天津市河北区2022届高三数学下学期二模试题-含答案

河北区2021—2022学年度高三年级总复习质量检测(二)

数学

本试卷分和两部分，共150分，考试用时12分钟，第I卷1至3页，第II卷4至

8页.

第I卷(选择题共45分)

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规

定位置粘贴考试用条形码.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案棒号.答在试卷上的无效

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

■如果事件A,B互斥,那么,球的表面积公式S=4万在2

P(AuB)=P(A)+P(B)

4.

•如果事件A,B相互独立，那么我的体积公式V=§乃R3

P(AB)=P(A)-P(B)其中R表示球的半径

一、选择题；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集。={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},8={1,3,5,7},则Au©/)=()

A.{5}B.{6}C.{2,4}D.

(2,4,5,6)

D

【分析】根据补集、并集的定义计算可得；

【详解】解：因为。={1,2,3,4,5,6,7},5={1,3,5,7),

所以6B={2,4,6},又4={2,4,5},

所以Au(q,8)={2,4,5,6}；

故选：D

2.若a,b都是实数,则“&>振”是Tog2a>log2。”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；

【详解】解：a,人都是实数，那么“log3a>logs"'na>匕>0=“6>脑”，

反之不成立，例如：a=2,Z?=0,满足北，但是log26无意义，

w

；・“G>北”是“log3a>log3/>的必要不充分条件.

故选：B.

11。

3.已知2、=5、'=〃2,且一+一=2,则根的值为（）

%y

A.2B.V10C.—D.—

22

B

【分析】

11c

化指数式为对数式，把X，y用含有m的代数式表示，代入一+—=2，然后利用对数的运算性质

%y

求解加的值.

【详解】由2*=5,=加，得%=晚2加,"咙5加，

由，+，=2,得—+—^—=2,即log2+log,“5=2,

xylog2mlog5m〃

/.logm10=2,Vm>O,.-.m=Vi0.

故选:B.

本题考查了指数式和对数式的互化，考查了对数的运算性质,属于基础题.

-.v

4.函数f(x)=的图象大致为()

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由/(l)=e-eT>0排除不正确的选项，从

而得出答案..

【详解】详解：•.•尤70,/(-幻==^=一“。，/(幻为奇函数，排除A,

X

•.•/(l)=e—eT>0,故排除D.

../(x)=卜二(e-eT)2x_(x-2)e：(x+2)e,,

当x>2时，r(x)>0,所以/(x)在(2,+8)单调递增，所以排除C；

故选：B.

5.为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的学生，将他们的身高数据(单位：

cm)按［150,160),［160,170),［170,180),［180,190］分组，绘制成如图所示的频率分布

直方图，其中身高在区间［170,180)内的人数为300,身高在区间［160,170)内的人数为180,

则。的值为()

o150160170180190身高（单位:cm）

A.0.03B.0.3C.0.035D.0.35

A

【分析】由频率分布直方图中的数据，以及频率与频数之间的关系，列式求解即可.

【详解】由频率分布直方图可得：-,解得4=0.03.

0.05a

故选:A

22

6.已知双曲线C：=r-2=1（a>0力>0）的焦点F到渐近线的距离与顶点4到渐近线的距离

a~b~

之比为3：1,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y—±2yf2xB.y=±\/2xC.y=xD.

»叵

y=±——x

4

A

【分析】根据相似三角形，直接得到£=3,计算渐近线的斜率.

a

【详解】如图，可知焦点尸到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1,

即£=3,

a

所以双曲线的渐近线方程为y=±2。.

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)单递调减，若a=/(-log26.1),

b=c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.h>c>aC.c>b>aD.

b>a>c

D

【分析】由偶函数的定义和对数的运算性质、对数函数的单调性和已知函数/(x)的单调性，

可得“，b,c的大小关系.

【详解】解：由函数Ax)是定义在R上的偶函数，可得/(一x)=/(x),

则a=/(—log26.1)=/(log26.1),8=/(2°7),c=〃3),

因为函数/(X)在区间［0,+8)上单调递减，

07107

K2=log24<log26.1<log28=3,1=2°<2-<2=2-BP2'<log26.1<3,

所以/(2°7)>〃10氏6.1)>/(3),

即有h>a>c,

故选：D.

8.给定函数/(%)=sinx+百cosx,g(x)=sinx-ecosx,xeR.VxGR,用"?(x)表

示f(x),g(x)中的最小者,记为%(x)=min{的x),g(x)},关于函数加(x)有如下四个命题:

3兀

①函数见X)的最小正周期为万；②函数加X)的图象关于直线x=—对称；

2

7171

③函数皿X)的值域为［-2,2］；④函数制X)在一上单调递增，

其中真命题的是()

A.②④B.①②C.①③D.③④

A

TTrr,37r

2sin(x+—),——b2左踢ijr--+2k兀

3232

【分析何将〃，(x)的解析式化简为，"(x)=〈,d),

2sin(x-y),--+2A：^<x<y+2A:^-

通过作出函数的图象，结合图象逐个判断即可.

【详解】解：因为/(x)=sinx+6cosx=2sin(x+g),

g(x)=sinx-V3cosx=2sin(x-y),

g(x),

则m(x)=min{/(x),g(x)}=<

g(x)J(x)>g(x),

2sin(x+—),—4-2人乃效k—4-2k7r

322

m(x)=<,(*eZ),

2sin(x---4-2k7r<x<—+2k7r

322

3兀

皿x)的图像关于直线x=」对称，故②为真命题;

2

加(x)的值域为[-2,1],故③为假命题;

TC式

皿无)在区间一二，37上单调递增，故④为真命题，

_62_

，真命题为②④，

故选：A.

9.设函数=JA2).若xe-4”时，方程/(x+l)=A有唯一解,

y/—x,x<0

则实数k的取值范围为()

A.(0,6)B.[1,A/3)C.(0,2)D.[1,2)

B

【分析】作出f(x+l)的图象，根据方程f(x+l)=k有唯一解，结合图象即可求解k的取值范围.

.(1)

log?x+—x>0

【详解】因为函数/(x)=JA2)

J—X,x<0

所以/(x+l)=

J-(x+1),X<—1

若时，作出/(x+1)的图象,

结合图象可知方程/(x+l)=Z有唯一解,

则1K女〈百.

故选：B

第II卷

注意事项

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.

3.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上.

10.i是虚数单位，则复数也=.

l+2i##2i+l

【分析】根据复数代数形式除法运算法则计算可得;

3+i_(3+i)(l+i)_3+3i+i+i?

【详解】解:

1-i(l-i)(l+i)

故答案为：l+2i

11.二项式的展开式中常数项为

【分析】求出二项式的通项公式，再令x对应的基指数为0即可求解

2x--%］的展开式的通项公式为

【详解】二项式

«6-'3

=Q26-r(-l)rx2,令6—万/•=(),解得/■=*所以该二项式展

开式中常数项为•26T（T）4=60,

故答案为：60

本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题

12.一个暗箱内有标号是1,2,3,4,5的五个小球，现从箱中一次摸出两个球，记下号码后

放回，如果两个球的号码和是5的倍数，则获奖.若有5人参与摸奖，则恰有3人获奖的概率

是,获奖人数的均值是.

32

①.②.1

625

【分析】基本事件总数〃=C；=10,利用列举法求出两个球的号码和是5的倍数包含的基本

211

事件有2个，从而获奖的概率为尸=历=不，有5人参与摸奖，则获奖人数X~8(5,二)，

由此能求出恰有3人获奖的概率和获奖人数的均值.

【详解】解：一个暗箱内有标号是1，2,3,4,5的五个小球，

从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，

基本事件总数“=C；=10,

两个球的号码和是5的倍数包含的基本事件有：

(1,4),(2,3),共2个，

21

则获奖的概率为。=历=),

有5人参与摸奖，则获奖人数X~8(5,；),

恰有3人获奖的概率是P(X=3)=C^(1)3A2=H,

获奖人数的均值是E(X)=5x1=1.

32

故答案为：,1.

625

13.圆6：工2+/一2工一6y一1=0和圆。2：工2+/一10工一12丁+45=()的公共弦的长为

2币

【分析】首先将圆G的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差即可得

出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式及垂径定理、勾股定理计算可得；

【详解】解：由圆C/F+V—2x—6y—l=()①，即£:(x—lp+(y—3>=11,所以圆心

C,(1,3),半径r=V1T；

又圆C2:X24-y"-1Ox—12y+45=0(2),

①一②得8x+6y-46=0,即公共弦方程为4x+3y—23=0,

圆心C,到直线4x+3y—23=0的距离d=23|=,

V42+32

所以公共弦长为1=2,产一片=2^VH)2-22=2用；

故答案为：2币

14.已知菱形A8C。的边长为2,N&LD=120°,点E,尸分在边BC,CD上,BE=ABC>

—.—.2

DF=/.iDC.若4+〃=§,则AE•AE的最小值为.

4

9

【分析】由题意画出图形，把荏.通用通,而表示，最后转化为含有X,〃的代数式,

2

再结合九+〃=］及基本不等式求得AE-AF的最小值.

【详解】解：如图，

_____2

^E=ABC>DF=JJDC,且％+〃=§，

AEAF=(AB+BE)(Ab+DF),

=(AB+ABC)(AD+pDC)=(AB+2AD)-(AD+juAB)

=(l+Ay)AB-AD+A\Ab\1+〃|词2

1Q

=(1+A/z)x2x2x(—-)+4(4+必)=-2(1+%〃)+~.

由题意可得，2,/z>0,

/2

•.•2+〃=3，

加,=L贝1」一2(1+4〃)...一■，

I2J99

841

.\-2(1+2//)+-.,.-(当且仅当；1=〃=三时等号成立)，

4

・•・荏./的最小值为

y

4

故答案为：T".

y

QzrS(7

15.已知。>0,Z?>0,且。H--\-b-\—=10,则-----的最大值为____________

abba

4

5?（14、

【分析】依题意可得不一-=10-。+。+:+一,再利用基本不等式计算可得;

ba\baJ

26

【详解】解：因为。>0,/?>0,且QH--F/?H—=10,

444

又〃+—221。・一=4,当且仅当。=一，即。=2时取等号,

a\aa

/?+->2J/7--=2,当且仅当。=,，即b=l时取等号,

b\bb

14（14、

所以。+/?+—+—26,贝！］10—|+—+一|44,

baIba）

5?

即-----<4,当且仅当。=2、h=1时取等号；

ba

故答案为：4

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

16.在AABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2cosc3cos8+》cosA)=c.

(1)求角C的大小；

(2)若cosA=X5,求sin(2A+C)的值；

4

(3)若c=J7，AABC的面积为钝，求边”，匕的值.

2

冗

(1)

~3

a=2。二3

(3)或＜

b=3一b=2

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

(2)首先由同角三角函数基本关系求出sinA,再利用二倍角公式及两角和的正弦公式计

算可得；

(3)由面积公式得到。匕，再由余弦定理得到/+从，最后解方程组即可；

【小问1详解】

解：因为2cosc(acosB+bcosA)=c,

由正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即2coscsin(A+B)=sinC,

故2sinCeosC=sinC,

因为sinC>0,所以cosC=g,又Ce(O,»),所以c=2.

【小问2详解】

解：因为cosA='^,所以sinA=Jl-cos?A=,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x理=,

444

2

cos2A=2cos2A-l=-1二一；,

所以sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC

V151173V15-V3

—__x___x__—______

4242-8

【小问3详解】

解：由己知，-^sinC=-＞又。=工，

223

所以而=6①，

由已知及余弦定理得必+"一2abeosC=7，

故〃+从=13,从而(。+力＞=25,

所以。+/?=5②.

a=2a=3

由①②得，或，

b=3b=2

17.如图，四边形A88是边长为2的菱形，NABC=60°,四边形山C。是矩形，A4=l，

且平面尸ACQ平面ABCD.

(1)求直线BP与平面B4CQ所成角的正弦值;

(2)求平面BPQ与平面。PQ的夹角的大小；

(3)求点C到平面BPQ的距离.

⑴

5

(2)60°

(3)T

【分析】（1）连接80,交AC于。，连接OP,由平面PACQJL平面ABC。，可推出6£>_L

平面PACQ,平面ABCO,故NBPO即所求；在Rt^POB中，由sinN8PO=等

可得解；

（2）取尸。的中点M,连接8"、DM-易证BMJ.PQ,DM1PQ,故N&WD即为

所求，在ABDM中，利用余弦定理求出N8MD，即可得到两平面的夹角；

（3）由等体积法匕一*e=^B-CPQ，即可得解.

【小问1详解】

解：连接3。交AC于。，连接。尸，

•••四边形A8CD是菱形，BO_LAC,

•.•平面PACQ_L平面ABC。，平面PACQC平面ABCO=AC,BDU平面ABCD,

.•.8D_L平面尸ACQ,

NBPO即为族与平面ACQP所成角.

•.•四边形B4CQ为矩形，二尸AJ_AC,

又平面PACQ_L平面ABCD,平面PACQC平面ABCD=AC,/%<=平面%。。，

R4-L平面A8C£>,:.PA±AB，：.BP=\IAB2+PA1=>/4+l=^>

OB6岳

在RtZ\POB中，0B=6sinN8Po=而=下=可

故外与平面4CQP所成角的正弦值为巫

5

【小问2详解】

解：取尸Q的中点“，连接BM、DM,

由（1）知，尸4，平面438,

•••四边形A8CO是菱形，四边形尸ACQ为矩形,

：.BP=BQ,DP=DQ,

BMVPQ,DM1PQ,

.•.NBMD即为二面角3-PQ-。的平面角,

在ABZW中，BD=2也,BM=DM=屈匚俞'[BP?_（；AC¥=直口=2,

222

,ABA/+DM-BD4+4-122

由余弦定理知，cosZBMD=-------------------------

2BM-DM2x2x22

/.ZBMD=120°,

故二面角B-PQ-D的大小为120°,则平面BPQ与平面DPQ的夹角为60°.

【小问3详解】

解：设点C到平面3PQ的距离为“，

•'VjBPQ~VB-CPQ，

gdx^BM.PQ=；OBx；CQ.PQ,

dx2x2=V5xlx2，

.d6

..u----，

2

故点C到平面BPQ的距离为且.

2

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，满足S"=2怎-1,mN*，数列也｝满足

〃a+i—(〃+1)2=〃(〃+1),〃eN*，且4=1.

(1)求数列｛叫的通项公式；

｛:｝是等差数列，求数列｛2｝的通项公式;

(2)求证：数列

(3)若如=勺・匹，数列｛q,｝的前〃项和为7“，对任意的〃eN*，都有7；4〃S“+/,

求实数”的取值范围.

12

(1)an=T'；(2)证明见解析，bn=n；(3)aNO或aW-1.

【分析】(1)运用数列的递推式以及数列的和与通项的关系可得4=2a,i，再由等比数列的

定义、通项公式可得结果；(2)对等式两边除以结合等差数列的定义和通项公式，

可得所求；(3)求得C“=〃-2"T,由数列的错位相减法求和，可得(=1+(〃-1>2”,化简

7；«〃S“+/+a,即q2+a_i?〃_2",对任意的〃6N*成立，运用数列的单调性可得最大

值，解不等式可得所求范围.

【详解】⑴S“=2a”一1,可得q=E=2q—1,即q=l；

心2时,S,i=2a“_]一1，又S“=2an-1,

1a

相减可得=24-1-241T+，即n=2a,

则4=2"-1；

(2)证明：nbll+l-(n+l)bn=n(n+l),

hh

可得也_丝=1,

〃+lb

可得｛9｝是首项和公差均为1的等差数列，

b

可得。=〃，即a=19；

n

前n项和为7；=l4+2・2+3・22+...+〃-2"T,

27；,=l-2+2-22+3-23+...+n-2n,

相减可得一（,=1+22+23+...+2“T一〃2

可得1=1+("-1>2",

Tn4nSn+a~+a,即为1+(〃-1),2"<"(2"—I)+a-+a,

即/+。一12〃一2"，对任意的nGN"成立，

由(〃+l)_2"+i_(“_2")=[_2"<0,

可得｛〃-2"｝为递减数列，即”=1时取得最大值1-2=-1,

可得/一1»一[,即或。<一1.

“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几

点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积)；②

相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边

同时除以1一4

19.已知点4(2,0),椭圆C：*+，=1(。>匕>0)的离心率为乎，尸和3分别是椭圆C

3

的左焦点和上顶点，且△河的面积为二.

2

(I)求椭圆C的方程；

uuruiiin1

(II)设过点A的直线/与C相交于P,。两点，当OP-OQ=§时，求直线/的方程.

2

(I)+y2=1；(II)x+2y-2=0或x-2y-2=0

3

【分析】（I）由AAB/的面积为一，得出dc关系，再由离心率结合a,b,c关系，求解即可

2

得出椭圆方程；

（H）设P（玉，y）,Q（w，%）,由已知可得西4+乂%=（，设直线/方程为丁=左。一2）,

与椭圆方程联立，得到玉+々，石々的关系式，进而得出%巳的关系式，建立我的方程，求解

即可得出结论.

【详解】（I）设尸（一c,0）（c>0）,由条件知5（0,。）,

13

所以厂的面积为3（2+。）必=不，①

由£=变得片=202,从而/+C2=2C2,化简得h=c,②

a2

①②联立解得匕=c=l,

r2

从而a=拒，所以椭圆C的方程为1■+y2=i；

（II）当/_Lx轴时，不合题意，故设/：y=Ar（x—2）,

r2

将）,=以％-2）代入]+/=1得0+2左2）%2一8&2%+8&2-2=0

由题V=4（2-4F）>0得一理<k〈旦,

22

=9XX=

设P（/苗）,。（£,%），则X]+工212\21,2

1十乙Ki।乙K

uuruumi

因为OP-。。=§,

所以玉/+%%=玉%2+公（玉-2）（X2-2）=（1+公居/_2/（玉+/）+442=；,

从而（1+6）-------2k------+4^,

1，1+2/1+2/3

,1（V2近、

整理得28^=7，k=±-&-—,

222

所以直线/的方程为x+2y-2=0或x—2y-2=0.

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相

交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

20.已知函数/(x)nlnx+3x?,g(x)=(a+l)x.

(1)若。=一1,求/(%)的最大值；

(2)若函数/z(x)=/(x)-g(x),讨论力(x)的单调性；

(3)若函数帆(x)=/(x)-g(x)+x有两个极值点X],巧(占<*2),求

证.m(x,<^-Ina

(1)--；(2)答案见解析；(3)证明见解析.

2

【分析】(1)代入”的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最

大值即可；

(2)首先对函数〃(x)进行求导，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；

(3)首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根，进而可得判别式、根与系数的关系,

11

所以可以得两极值点/，々的关系芭々=一，及极值点七的取值范围A°<%<一尸；然后写

a\Ja

出加(%)-〃?(%)关于极值点七的表达式，构造函数，根据函数的单调性证明结论成立即可.

【详解】⑴当。=—1时，/(x)=--,xe(O,4w),

X

当xe(0,1)时，/'(x)>0,f(x)单调递增，

当xw(l,+8)时,/'(x)<0,.•./(一单调递减,

所以/(©的最大值为了⑴二―；；

(2)由已知得以»=/(无)-g(x)=lnx+|'x2-(a+l)x,xw(0,+oo),

〃(》)」+以-(0+1)=