大学数学微积分第16讲《求导法则》课件

大学数学微积分第16讲《求导法则》课件汇报人：AA2024-01-25CATALOGUE目录引言基本求导法则复合函数的求导法则隐函数与参数方程的求导法则高阶导数及其应用总结与回顾CHAPTER01引言02030401本讲内容概述求导法则的基本概念和性质常见函数的求导方法复合函数、隐函数、参数方程的求导法则高阶导数的计算求导法则的重要性01求导法则是微积分学的基础，对于理解和应用微积分学具有重要意义。02掌握求导法则可以帮助学生更好地理解和分析函数的性质和行为，如单调性、极值、拐点等。求导法则在解决实际问题中具有广泛应用，如优化问题、物理问题、经济问题等。0301理解复合函数、隐函数、参数方程的求导法则，并能够应用于实际问题中。了解高阶导数的概念和计算方法，能够计算简单函数的高阶导数。通过本讲的学习，培养学生的数学素养和逻辑思维能力，提高分析和解决问题的能力。掌握求导法则的基本概念和性质，能够熟练计算常见函数的导数。020304学习目标与要求CHAPTER02基本求导法则常数和幂函数的导数常数函数的导数对于任意常数c，其导数为0，即dc/dx=0。幂函数的导数对于形如f(x)=x^n的幂函数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。VSf(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0。多项式函数的求导法则对每一项分别求导后相加，即f'(x)=na_nx^(n-1)+(n-1)a_(n-1)x^(n-2)+...+a_1。多项式函数的一般形式多项式函数的导数正弦函数的导数对于f(x)=sin(x)，其导数为f'(x)=cos(x)。余弦函数的导数对于f(x)=cos(x)，其导数为f'(x)=-sin(x)。正切函数的导数对于f(x)=tan(x)，其导数为f'(x)=sec^2(x)。三角函数的导数指数函数的导数对于形如f(x)=a^x的指数函数（a>0且a≠1），其导数为f'(x)=lna*a^x。特别地，当a=e时，f'(x)=e^x。对数函数的导数对于形如f(x)=log_a(x)的对数函数（a>0且a≠1），其导数为f'(x)=1/(xlna)。特别地，当a=e时，f'(x)=1/x。指数和对数函数的导数CHAPTER03复合函数的求导法则复合函数是指由两个或多个函数通过一定的运算组合而成的新函数。定义复合函数具有连续性、可导性等基本性质，其定义域和值域受各组成函数的影响。性质复合函数的定义与性质链式法则复合函数的导数等于各组成函数导数的乘积，即若$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。逐步求导按照复合函数的组成顺序，逐步求出各组成函数的导数，最终得到复合函数的导数。复合函数的求导方法典型例题解析例1求函数$y=sin(x^2)$的导数。解析根据链式法则，令$u=x^2$，则$y=sinu$，$frac{dy}{du}=cosu$，$frac{du}{dx}=2x$，所以$frac{dy}{dx}=cos(x^2)cdot2x=2xcos(x^2)$。例2求函数$y=e^{cosx}$的导数。解析根据链式法则，令$u=cosx$，则$y=e^u$，$frac{dy}{du}=e^u$，$frac{du}{dx}=-sinx$，所以$frac{dy}{dx}=e^{cosx}cdot(-sinx)=-sinxe^{cosx}$。CHAPTER04隐函数与参数方程的求导法则隐函数是指一种不直接表示出因变量与自变量之间关系的函数形式，通常表示为$F(x,y)=0$。隐函数具有连续性、可微性等基本性质，同时满足一些特定的条件，如存在性、唯一性等。隐函数的定义隐函数的性质隐函数的定义与性质直接求导法通过对隐函数两边同时关于自变量求导，得到包含因变量导数的方程，进而解出因变量的导数。链式法则在求导过程中，需要运用链式法则处理复合函数的导数。多元函数求导法则对于多元隐函数，需要运用多元函数求导法则进行求导。隐函数的求导方法参数方程的定义参数方程是一种通过引入参数来表示因变量与自变量之间关系的方程形式，通常表示为$left{begin{array}{l}x=varphi(t)y=psi(t)end{array}right.$。参数方程的求导方法通过对参数方程中的$x$和$y$分别关于参数$t$求导，得到$frac{dx}{dt}$和$frac{dy}{dt}$，然后通过除法运算得到$frac{dy}{dx}$。链式法则的应用在参数方程的求导过程中，同样需要运用链式法则处理复合函数的导数。参数方程的求导方法03例题3求解隐函数$e^y+xy=e$在点$(1,0)$处的导数$frac{dy}{dx}$。01例题1求解隐函数$x^2+y^2=1$在点$(1,0)$处的导数$frac{dy}{dx}$。02例题2求解参数方程$left{begin{array}{l}x=t^2y=t^3end{array}right.$所确定的函数在$t=1$处的导数$frac{dy}{dx}$。典型例题解析CHAPTER05高阶导数及其应用高阶导数的定义与性质函数的高阶导数是指对其导数再次或多次求导得到的导数，反映了函数在某一点处的变化率的加速度。高阶导数的定义高阶导数具有线性性、乘法法则、除法法则等性质，这些性质在求解复杂函数的高阶导数时非常有用。高阶导数的性质根据高阶导数的定义，通过逐步求导得到高阶导数。直接法利用已知的高阶导数公式或性质，通过代换、变形等方法简化计算过程。间接法对于两个函数的乘积的高阶导数，可以使用莱布尼兹公式进行求解。莱布尼兹公式高阶导数的计算方法寻找函数的极值点函数的极值点通常出现在其一阶导数为零或不存在的点，通过求解高阶导数可以进一步确定极值点的位置和性质。判断函数的凹凸性通过求解函数的二阶导数，可以判断函数在某个区间内的凹凸性。判断函数的单调性通过求解函数的一阶或二阶导数，可以判断函数在某个区间内的单调性。高阶导数在极值问题中的应用求解函数f(x)=x^3+3x^2+2x的高阶导数，并分析其性质。例题1求解函数f(x)=sin(x)和g(x)=cos(x)的乘积的高阶导数，并讨论其在极值问题中的应用。例题2讨论函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2的极值点和单调性，并给出其图形的大致形状。例题3典型例题解析CHAPTER06总结与回顾01介绍了求导法则的基本概念和性质，包括导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则等。02详细讲解了求导法则的应用，包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的求导方法，以及复合函数、隐函数、参数方程等特殊函数的求导技巧。03通过举例和练习，加深了对求导法则的理解和掌握，提高了求解导数问题的能力。本讲内容总结03在求解导数问题时，要注意函数的定义域和值域，确保导数的存在性和合法性。01在求导过程中，要遵循求导法则的运算顺序和规则，避免出现计算错误。02对于复合函数、隐函数和参数方程等特殊函数，要灵活运用求导法则和技巧，以便快速准