只属暂时性质，那么银监会可以决议不将该突破事件计入突破次数。2．当金融市场发生本质性的制度转变时，市场数据的动摇与相关系数的艰苦变化能够引发短时间内的大量突破事件。在这种情况下，银监会可要求商业银行尽快把制度转变的要素纳入其内部模型，这一过程中可暂不调高附加因子。〔三〕内部模型的前往检验应至少满足以下要求：1．商业银行应每日计算基于T-1日头寸的风险价值与T日的损益数据并进展比较，如损失超越风险价值那么称为发生一次突破。2．上述风险价值的持有期为1天，置信区间、计算方法以及运用的历史数据期限等参数应与运用内部模型法计提市场风险资本要求时所用参数坚持一致。3．突破的统计方法采用简单突破法，即每季度末统计过去250个买卖日的前往检验结果中总计发生的突破次数。4．商业银行向银监会恳求实施内部模型法时，应建立前往检验流程，并积累至少一年的前往检验结果数据。〔四〕运用内部模型法计量特定市场风险资本要求的，商业银行应对相关的利率和股票类子组合进展前往检验。〔五〕商业银行应建立前往检验的文档管理和报告制度。1．商业银行应对前往检验过程及结果建立完好的书面文档记录，以供内部管理、外部审计和银监会查阅运用。2．前往检验突破事件发生后，应及时书面报告商业银行担任市场风险管理的高级管理层成员。3．商业银行正式实施市场风险内部模型法后，应每季度将过去250个买卖日的前往检验结果报告提交银监会。〔六〕按照过去250个买卖日的前往检验突破次数，其结果可分为绿区、黄区和红区三个区域。1．绿区，包括0至4次突破事件。绿区代表前往检验结果并未显示商业银行的内部模型存在问题。2．黄区，包括5至9次突破事件。黄区代表前往检验结果显示商业银行的内部模型能够存在问题，但有关结论尚不确定，因此，模型是准确或不准确均有能够。通常情况下，随着出现突破事件次数由5次添加至9次，模型不准确的能够性会逐渐增大。3．红区，包括10次或以上突破事件。红区代表前往检验结果显示商业银行的内部模型存在问题的能够性极大。分区过去250个交易日的返回检验突破次数资本附加因子绿区少于5次0.00黄区5次0.406次0.507次0.658次0.759次0.85红区10次或以上1.00〔七〕市场风险前往检验突破次数、分区及资本附加因子的对应关系见表1。表1：突破次数与附加因子关系表七、模型验证要求商业银行采用内部模型法计算市场风险监管资本要求，应按本方法的规定对市场风险内部模型及支持体系进展验证，确保模型实际正确、假设合理、数据完好、模型运转情况良好、计算准确、运用分析恰当。市场风险内部模型验证的详细要求见本方法附件14。例如，摩根的例子LRind=9.53投资组合的VaR投资组合的VaR投资组合的VaR值可以经过所包含的各种资产的风险组合得出。投资组合的收益W的取值含义？矩阵方式以金额敞口x的方式正态模型的投资组合VaR假设一切单个证券的收益率都服从正态分布，那么投资组合的收益率也服从正态分布。我们可以将置信程度c转化成规范差的倍数a，投资组合的VaR等于各个组成部分的风险相关性与投资组合风险假设一个投资组合只需两项资产r=0思索：在允许卖空时，相关性对组合风险有什么影响？r=18.77边沿VaR,递增VaR及成分VaR边沿VaR是指买卖组合价钱变化同某个组合成分xi变化的比率:递增VaR是指该买卖组合对VaR的递增效应，即买卖组合包含此子组合是的VaR与不包含此子组合是的VaR的差第i个子买卖组合的成分VaR,Ci,是指第i个子买卖组合对整个买卖组合VaR的奉献量:边沿VaR边沿VaR衡量的是对投资组合中某个资产添加1美圆的敞口，所引起的组合VaR的变化值，它是对该资产头寸的部分偏导将其转换成VAR数值这个边沿VaR与b亲密相关，"Incremental-VaR"(IVaR)递增VAR是指参与或撤销一个资产A后，资产组合整体VAR的变化。IVAR为正，阐明正相关，资产A添加风险IVAR为负，阐明负相关，资产A减少风险缺陷：耗时缺陷是耗时太多近似计算案例1续先计算b我们添加10000美圆的初始头寸，增量VaR为接着，我们把该值与投资组合风险进展完全评价获得的增量VaR相比成分VaR成分VaR是指假设该成分被剔除掉，投资组合VaR的值近似变化量，一切成分VaR的加总与组合的VaR值相等。根据上述公式，VaR可以根据任何规范对风险奉献进展分解。对于大型投资组合，成分VaR可以经过货币种类，资产等级种类、地理位置或部门的方式表示。适用于普通分布的VaR工具对组合VaR的奉献把欧元头寸调整为0，计算VaR值的变化，并与原结果进展比较。总结257,73892,738152,108案例4全球股票投资组合日本与巴西头寸风险奉献加总超越50%美国和英国头寸占比最大，但头寸风险奉献为20%日本有4.5%的超权重的头寸应该被降低到低风险程度，最正确是下降4.93%案例5：巴林银行背景1995年2月27日，英国中央银行忽然宣布：巴林银行不得继续从事买卖活动并将恳求资产清理。这个音讯让全球震惊，由于这意味着具有233年历史、在全球范围内掌管270多亿英镑的英国巴林银行宣告破产。具有悠久历史的巴林银行曾发明了无数令人瞠目的业绩，其雄厚的资产实力使它在世界证券史上具有特殊的位置。可以这样说：巴林银行是金融市场上的一座耀眼辉煌的金字塔。

年仅28岁的买卖员尼克·里森将已有233年历史的英国巴林银行赔了个精光，真是巨石激起滔天浪，一时间各方争相报道巴林事件。尼克·里森也由此成为了世界知晓的人物，挤进了各大报刊杂志的头版。当然，无数的假设与理性分析判别亦风起云涌，大量的猜测与结论令人眼花缭乱。那么。这个金字塔怎样就须臾倒塌了呢：究其缘由还得从1995年说起，当时担任巴林银行新加坡期货公司执行经理的里森，同时一人身兼首席买卖员和清算主管两职。有一次，他手下的一个买卖员，因操作失误亏损了6万英镑，当里森知道后，却由于害怕事情暴露影响他的前程，便决议动用88