中考数学热点复习模拟试题：特殊的平行四边形(含中考真题)

专题21特殊的平行四边形

由解读考点

知识点名师点晴

会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用

1.矩形的性质

演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题.

矩形

会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否

2.矩形的判定

是矩形

1.菱形性质能应用这些性质计算线段的长度

菱形

2.菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题

1.正方形的性了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关

质系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题

正方形掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和

判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用

2.正方形判定

特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自

己的猜想进行证明

ET2年中考

【题组】

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.

B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

【答案】D.

【解析】

试题分析：A.“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是判定四边形为平行四边形的基本方法，故该命

题正确；

3.对甬线互相平分的四边形为平行四边形，若对角线再相等则为矩形，矩形的对角线再垂直时为正方形，

故该命题正确；

C.平行四边形的对角线若相等则为矩形，是判定四边形为矩形的常见方法，故该命题正确；

D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能是任意四边形，故该命题错误；

故选D.

考点：1.正方形的判定；2.平行四边形的判定；3.菱形的判定；4.矩形的判定.

2.（连云港）已知四边形ABCD,下列说法正确的是（）

A.当AD=BC,AB〃DC时，四边形ABCD是平行四边形

B.当AD=BC,AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C.当AC=BD,AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=BD,AC_LBD时，四边形ABCD是正方形

【答案】B.

【解析】

试题分析：•••一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，，A不正确；

•••两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；

•.•对角线互相平分且相等的四边形是矩形，；.C不正确；

•••对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，，D不正确；

故选B.

考点：1.平行四边形的判定；2.矩形的判定；3.正方形的判定.

3.（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周

长为28,则0E的长等于（）

【答案】A.

【解析】

试题分析：•菱形ABCD的周长为28,；.AB=28+4=7,0B=0D,：E为AD边中点，；.0E

是4ABD的中位线，••.OE=2AB=2X7=3.5.故选A.

考点：菱形的性质.

4.（柳州）如图，G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点，且AG=CE,AE±EF,

AE=EF,现有如下结论：®BE=2GE；②^AGE丝Z\ECF；③NFCD=45。；©AGBE^AECH

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B.

【解析】

试题分析：：四边形一二”是正方形，，/方/口,二%。，XB=3C,•.•XG=CE,，5G=5E,由勾股定理得:

5E=4GE,.,.①错误；

'：BG=BE,ZS=90°,.•.Z3GE=NBEG=45°,：.^4GE=l35a,.\ZG.4£+zS4£G=45o,,.\4£l£r,/.

/空尸=9。°,,.,Z35G=45°,.,，Z4£G+Zr2-C=45o，,NGWE=ZFEC,在△&4和△C£F中，•.丁G=CE,

ZGAE=ZCEF,AE=EF,CEF,.•.②正确；

.,.Z.4G5=Z£CF=135*,：.ZFCD=1250-90°=45°,二③正确；

•/ZBG£=Z5£G=45<>,4;EG+NFEO45°,...乙喈。<4°,.;△GBE和△EGf不相似，.•.④错误；

即正确的有2个.故选3.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.正方形的性质；3.相似三角形的判定与性质；4.综

合题.

5.（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形

ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

B

A.V3B.2V3c.2J6D,V6

【答案】B.

【解析】

试题分析：连接5D,与XC交于点尸.•点B与D籽式对称，；.PD=PB,：.PD-PE=PB-PE=BE最小.：

正方形V38的面积为12,.-..43=25/3.丈4BE是等边三角形，...1=一步=2道.故所求最小值为

考点：1.轴对称-最短路线问题；2.最值问题；3.正方形的性质.

y--

6.（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为、；cm,则对角线AC长和BD长

A.1：2B.1：3C.1：、'2D.1：、？

【答案】D.

【解析】

试题分析：如图，设AC,BD相较于点0,：菱形ABCD的周长为8cm,；.AB=BC=2cm,

•高AE长为、-'em,.".BE=\'」8IL=1（cm）,CE=BE=lcm,AC=AB=2cm,

VOA=lcm,AC1BD,，0B=\T8OI=、3(cm),BD=20B=Mcm,AAC：

BD=1：、'3.故选D.

考点：菱形的性质.

7.（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4.点E在边AB上，点F在边CD上,

点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）

A.2&B.3-C.5D.6

EB

【答案】C.

【解析】

试题分析：连接断交“于。，：四边形EGFN是菱形，•..居1/C,OE=OF,...四边形T3CD是矩形，

.-.Z3=ZZ）=90:,ABIICD,：.Z.4CD=ZCAB,在△CF。与△《OE中，•；/FCO=/OaB,2FOC=AAOE,

OF=OE,

：.^CFO^^-lOE,：.AO=CO,:-+BC，=4出,：.AO=^AC=2y/5,\'ACAB=ACAB,/&O£=

r#AT

Z5=905,.•.AJOESAJBC,：.AO:AB=AE:AC,=：.AE=5.故选C.

84#

考点：1.菱形的性质；2.矩形的性质.

8.（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD±,若CE=3'、，

且NECF=45。，则CF的长为（）

2而

A.2而B.3GC.3D.3

【答案】A.

【解析】

试题分析：如图，延长尸。到G,使DG=5E,连接CG、：四边形为正方形，在ASCE与ADCG

中，•.,C5=CD,ZCBE=ZCDG,3E=DG,：.A3CE^ADCG(S.JS),：.CG=CE,ZDCG=ZBCE,.\Z

GCF=45°，在AGCF与〜CF中，•：GC=EC,4GCF=4ECF,CF=CF,：.△GCF^AECFaS』S)，：.GF=EF,

•；CE=3/,CB=6,:.BE=dCE：-CB：=J(3点)—,.\JZ=3,设XF=x,则工=6-x,Gr=3+(6

-x)=9-x,:.EF=4AE：+x，=49+f,/.(9-x):=9+r,/..x=4,即/尸=』,...值4工「.22,

CF=J。。：+DF：=府+2：=2而,故选A.

G

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.正方形的性质；4.综合题；5.压

轴题.

9.（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2c2D2、D2E3E4B3、

A3B3c3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点Cl、El、E2、C2、E3、E4、

C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1,ZB1C10=60°,B1C1〃B2c2〃B3c3…

则正方形ABCD的边长是（）

【解析】

试题分析：；正方形山及G5的边长为1,Z5]CiO=60°,51C)//B2C2HBsCi-,：.D}E}=B2E2,产昆瓦,

o=?,则同理可得：星G=?=

ZD]Ci£i=ZC25£=ZC：5s£=30,：.DE=CDsM0°>

:;i}}}}233

故正方形的边长是：（一）,则正方形/刈,止的边长是：（二尸".故选D.

考点：1.正方形的性质；2.规律型；3.综合题.

10.（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm,ZABC=60°,

则四边形EFGH的面积为cm2.

月

瓦

B

【答案】9心.

【解析】

试题分析：连接AC,BD,相交于点0,如图所示，•••£、F、G、H分别是菱形四边上的中

点，；上11=1BD=FG,EH〃BD〃FG,EF=[AC=HG,...四边形EHGF是平行四边形，：

菱形ABCD中，AC±BD,...EFLEH,...四边形EFGH是矩形，•四边形ABCD是菱形,

2

ZABC=60°,AZABO=30°,VAC±BD,AZAOB=90°,.\A0=2AB=3,；.AC=6,在

RtZ\A0B中，由勾股定理得：0B="/「（y=3行,

/.BD=6<VEH=2BD,EF=

-AC,.,.EH=3、'3,EF=3,...矩形EFGH的面积=EF・FG='Z3cm2.故答案为：§石.

考点：1.中点四边形；2.菱形的性质.

11.（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2,0）,ZDOB=60°,

点P是对角线0C上一个动点，E（0,-1）,当EP+BP最短时，点P的坐标为.

【答案】（2赤-3,2-G）.

【解析】

试题分析：连接力，如图,

...点B的对称点是点D,「.D尸=BP,...即即为EP-8P最矩，,四边形.453是菱形，顶点B（2,0）,

NDO5=60。，.•.点D的坐标为（1,历），...点C的坐标为（3,上...可得直线OC的解析式为：y=鼻,

•••点E的坐标为（-1,0），.•.可得直线ED的解析式为：y=（l+^）x-l,...点P是直线。C和直线ED

,kT*卜=26-3

的交点，.•.点P的坐标为方程组1।的解，解方程组得：1?、：，所

以点p的坐标为（2J，\2♦）,故答案为：、，>网）.

考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形性质；3.轴对称-最短路线问题；4.动点型；5.压

轴题；6.综合题.

12.（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1,0）,点

B的坐标为（0,）,动点P从点A出发，沿A—>B―>C—>D―>A―>B—>…的路径，在麦形

的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第秒时，点P的坐标

为

【答案】（0.5,).

【解析】

试题分析：（1,0）,5（0,有），.二3=肝+（/）：=2.♦.•点H的运动速度为睦米秒，,从点X

到点3所需时间=2+。；=4秒，...沿.JB-JDT所需的时间44=16秒.…凡.•.移

动到第刈5秒时，点P恰好运动到TD的中点，.•.「（0.5,-《）.故答案为：（0；,-£）.

考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形性质；3.规律型；4.综合题.

13.（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在

DC边的延长线上.若/CAE=15。，则AE=.

【答案】8.

【解析】

试题分析：：正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,；./BAC=45。，AB

//DC,ZADC=90°,VZCAE=15°,AZE=ZBAE=ZBAC-ZCAE=45°-15°=30°.•在

为△ADE中，ZADE=90°,NE=30。，/.AE=2AD=8.故答案为：8.

考点：1.含30度角的直角三角形；2.正方形的性质.

14.（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE,则NBED的度数是.

【答案】45°.

【解析】

试题分析：•四边形是正方形，..•一铝=3,ZBJD=900.二,等边三角形NDE,：.AD=.iE,ND.赤

N』ED=60°.N34E=Z3ONZU£=90°+60°=150°,.4B=AE,Z.4EB=Z.45E=（180°-ZS.4E）4-2=15°,

Z5£D=ZDJ£-Z.4£5=600-15。=45°,故答案为：45。.

考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质.

15.（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q

分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形

AEPQ的面积是

DO

9

【答案】2.

【解析】

试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点日，点A关于DC的对称点葭,连接A(E\

四边形AEPQ的周长最小，VAD=A'D=3,BE=BE，=1,：.AA'=6,AEr=4.VDQ^AE',D

是AA，的中点，ADQ是aAAE的中位线，；.DQ=2AEf=2；CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP

BPRE'BP\33_3

〃AA，，.,.△BE,P^AAE,A,,；.'■>，即』，BP=2,CP=BC-BP=-=

3_L1

-,S四边形AEPQ=S正方形ABCD-SAADQ-SAPCQ-SBEP=9-1AD-DQ-2CQ«CP

11121399

-2BE・BP=9-2x3x2-2xlx2-2xlx2=2,故答案为：2.

考点：1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质.

16.（达州）在直角坐标系中，直线j一-।与y轴交于点A,按如图方式作正方形A1B1C10、

A2B2C2CKA3B3C1C2...,Al、A2、A3…在直线）1+1±,点Cl、C2、C3…在x轴

上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为》•、S,，，则》，的值为

【解析】

试题分析：•.•直线y=x+l,当X=O时，尸1,当尸0时,x=-l,.-.041=1,OD=1,：.Z0DA^5°f

.,.乙七.415]=45,,二±51=/131=1,.,.Si=：xlxl=W,

・1出=小3]=1,.•..±6=2=21,...S^lxCl1)2=21,

同理得：±6=4=2,，…，S3=^X(2*)*=y>

/.S,=^X(2,!-1):=2叫

故答案为：2"

考点：1.一次函数图象上点的坐标特征；2.正方形的性质；3.规律型；4.综合题.

17.(齐齐哈尔)如图，正方形ABCB1中，AB=1.AB与直线1的夹角为30°,延长CB1

交直线1于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线1于点A2,作正方形A2B2C2B3,

延长C2B3交直线1于点A3,作正方形A3B3C3D4,,依此规律，则

AA=.

C3

【答案】2、

【解析】

试题分析：•••四边形」3c此是正方形，/5#俎—.•./CW=3g序=6,

."i=2,「/隹=/15]=6,.”自=2抬,同理：二.=2（书）〜，/&=2（#）’,.,„%-1=2（代）”,

尸2（退产,故答案为：2（6严4.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质；3.规律型；4.综合题.

18.（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平

分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q,过E作EHJ_AB于H.

（1）求证:HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.

D,____________E,

:』

..FHB

10西

【答案】（1）证明见试题解析；（2）3.

【解析】

试题分析：（D由整13。，E月L1B得到/口一"乙阳船90°,由/^您=41田得到△^，@s△比田，

故由/S4定理得到A4PB丝△',灯,故可得出结论；

（2）根据勾股定理求出5尸的长，由E尸是BP的垂直平分线可知5?：5巳再由锐角三角函数的定义得

出。尸=50的长，由3）知，A』R3逐AWE,故印=3P=4而，再由珍EF-QF即可得出结论.

试题解析：（1）,••E0_L3。，EHlAB,：.4EQ辛/BH3仁90°,,：,

：2QE\U/HBY,在RrAJPB与①△所E中，•:4QE\f=/HBY,通EH,:4PB叁

△HFE,：.HF=AP}

（2）由勾股定理得，3—/虹2+研土山2+122=47词.「EF是氏*的垂直平分线，，3金;BP=2而，

：.OF=3O-tanZFBO=BO-imZ.4BP=2y/Wx—=^22,由（1）知，—PB注AHFE,：EF=BP=AM,

123

-34回-巫典

〜〜33

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.综合题.

19.（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.

（1）求证：AG=CE；

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB,/ABC=/GBE=90。，BG=BE,

得出NABG=NCBE,从而得到△ABG^^CBE,即可得到结论；

（2）由△ABGgZ\CBE,得出NBAG=/BCE,由/BAG+NAMB=90。，对顶角NAMB=

ZCMN,得出NBCE+NCMN=90。，证出/CNM=90。即可.

试题解析：（1）：四边形ABCD、BEFG均为正方形，AB=CB,NABC=/GBE=90。,BG=BE,

AZABG=ZCBE,在AABG和ACBE中，：AB=CB,ZABG=ZCBE,BG=BE,/.AABG

^△CBE(SAS),；.AG=CE；

(2)如图所示：VAABG^ACBE,...NBAG=NBCE,VZABC=90°,AZBAG+Z

AMB=90°,VZAMB=ZCMN,AZBCE+ZCMN=90°,.".ZCNM=90°,AAGICE.

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

20.（武汉）已知锐角aABC中，边BC长为12,高AD长为8.

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,

EF交AD于点K.

EF

①求出的值;

②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与N的两个顶点在4ABC一边上，另两个顶点

分别在AABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长.

A

-S——x(8-x)-----------

【答案】(1)①2；②2,S的最大值是24；(2)5或49.

【解析】

试题分析：(1)①由可得斐=竺，所以与=生，据此求出空的值即可.

BCAKADAK

EF3」一

②由EH=x,求出TK=8-x,再由丁=彳，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出$与x的画数

关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可.

(2)根据题意，设正方形的边长为a,分两种情况：①当正方形.的两个顶点在5c边上时；②当正

方形尸&HV的两个顶点在或TC边上时j分类讨论，求出正方形P2MV的边长各是多少即可.

AKEFEFBC123EF_3

试题解析：⑴①：EF〃BC,BC,：.IK/D=8=2,即AK的值是2；

FFCCC

②—,:.—，—X,'：—=一，：.Er=-(S-x),：.S=EH-EF=-x(S-x),即

<K―22

-1

S=-：(xT)・+24,・•・当时，$的最大值是2』；

(2)设正方形的边长为a,①当正方形*的两个顶点在5c边上时，上巴=之，解得二斗；

②当正方形PQHV的两个顶点在AB或AC边上时，•..上B=.』C,£DJ_5C,...3D=CD=12+2=6,二

叁3=.4C=4AD’+50。=;6：+8。=10>.\AB或AC边上的高等于：

A

4848

T-aT*沪240

-----=士，解•(寸a――5

a1049

综上，可得正方形尸8。.的边长是二或Y.

549

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数的最值；3.矩形的性质；4.正方形的性

质；5.分类讨论；6.综合题；7.压轴题.

21.(荆州)如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线

上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)PC=PE；

(2)求/CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当/ABC=120。时，连接

CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.

【答案】（D证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE.

【解析】

试题分析：（1）先证出AABP丝ACBP,得至IJPA=PC,由PA=PE,得到PC=PE；

（2）SAABP^ACBP,得至U/BAP=/BCP,进而得到NDAP=/DCP,由PA=PC,得到

/DAP=/E,ZDCP=ZE,最后/CPF=/EDF=90。得到结论；

（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论.

试题解析：（1）在正方形」BCD中，.13=5C,Z-45P=ZC5P=45°,在和△C3P中，•..4B=5C,Z

ABP=ZCBP,PB=PB,S.A.ABP^ACBP（S.4S）,：.R-1=PC,\'R4=PE,.,.POPE3

（2）由（1）知，AzLB尸受△C5P,，NA=P=Z3CP,：.Z,DAP=^DCP,\'R4=PC,:.乙DaP=G,:

DCP=/E,•.•/（7尸P=NEFP（对顶角相等）,「.180°-ZPrC-ZPCF=1800-"FE-公,即/CPF=

NE*9Q°;

（3）在正方形N5CD中，」3=BC,Z.45P=ZC5.P=45°,在八郎和△（?如中，：43=BC,Z-13P=ZC3P,

PB=PB,：（S4S）,：.PA=PC,用/BCP,,:PA=PE,：.POPE,:ZD.舁乙DCP,

•.•用炉C,.,.ND/P=4,「.NDCXNE,•.2。尸?=4尸。（对顶角相等），...18。°-乙PFC-ZPC?^ISO0

-NDFE-NE#PINCPF=NE218O°-Z.4D01S00-120°=60°,...△£?（：,是等边三角形，:.PaCE,

.".AP=CE.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质；4.探究型；5.综

合题；6.压轴题.

【题组】

1.(宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点Al,A2,…An分别是

正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是()

A.nB.n-1C.(4)n-1D.4n

【答案】B.

【解析】

试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的4,即是4x4=1,5个这样的

正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1x4,n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）

的面积和为：lx（n-1）=n-1.

故选B.

考点：1.正方形的性质2.全等三角形的判定与性质.

2.（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1,BE的垂直

平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为（）

A.1B.V2C.□D.2

【答案】C.

【解析】

试题分析：如图，连接EC.

••,尸。垂直平分BE,（线段垂直平分线的性质）

又••.点E是TD的中点，TE=1,故EC=2

：

利用勾股定理可得AB=CD=V2-f=4.

考点：1.勾股定理；2.线段垂直平分线的性质；3.矩形的性质.

3.（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,

连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC,则边BC的长为（）

973

A.2行B.3避C.6行D.2

【答案】B.

【解析】

试题分析：：四边形ABCD是矩形，.•./A=90。，即BALBF,•.•四边形BEDF是菱形，

；.EF_LBD,NEBO=/DBF,，AB=BO=3,ZABE=ZEBO,AZABE=ZEBD=ZDBC=30°,

①=26.行

.\BE=c-'I,：.BF=BE=\；,：EF=AE+FC,AE=CF,EO=FO

；.CF=AE=，.,.BC=BF+CF=3^,故选B.

考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质.

4.（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】B.

【解析】

试题分析：•",F是中氤，：同理，EFllAC,GHllAC,FGHBD,：.EHIIFG,EFllGH,则

四边形EFGN是平行四边形.

又..YC15D,...ELEN,...平行四边形EFG厅是蛆形.

故选3.

考点：1.正方形的判定；2.三角形中位线定理；3.菱形的性质.

5.（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分/BAF交BC于

点E,KDE1AF,垂足为点M,BE=3,AE=2，则MF的长是（)

VisVis

A.后B.10C.1D.IS

【答案】D.

【解析】

试题分析：平分N5二交3。于点E,且DELF,Z5=90S：.AB=A\1,3—,―二指,

I-J-------------j—[Z-ADC—^DMF

：.，必/=«AE=V24-9=V15,ig\da>\£F=x,在和△工」,/卬，

ZDXV=ADF

2

：ZD-F\3：.=f:.D\r-：.a=J15x,在△DYF和ADCE中，

㈤/DM

-ZPJ/F=ZC.MD_MF

'AIDF=AMDF'"5c"£C,

/--=,——二一，解之得：a=l,x=半,故选D.

xJ(3+a)--15|/A5x=a.x/(3+a)*-15”

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.矩形的性质.

6.(襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=、AB,将矩形

沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：

①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④aPBE是等边三角形.其中正确的是()

【解析】

2

试题分析：：AE='AB,；.BE=2AE.

由翻折的性质得，PE=BE,/.ZAPE=30°.AZAEP=90°-30°=60°,AZBEF=2(180°-

ZAEP）=2（180°-60°）=60°./.ZEFB=900-60°=30°.

；.EF=2BE.故①正确.

VBE=PE,；.EF=2PE.

VEF>PF,；.PF>2PE.故②错误.

由翻折可知EF_LPB,/.ZEBQ=ZEFB=30°.；.BE=2EQ,EF=2BE.

，FQ=3EQ.故③错误.

由翻折的性质，/EFB=ZBFP=30°,/.ZBFP=30°+30°=60°.

ZPBF=90°-ZEBQ=90°-30°=60°,ZPBF=ZPFB=60°.

...△PBF是等边三角形.故④正确；

综上所述，结论正确的是①④.

故选D.

考点：1.矩形的性质；2.含30度角直角三角形的判定和性质；3.等边三角形的判定.

7.（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm,BD=6cm,则边长AB=cm.

【答案】5.

t解析】

试题分析：如答图，设NC与RD相交于点E,•菱形.坊3中，对角线长BD=6cm,,'..-lE=4cni,

BE=3cm,且

二根据勾股定理得，

考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.

8.（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF〃CE,BE〃DF,AF交BE

与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点.

求证：△EBCgZSFDA.

E

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析:根据平行三边的性质可知:xABC,由平行四边形的判定方法易证四边形BHDK和四边形.4J./C.V

是平行四边形，所以看得NEW打/EC3,乙LDF匕BC,进而证明：AEBC^AFDA.

试题解析：,••四边形H3CD是平行四边形，.YD=3C,XD〃EC,•.NF//CE,BEllDF,二四边形8HDK

_EBC=&DF

和四边形.“二丫是平行四边形,.../£』D-NECS,N.」DF=N55C,在△EB。和△5DX中，'BC=AD

\^CE=^DAF

S.AEBC^AFDA.

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定.

9.(梅州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.

(1)求证：CE=CF；

【解析】

试题分析：(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB^ACFD,从而证出CE=CF.

(2)由(1)得，CE=CF,ZBCE+ZECD=ZDCF+ZECD即/ECF=/BCD=90。又/GCE=45°

所以可得NGCE=NGCF,故可证得△ECG^^FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,

所以可证出GE=BE+GD成立.

试题解析：(1)在正方形ABCD中，VBC=CD,ZB=ZCDF,BE=DF,AACBE^ACDF

(SAS).；.CE=CF.

(2)GE=BE+GD成立.理由是：

•由(1)得：AC55^ACDF,.\Z3C£=ZDCF.

/.ABCE-Z.ECD=ADCF-AECD,RRZ£CF=Z5CD=903.

又,.,/GCE=45n,/.ZGCF=ZGC£=45\

'：CE=CF,NGCE=NGCF,GC=GC,：△ECG^&FCG(SAS').

•GE=GF

•GE=DF-GD=B^-GD

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质.

寸考点归纳

归纳1：矩形

基础知识归纳：

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2、矩形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)矩形的四个角都是直角

(3)矩形的对角线相等

(4)矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角

的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同

时平行四边形的性质矩形也都具有.

注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这

个四边形的对角线相等.

［例1］如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,ZACB=30°,则NA0B

的大小为()

A、30°B,60°C、90°D、120°

【答案】B.

1解析】

试题分析：二•四边形」8CD是矩形，：.AO=OC,BO=OD,AC=BD.：.OB=GC.：ACB=SBC.

".ZC3=3T,.,.ZDBC=3OS.

.,405=60'.

故选B.

考点：矩形的性质.

归纳2：菱形

基础知识归纳：

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质

(2)菱形的四条边相等

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长、高=两条对角线乘积的一半

注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的

平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等“，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行

四边形的判定方法.

【例21如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是().

(A)△ABD与4ABC的周长相等；(B)△ABD与小ABC的面积相等；

(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的

两倍.

【答案】B.

【解析】••.菱形的四边相等，对角线不一定相等，与的周长不一定相等;

.:橙BD与八州。的面积都是菱形ABCD面积的一半，二D与AABC的面积相等：

菱形的周长不一定等于两条对角线之和的两倍3

菱形的面积等于两条对角线之积的一半.

故选B.

考点：菱形的性质.

归纳3：正方形

基础知识归纳：

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形

分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等.

注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F.有甲、

乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A-B-F-C的路径行走至C,乙沿着A-F-E

-C-D的路径行走至D,丙沿着A-F-C-D的路径行走至D.若三名同学行走的速度都

相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）

A.甲乙丙B.甲丙乙C.乙丙甲D.丙甲乙

【答案】B.

【解析】

试题分析：•••四边形.48是正方形，：^B=BC=CD=AD,Z3=90°,甲行走的距离是

AB-BF-CF=AB-BC4B;

乙行走的距离是AF-EF-EC-CD）

丙行走的距离是/尸-尸C-CD,Y4B=4ECF=9T,：.AF>AB,EF>CF,:.AF-FC-CD>1AB,AF-FC-CD

<TF-EF-EC-CD,.•.甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B.

考点：正方形的性质.

由1年模拟

1.（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.菱形的对角线互相垂直

D.对角线互相垂直的四边形是菱形

【答案】D.

【解析】

试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对

角线互相垂直的四边形也可能是梯形.故选D.

考点：1.菱形的判定与性质；2.平行四边形的判定与性质.

2.（广东省广州市中考模拟）如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,NACB=30。,

则/AOB的大小为（）

D.120°

【答案】B.

【解析】

试题分析：；矩形238的对角线NC,