人教版数学九年级上册第7讲 圆的有关性质满分练习题（含解析）

第7讲圆的有关性质

垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以A,B为端点的的弧记

作AB，读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于18(T用三个字母表示，如AC8.

小于半圆的弧叫做劣弧，如A3。

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为n与半径为方

的。0叫做同心圆。

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的。Oi与。。2的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同一■个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆。的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：：AB是直径，AB±GH,

.•.圆O的弦GH,EF,CD,AB中最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

（-3,2）,则该圆弧所在圆心坐标是

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O,

则点O即是该圆弧所在圆的圆心.

•.•点A的坐标为（-3,2）,

二点O的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解：如图，连结OA,

VCD1AB,

?.AD=BD'AB」x24=12，

22

在RSOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

CD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm）,求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解：如图，连接OA交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,0D1AB,

BE=—AB=—x6=3cm,

在RtABOE中,

OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=1,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。

【随堂练习】

1.（2018秋•镇海区期末）如图，45是O。的直径，AB=10，P是半径。4上

的一动点，尸。，血交0。于点。，在半径0B上取点Q,使得OQ=CP,

。。_1_48交0。于点。，点。，。位于45两侧，连接CO交于点E,点

产从点A出发沿A。向终点。运动，在整个运动过程中，ACEP与ADEQ的面

积和的变化情况是（）

。Q

A.一直减小B.一直不变C.先变大后变小D.先变小后变大

【解答】解：连接。C,OD,PD,CQ.设尸C=x,OP=y,OF=a,

•/PC1AB,QD±AB,

:.ZCPO=ZOQD=90°,

PC=OQ,OC=OD,

RtAOPC=RtADQO,

:.OP=DQ=y,

加=S四边形PCQ0_SAP">_SACFQ=g(x+y)2_g.(y_a)y_g(x+a)x=^'+；a(y-x)

9

­/PC//DQ,

PC_PF

,'DQ~'FQ，

.x_y-a

••一―-------，

ya+x

:.a—y—x^

.Ff+g(y_x)(y_x)=g(x2+y2).

故选：B.

二.解答题(共2小题)

2.(2018秋•云安区期末)如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度A8=60米，拱高PD=18

米.

(1)求圆弧所在的圆的半径r的长：

(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即依=4

米时，是否要采取紧急措施？

【解答】解：(1)连结OA,

由题意得：AD=^AB=3Q,。。="-18)

在RtAADO中，由勾股定理得：/=302+(一网2,

解得，r=34;

(2)连结or,

•;OE=OP-PE=3G,

..在RfAHEO中,由勾股定理得:AE1=A!Or-OE1,即：^£2=342-302,

解得：A£=16.

:.A'B'=32.

;4斤=32>30,

不需要采取紧急措施.

3.(2017•道外区一模)如图，4?为°。直径，点。为"下方OO上一点，点C为弧4?。

中点，连接8,CA.

(1)求证：ZABD=2NBDC;

(2)过点C作CE_LAB于”，交AD于E,求证：EA=EC;

(3)在(2)的条件下，若OH=5,4)=24,求线段DE的长

则NCAB=NBDC=a,

•.•点C为弧ABD中点，

.e.AC=CD,

・•.ZADC=ZDAC=/3f

ZDAB=p-a,

连接AD,

为G)O直径，

.­.ZAT>B=90°，

/.a+/?=90°,

/.P=90°-a,

/.ZABD=90°-ZDAB=90°-(/7-a),

/.ZABD=2a，

:.ZABD=2ZBDC；

(2)-.CE±AB,

/.ZACE+ZCAB=ZADC+ABDC=90°，

・.・/CAB=NCDB,

:.ZACE=ZADC,

­.•ZCAE=ZADC,

ZACE=ZCAE,

/.AE=CE；

(3)如图2,连接OC,

.\ZCOB=2ZCAB,

・・Z/WD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB.

:.ZCOB=ZABD，

­.•ZOHC=ZADB=90°,

.OHOCT

■.■,=-----=j

BDAB2

,・OH=5,

:.BD=W,

.・.AB=JAD?+BD?=26,

..AO=13,

/.AH=18,

,/MHEsMDB,

AHAE协18AE

----=----,即—=----

ADAB2426

:.AE=—

2

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

(3)直径所对的圆周角是直角。

【典例】

1.如图，矩形ABCD的顶点A,B在圆上，BC,AD分别与该圆相交于点E,G是AF的

三等分点(标＞/)，BG交AF于点H,若定的度数为30。，则NGHF等于

G

A//\FD

【答案】40°

AB的度数为30°,

二亩的度数为150°,ZAFB=15°,

•；G是源的三等分点，

二席的度数为50。，

，/GBF=25°,

ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如图，AB是。O的直径，BC=CD=DE,ZCOD=38°,则/AEO的度数是

【解析】解：：BC=CD=DE,NCOD=38。,

ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

/.ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

XVOA=OE,

ZAEO=ZOAE,

ZAEO=^x(180°-66°)=57°.

2

3.如图，在。。中，OC_LAB,ZADC=320,则NOBA的度数是

【答案】26。

【解析】解：如图,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

VZ2=2Zl=2x320=64°.

Z3=64°,

在RtAOBE中，ZOEB=90°,

ZB=90°-Z3=90°-64。=26°

【方法总结】

1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

I.（2019•泸县模拟）如图，4?是°。的直径，C,O分别是°。上的两点，OCVOD,

AC=2cm,BD=^cm,则的半径是（）

D

A\^yB

A.x/3cmB.2cmC.\[5cmD.3cm

【解答】解：过点O作OEJ_A8,与圆交于点E,过点。作。HJLAB于点〃，过点C作

CG_LAB于点H连接CE、DE、BC.

:.GH=DE=2

•：OCLOD.OHA.AB,

NCOD=ZAOE=ZBOE=90°,

/.ZAOC=ZEOD,ZCOE=ZBODf

：.AC=DE=2,CE=BD=y/2f

・・・NC8=90。，ZBOE=90°,

NCBD=-NCOD=45°,ZBCE=-BOE=45°,

22

NCED=180°-NCBD=135°,NBDE=180°-ZBCE=135°,

,.ZCED+ZBCE=ISO°,

.-.DE//AB,四边形EZWC为等腰梯形，

•：BD=0,ZCBD=45°,NDHB=45°,

:.HB=HD=^BD=l,

2

同理EG=1

■.GH=DE=2,

:.BC=CG+GH+BH=l+2+l=4

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2=AC2+BC2=22+42=20,

A8=2百，

OA=OB=s/5

故选：C.

B

2.（2019•福建模拟）如图，43是0。的直径，々8=120。，点C为弧比＞的中点，AC交

D.2A/5

・・・ZDO5=120。，

・•.ZAOD=60°,

・・・CD=BC,

/DOC=ZBOC=60°,

AD=CD,

・.OD_LAC,设O4=r,^iOE=-r=DE=i,

2

/.OA=2,

AE=VOA2-OE2=8,

故选：A.

3.（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在OO中,AB=AC,若ZABC=57.5°,则N8OC

的度数为（）

B.130°C.122.5°D.115°

【解答】解：-：AB=AC,ZABC=51.5°,

，ZACB=ZABC=57.5°,

ZA=180。-ZABC-ZACB=65°,

.,・由圆周角定理得：ZBOC=2ZA=130°.

故选：B.

填空题（共8小题）

4.（2019•海安县一模）如图1,一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形MCD,AB,AD

的长分别是2后〃和4:〃，上部是圆心为O的劣弧8,圆心角NCOD=120。.现欲以3点

为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形A8CD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图

4所示记拱门上的点到地面的最大距离比”，则/?的最大值为_（2+2力）_机.

【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点尸，交地面于

点。，

图I12图3图4

如图1,AB,AD的长分别是2百根和4M,圆心角NCOD=120。，

:.ZDOP=60°,-DC=-AB=>/3,

22

:.OD=2,PQ=5,

当点P在线段4）上时，拱门上的点到地面的最大距离。等于点。到地面的距离，即点尸与

点。重合时，此时

h=dDC?+BC。=J（2@2+42=25/7,

如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离/?等于OO的半径长与

圆心O到地面的距离之和，

易知，OQ”OB，

而/i=OP+OQ=2+OQ,

.•・当点。与点5重合时，力取得最大值，

由图1可知，0。=3,BQ=y/3,则OB=2>/5,

〃的最大值为OP+OB,即2+26.

故答案为：（2+26）.

5.（2019•晋江市二模）点A、C为直径是6G的圆周上两点，点3为AC的中点，以线段BA、

8c为邻边作菱形A3CD,顶点。恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为6或

【解答】解：过8作直径，连接AC交AO于E,

•.•点B为AC的中点，

..BD±AC,

如图①，

•・•点。恰在该圆直径的三等分点上，

:.BD=-x60=26，

3

:.OD=（）B-BD=^>,

•.•四边形A8CD是菱形，

:.DE=-BD=y/3,

2

;.0E=26，

连接OC,

•rCE=yj0C2-0E2=715,

边8=4DE2+EC2=3夜；

如图②，BD=-x6x/3=4x/3,

3

同理可得，OD=6,OE=y/3,DE=243,

连接oc,

.CE=\IOC2-OE2=2屈,

边CD=yjDE2+CE2=6,

故答案为6或3&.

6.（2019•下城区二模）已知C是优弧AB的中点，若Z4OC=4NB,OC=4,则AB=

4>/3_.

【解答】解：如图，连接CO,延长CO交43于”.

•・・AC=BC,

.\CH.LAB,AH=BH,

,-,ZAHO=90°,

,；OA=OB,

...ZA=ZB，

VZ24OC=90°+ZA=4ZB,

.*.ZA=30°,

・・・Q4=OC=4,

:.OH=-OA=2,

2

AH=26,

AB=4y/3,

故答案为4G.

7.（2019•崇明区二模）如图，在OO中，点C为弧A3的中点，OC交弦AB于。，如果A8=8,

巨

OC=5,那么8的长为3.C

【解答】解：连接AO,

•.•点C为弧的中点，

AC=BC,

.\COA.AB,AD=-AB=4,

2

•・・CO=5,

:.AO=5,

二.£）0=正-42=3,

8.（2019•江岸区校级模拟）如图，己知四边形4JCD外接圆OO的半径为5,对角线AC与

BD交于点E,BE=DE,AB=^BE,且AC=8,则四边形他8的面积为10.

B

【解答】解：♦.•8E=r)E,AB=6BE,

AB2=2BE2=BE.BD,

/.AB:BE=BD:AB，

又NEBA=ZABD,

/./^ABE^ADBA，

:.ZADB=ZBAE,

\ZADB=ZACB,

:.ZACB=ZCAB,

：.AB=BC.

连接30,交AC于H,连接OA,

\AB=BC,

BOLAC,

:.CH=AH,

:.CH=AH=-AC=4

2

AO=5,

OH=yj0A2-AH2=3,BH=OB-OH=5-3=2.

..SAM/RioCc=2AC・BH2=-x5x2=5,

・・•£：是的中点，

••SgBE=Sw)E，S2CE=S^DCE，

-S^ABC=SvADC，

••S四边形ABCD=2sMsc=10，

故答案为10.

B

9.（2019•浙江模拟）如图，已知半OO的直径四为3,弦AC与弦8。交于点E,ODLAC,

垂足为点尸，AC=BD,则弦AC的长为-A/3.

-2-

【解答】解：•.•O£）_LAC,

AD=CD,ZAFO=9Q°,

又rAC=BD,

AC=BD,BPAD+CD=CD+BC,

AD=BC,

/.AD=CD=BC,

ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°，

•・・4?=2,

/.AO=BO=1,

人尸AC./人c03G30

AF=AOsmZAOF=—x——=，

224

则AC=2AF=—；

2

10.（2019•荆州一模）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段84、

8c为邻边作菱形A8CD,顶点。恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为—几或

25/3_.

【解答】解：过8作直径，连接AC交AO于E,

•.•点B为AC的中点，

:.BD±AC,

如图①，

•••点。恰在该圆直径的三等分点上,

:.BD=-x2x3=2

3f

,・.OD=OB—BD=1,

・・•四边形ABC。是菱形，

:.DE=-BD=\,

2

/.OE=2，

连接oc,

CE=yjoc2-OE2=小,

边CD=dDE,+EC。=瓜；

2

如图②，B£）=-x2x3=4,

3

同理可得，OD=\,OE=\,DE=2,

连接OC,

­.CE=VOC2-OE2=册=2近，

边CD=\lDE2+CE2=7（2V2）2+22=2y/3,

故答案为庭或26.

11.（2019•新城区校级模拟）点A、C为半径是4的圆周上两点，点8为弧AC的中点，以

线段84、8c为邻边作菱形458,顶点力恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为

276_.

【解答】解：如图，连接Q4,设BD交AC于G,BD交OO于F.

•.•四边形/WCZ）是菱形，

垂直平分线段AC,

.•.BR是直径,

■.OD=DF=2,08=4,

:.BG=DG=2,

.-.OG=1,

在RtAAGD中，AG=>j42-12=715,

在RtAABG中，AB=4灰丫+3?=2屈,

故答案为26

知识点3圆周角定理及推论

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

圆周角的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

②90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

【典例】

1.如图，。。的半径为2,点A为。O上一点，半径0D,弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的长是

【答案】2M

【解析】解：；NBAC=60。，ZBOC=I20。,

：OD_L弦BC,ZBOD=90°,

VZBOD=ZA=60°,；.OD」OB=1,

2

BD=VOB2-OD2=V22-12=Y^'

，BC=2BD=2«

2.如图所示，A、B、C、D四个点均在。。上，ZAOD=50°,AO//DC,则NB的度数为

【答案】65°

【解析】解：如图连接AD,

VOA=OD,ZAOD=50°,

NADO」J。。_/AQD=656

2

：AO〃DC,

.•.NODC=NAOD=50。，

ZADC=ZADO+ZODC=115°,

.,.ZB=180°-ZADC=65°

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。

2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。

【随堂练习】

1.（2019•青山区模拟）已知OO的半径为2,A为圆内一定点，AO=i.尸为圆上一动点,

以AP为边作等腰AAPG,AP=PG,ZAPG=\20°,OG的最大值为（）

A.1+6B.1+273C.2+6D.2^-1

【解答】解：如图，将线段绕点。顺时针旋转120。得到线段or,连接GT,OP.则

AO=OT=l,AT=6

■.-MOT,AAPG都是顶角为120。的等腰三角形,

:.ZOAT=ZPAG=30°,

=变=弛=显

ATAG3

.OAAT

APAG

/.AOAP^ATMG,

OPOA£cq

TGTA3

TG=273,

,/OG,、OT+GT,

OG„1+2\/3,

.・.OG的最大值为1+26,

故选：B.

2.（2019•鹿城区模拟）如图，AB,BC是OO的弦，ZB=60。，点。在内，点。为AC

上的动点，点M,N,P分别是AO,DC,C8的中点.若OO的半径为2,则PN+MN

的长度的最大值是（）

B.1+2>/3C.2+2百D.2+6

【解答】解：连接OC、OA.BD,作OHLAC于H.

ZAOC=2ZABC=120°,

■.OA=OC,OHVAC,

Z.COH=ZAOH=60°,CH=AH,

CH=AH=OC.sin60。=石，

AC=2x/3,

•;CN=DN,DM=AM,

:.MN='AC=6

2

.CP=PB,AN=DN,

:.PN=-BD,

2

当8。是直径时，PN的值最大，最大值为2,

.•/团+上亚的最大值为2+6.

故选：D.

解答题（共2小题）

3.（2019•苍南县模拟）如图，在AABC中，CA=CB,E是边3c上一点，以AE为直径的

。0经过点C,并交A3于点连结ED.

（1）判断及3DE的形状并证明.

（2）连结CO并延长交AS于点F,若BE=CE=3,求AF的长.

【解答】（1）证明：ABDE是等腰直角三角形.

・.・AE是OO的直径

...ZAG?=ZA£>£=90°,

ZBDE=180°-90°=90°.

・・・C4=C8,

/.ZB=45°,

・•.ABDE是等腰直角三角形.

（2）过点/作EGJ_A。于点G,

则AAFG是等腰直角三角形，且AG=FG.

\OA=OCf.\ZEAC=ZFCG.

・.,BE=CE=3，

/.AC=BC=2CE=6,

CE1

/.tanZ.FCG=tanZ.EAC=----=—

AC2

.\CG=2FG=2AG.

,\FG=AG=2f

AF=2>/2.

4.（2019•南开区一模）已知：如图1,在OO中，直径AB=4,CD=2,直线4）,8C相

交于点E.

（1）/£的度数为_60°

（2）如图2,4?与CZ）交于点尸，请补全图形并求NE的度数;

（3）如图3,弦/W与弦CD不相交，求NAEC的度数.

E

\OD=OC=CD=2

.•.AZX?C为等边三角形，

.・.ZDOC=60°

:.ZDBC=30°

:,ZEBD=3(T

,「AB为直径，

.•・NADB=90。

/.ZE=90°-30°=60°

NE的度数为60°；

(2)①如图2,直线4),CB交于点E,连结8,OC,AC-

・；OD=OC=CD=2,

.•.ADOC为等边三角形，

/.ZZ)OC=60°,

/.ZZMC=30°,

;.NEBD=30。，

・・・4?为直径，

.\ZACB=90°,

.­.ZE=90°-30o=60°,

(3)如图3,连结8,OC,

・；OD=OC=CD=2,

・•.ADOC为等边三角形,

:.ZDOC=60°,

ZCBD=30°,

・・.ZAD3=90°，

:,ZBED=60°，

.•.ZAEC=60。.

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

1.如图，点A、B、C、D、E在。O上，且AE的度数为50。，则NB+ND的度数为

【答案】155°

【解析】解：连接AB、DE,则NABE=NADE,

AE为50°,.../ABE=/ADE=25。，

•.•点A、B、C、D在。O上，

四边形ABCD是圆内接四边形，

AZABC+ZADC=180°,

ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

ZB+ZD=180°-ZABE=180°-25°=155°

2.如图，已知。。的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若/E+/F=70。,

则NA的度数是

【解析】解：•••四边形ABCD为。。的内接四边形,

NA=NBCF,

ZEBF=ZA+ZE,

而NEBF=180°-ZBCF-NF,

ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

.,.ZA+ZE=180-ZA-ZF,

即2/A=180。-(ZE+ZF)=110°,

NA=55。

3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，ZADC=90°,AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,则阴影部分的面积为cm2.

A/_E_\D

【答案】31

【解析】解：如图，连接AC.

©

A/_E_\D

ZADC=90°,

；.AC是直径，

ZABC=90°,

.*.CD±AE,AB_LCF,

VSBFSAAEC+SAAFC=—•AE<D+^«CF«AB=^x4x5+^x6x7=31（cm2）

2222

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法：

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

1.（2019•雁塔区校级模拟）如图，四边形是OO的内接四边形，AD=BC.若

ZBAC=45°,Zfi=105°,则下列等式成立的是（）

D

i

C.AB=-CDD.AB=—CD

32

・・・AD=BC,

NACD=NBDC=NBAC=45。,

/.NDKC=90。,

•・ZBAC=ZDCK=45。,

：.AB//CD,

ZABC+/BCD=180°,

・・・ZABC=105°,

:.ZDCB=75°,ZACB=30°,

vZC/®=90°，

：.CK=6BK,

••4KAB=4KDC,ZAKB=ZDKC,

二.AAA^SADKC,

ABBK

----=-----,

CDKC

・•.AB=—AB,

3

故选：B.

2.（2019•岳麓区校级二模）如图，在圆。的内接四边形ABCD中，AB=3,AD=5,

N84D=60。，点C为弧BD的中点，则AC的长是（）

•o

B

A.4B.2GC.-D.—

33

【解答】解：•.•A、B、。、。四点共圆，440=60。，

Z8CD=180°-60°=120°,

■.ZBAD=60°,AC平分

.­.ZC4D=ZC4B=30°,

如图I,

将AAC£＞绕点C逆时针旋转120°得NCBE,

则NE=NOW=30°,BE=AD=5,AC=CE,

ZABC+NEBC=(180°-CAB+ZACB)+(180°-ZE-/BCE)=180°,

,A、B、K三点共线，

过C作CM_LA£于M,

:AC=CE,

:.AM=EM=^x(5+3)=4,

在RtAAMC中，AC=-AM=-^=—X

cos30°y/33

故选：D.

3.（2019•碑林区校级三模）如图，四边形ABCQ内接于圆O,连接08,OD,若

ZBOD=ABCD,则N/MO的度数为（）

B.45°C.60°D.120°

【解答】解：设N^AD=x,则NB8=2x,

•・・NBCD=/BOD=2x,Z^4D+ZBCD=180°,

...3%=180。，

/.x=60°，

.*.ZBAD=60°,

故选：c.

4.（2019•德州）如图，点O为线段的中点，点A,C,D到点O的距离相等，若NAfiC=40。,

B八,

则NA£>C的度数是（）0

A.130°B.140°C.150°D.160°

【解答】解：由题意得到Q4=O8=OC=OD,作出圆O,如图所示，

四边形ABCD为圆O的内接四边形，

ZABC+ZADC=180°,

•/ZABC=40°，

ZADC=140°,

5.（2019•蓝田县一模）如图，点A、B、C、。在G）O上，CB=CD,NC4£>=30。，ZACD=50°,

则ZADB=()

A.30°B,50°C.70°D.80°

【解答】解：・.・C8=CO,ZCAD=30°

・•.ZCAD=ZCAB=30°,

:./DBC=ZDAC=3。。,

vZACD=50°,

:.ZABD=50°,

：.ZACB=ZADB=1800-ZCAB-ZABC=180°-50°-30°-30°=70°.

故选：C.

6.(2019•江北区一模)如图，点A、B、C、。在G)O上，NAOC=120。，点4是弧AC的

中点，则NO的度数是()

电

A.60°B.35°C.30.5°D.30°

【解答】解：连接08,

•.•点8是AC的中点，

:.ZAOB=-ZAOC=60°,

2

由圆周角定理得，Z£)=-ZA6>B=30°,

2

故选：D.

7.（2019•周村区一模）如图，四边形ABCZ）内接于OO,AB=9,4）=15,ZBC£>=120°,

弦AC平分则AC的长是（

C.12D.13

过C作CE_LAT>于£,CF_LAB交回延长线于E,ZBFC=ZDEC=90°,

.AC平分

:.CF=CE,

由勾股定理得：AF2=AC2-CF2,AE2=AC2-CE2,

:.AF=AE,

・.・A、B、C、。四点共圆，

../FBC=ND,4AD+N8CD=180。，

vZBC£>=120°,

.-.ZB4D=60°,

•・・AC平分NRM>,

ZBAC=ZZMC=30°,

在AFBC和ADEC中

ZFBC=ZD

<NBFC=/DEC

CF=CE

:.AFBC^ADEC（AAS）,

・.BF=DE,

・・・AB=9,AD=15,

AF+AE=AB+BE+AD-DE=9+BF+\5-DE=9+\5=24,

:.AF=AE=\2f

\ZBAC=30°,ZAFC=90。，

/.AC=2CF,

/.CF2+122=（2CF）2,

解得：CF=4y[3,

:.AC=2CF=Sy[3f

故选：B.

8.（2019•行唐县模拟）如图，四边形ABDC内接于OO,ZBDE=78°36r,则々OC的度

数（）

A.157°12rB.156°48rC.78°12zD.156028z

【解答】解：・.・ZBDE=78。36',

/.ZCDB=180°-ZBDE,

VZA4-ZCDB=180°,

.-.ZA=78°36\

/.ZBOC=157°12z,

故选：A.

9.（2019•雁塔区校级三模）如图，四边形ABC。为OO的内接四边形，AOrBC,垂足为

点E,若NADC=130。，则N8QC的度数为（）

C.75°D.60°

【解答】解：•.•四边形ABC。为OO的内接四边形，Z4ZX?=130°,

NABE=180。-130。=50。，

\AO-LBC,

.♦.ZAE3=90。,

..ZBAE=40°,

•/AOA.BC,

BC=2BE,

ZBDC=2ZBAE=80°，

故选：B.

综合运用：圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如图，设EF的中点M,作MNJ_AD于点M,取MN上的球心O,连接OF,

・・・ZC=ZD=90°,

，四边形CDMN是矩形,

MN=CD=4cm.

设OF=xcm,贝UON=OF>

；.OM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OMZ+MFaMOF2

即：(4-x)2+22=x2

解得：x=2.5cm

答:球的半径为2.5cm。

2.如图，AB是半圆的直径，。是圆心，C