五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编7-三角恒等变换(含解析)

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编7-三角恒等

变换（含解析）

一、单选题

1.（2022.北京•统考高考真题）已知函数/（xXcosJ-si/x,则（）

A.f（x）在（-宗-。上单调递减B.f（x）在（号总上单调递增

C./（x）在（0,（）上单调递减D.f（x）在（?,号）上单调递增

2.（2022・北京・统考高考真题）在A8C中，AC=3,fiC=4,ZC=90°.P为A3C所在

平面内的动点，且尸C=l,则EVP8的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,51C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2022.全国.统考高考真题）若sin（a+/）+cos（a+/7）=2及cos（a+，sin万，则（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+/7）=l

C.tan(«-/?)=-lD.tan(fZ+^)=-l

4.（2021・北京・统考高考真题）函数f（x）=cosx-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

C.奇函数，且最大值为9!D.偶函数，且最大值为总9

OO

5.（2021.全国.统考高考真题）cos2^-cos21^=（）

A.|B.更C.—D.

232

6.（2021・浙江•统考高考真题）已知a,是互不相同的锐角，则在

sinacos/7,sin夕cosy,sin/cosa三个值中，大于g的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

(cosa

7.(2021・全国•高考真题)若ac0,彳，tan2a=丁一一,则tana=()

V272-sina

A.叵B.正C.正

D.

15533

8.（2021.全国•统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰

最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三

角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影

4,8',（7'满足幺。夕=45°,ZA!B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15。,BB'与CC'

的差为100；由B点测得4点的仰角为45。，则4,C两点到水平面A'8'C'的高度差

AA'—CC'约为(6=1.732)()

D.473

9.（2021•全国•统考高考真题）函数〃x）=sin5+cosg的最小正周期和最大值分别是

()

A.3兀和&B.37t和2C.6兀和&D.6兀和2

10.（2021•全国♦统考高考真题）若tand=-2,则吧外匕把也=

()

sin6+cos。

62-1D.9

A.—B.—

555

11.（2020•山东•统考高考真题）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别是。，b,

万

若"+从=c2+absinC,且asinB8sC+csinBoosA=——b,则tanA等于()

2

D.-3或!

A.3B.—C.3或-鼻

3

12.（2018•全国•高考真题）若sina=g,

则cos勿=

A8c7

A.—B.一C.--DY

9999

13.（2018•全国.高考真题）函数〃x）=产二的最小正周期为

1+tarrx

710冗

A.-B.一C.nD.

42

14.（2018•全国•高考真题）己知函数/（犬）=285晨一5府》+2,则

A.7"）的最小正周期为;r,最大值为3

B.“X）的最小正周期为灯，最大值为4

C.的最小正周期为2兀,最大值为3

D.“X）的最小正周期为2兀，最大值为4

试卷第2页，共6页

15.（2018•全国•高考真题）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,

终边上有两点4（1，a）,8（2,b）,且cos2a=：,则,一身=

A.1B.叵2后

Xr_z.---------------D.1

555

16.（2019•全国•高考真题）已知aw(0,—),2sin2a=cos2a+l,则sina=

2

A.\B.立

55

「A/3D.空

35

二、多选题

17.（2022•全国•统考高考真题）双曲线C的两个焦点为月,6，以C的实轴为直径的圆

3

记为。，过大作D的切线与。交于M,N两点,且cos/^NK=],则C的离心率为（）

A.好B.-C.—D.叵

2222

18.（2021•全国•统考高考真题）已知。为坐标原点，点6（cos%sina）,（cos/?,-sin/?）,

£(cos(a+/),sin(仁+/?)),A(l,0),则()

A.|。耳=|。耳B.|^|=|A^|

C.OAOPi=OPxOP2D.OAOP}=OP2OP3

三、填空题

19.（2022•浙江•统考高考真题）若3sina-sin/?=>A5,a+夕，则sina=,

cos2p=.

20.（2020・北京・统考高考真题）若函数/*）=sin（x+Q）+cosx的最大值为2,则常数8的

—个取值为.

21.（2018.全国.高考真题）已知tan[a-"则tana=.

22.（2018•全国♦高考真题）已知sina+cos/?=l,cosa+sin4=0,则

sin（a+/?）.

tana_2（、

23.（2019•江苏•高考真题）已知皿」…叫一一§，则sin2a+；的值是____.

IdllCZn—14/

四、解答题

24.(2022•天津•统考高考真题)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知

a=瓜,b=2c,cosA=——.

4

⑴求c的值；

(2)求sin6的值；

(3)求sin(24-8)的值.

25.(2022・北京•统考高考真题)在一ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC；

(2)若匕=6,且ABC的面积为66,求ABC的周长.

26.(2022•全国•统考高考真题)记,ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,己知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)证明：2a2=/+/

27.(2021.天津.统考高考真题)在"C,角AB,C所对的边分别为。，dc,已知

sinA:sin8:sinC=2:1:应，b=亚.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-?J的值.

28.(2021・浙江•统考高考真题)设函数〃x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函数y=[/(x+到的最小正周期；

(2)求函数y=/(x)/卜-幻在0卷上的最大值.

29.(2020•浙江•统考高考真题)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且26sinA-Ga=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

30.(2018•北京•高考真题)在ABC中，a=l,h=S,cosB=--.

(1)求NA；

试卷第4页，共6页

(2)求AC边上的高.

31.(2018.浙江•高考真题)已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合,

34

它的终边过点尸(一点一］)・

(I)求sin(a+兀)的值；

(II)若角夕满足sin(a+£)=-j^,求cos£的值.

32.(2018・北京•高考真题)已知函数/(x)=sin2x+6sinA8SX.

(I)求的最小正周期；

(ID若/(X)在区间-§,〃？上的最大值为:，求m的最小值.

33.(2018•江苏•高考真题)已知a,夕为锐角，tana=g,cos(a+£)=-乎.(1)求cos2a

的值；⑵求tan(a-£)的值.

34.(2019•江苏•高考真题)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若。=3c,b=6,cosB=|,求c的值；

，-、甘sinAcos8,„兀、

(2)若----=-----,求sin(8+-)的值.

a2b2

35.(2019•全国•高考真题)A3C的内角4,B,C的对边分别为“，b,c,设

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若6a+b=2c，求sinC.

36.(2019•全国•统考高考真题)AABC的内角AB,C的对边分别为a,6,c,已知

A+C.

asin-----=bsinA.

2

(1)求8;

(2)若A43C为锐角三角形，且c=l,求A48C面积的取值范围.

37.(2019・北京•高考真题)在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-；.

(I)求6,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

38.(2019•天津♦高考真题)在一ABC中，内角48,C所对的边分别为。力,c.已知

b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求COS3的值；

(II)求sin(2B+f］的值.

五、双空题

39.(2022.北京.统考高考真题)若函数/(x)=4sinx-石cosx的一个零点为9，则

4=Ti

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.C

【分析】化简得出/(x)=cos2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为/(x)=cos2x-sin2x=cos2x.

对于A选项，当《eV-'时，r<2x<g则f(x)在卜泉一上单调递增，A错;

对于B选项，当一£<、<=时，-g<2x<g,则〃x)在(-。之上不单调，B错；

41226\41ZJ

对于C选项，当0<x<(时，0<2x<^,则.f(x)在(0,?]上单调递减，c对；

对于D选项，当时，y<2x<^,则〃x)在(?,券)上不单调，D错.

故选：C.

2.D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸(cos®,sin0),表示出摩，PB，根据数量积的

坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(3,0),3(0,4),

因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(cos®,sin0),0e[(),2/r],

答案第1页，共32页

所以％=(3—cosa—sing),PB=(—cos仇4—sing),

所以PA-=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin

=cos20-3cos0-4sin0+sin20

=l-3cos6-4sin。

=1—5sin(6+夕)，其中sin°=m，cos0=1,

因为一l〈sin(8+0)Wl,所以YW1—5sin(e+0)W6,即B4-P6«-4,6］；

故选：D

3.C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］:直接法

由已知得：sin6Zcos/?+cos。sin夕+cosacos-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/7,

即:sinacosp—cosasin+cosacosJ3+sinasin0=0,

即：sin(a-/?)+cos(a-/7)=0

所以tan(a_/7)=-l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设P=0则sina+cosa=0,取a=g,排除A,B；

jr

再取a=0贝ijsinp+cosp=2sinp,取B=排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(a+/)=0sin(a+夕+工)=^2sin［(a+—)+/7］

44

=&sin(a+工)cos/&cos(cr+—)sinP=2夜cos(a+—)sinP

444

sin(a+—)cosB-cos(a+—)sinZ?=0B|Jsin(a+----4)=0

444

/.sin(a-/7+—)=sin(a-y9)cos—+cos(a-/?)sin—=—sin(a-y9)+—cos(cz->?)=0

答案第2页，共32页

sin(a-fi)=-cos(a->0)即tan(a-£)=T,

故选：C.

4.D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次

函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以该函数为偶函数,

,(1V9

X/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2lcosx-—I+-,

I9

所以当cosx=:时，/(x)取最大值一.

48

故选：D.

5.D

【分析】由题意结合诱导公式可得COS?'-COS2*COS23-Sil?色，再由二倍角公式即可

得解.

(详解】由题意，cos2--cos2—=cos2--cos2f---=cos2--sin2—

121212(212；1212

nG

=cos—=——.

62

故选：D.

6.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/+sin£cosy+sinycosaW；,从而可判

断三个代数式不可能均大于3,再结合特例可得三式中大于3的个数的最大值.

【详解】法1：由基本不等式有sinccos万4,in，a;cos「£,

工用-csin2^+cos27.sin2y+cos2«

|«J埋sinpcos/<-----------,sin/cosa<---£—------,

3

故sinacos£+sin£cosy+sin/coscr<—,

故sinacossin[3cosy,sinycosc不可能均大于J.

取。=£，fi=-,y=

634

答案第3页，共32页

则sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于T的个数的最大值为2,

故选：c.

法2：不妨设a<,则cosa>cosp>cos/,sina<siny9<sin/,

由排列不等式可得:

sinacos/7+sin/3cos/+sinycostz<sin«cos/+sin4cos尸+sinycosa,

13

而sinacos/+sin/cos尸+sinycosa=sin(74-cr)+—sin2/?<—

故sinacos夕,sin力cos/,sinycosa不可能均大于

取。=£,4=［，

634

则sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于3的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪

进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

7.A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=电孕=学?竿，再结合已知可求得sina=，，利

cos2al-2sin-a4

用同角三角函数的基本关系即可求解.

ccosa

【详解】tan2a=-~；—

2—sina

八sin2a2sinacosacosa

/.tan2a=------=---------——=-------,

coslal-2sin-a2-sina

41八2sina15口.1

ocG0,—,「.cosawO,------5—=--------，解得sina=一,

I2Jl-2sin~a2-sincr4

r———V15sinaV15

cosa=vl-sina=---，tana=-----=----.

4cosa15

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出

答案第4页，共32页

sincr.

8.B

【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得

进而得到答案.

过C作过B作8DJ.A4，,

故AA'—CC'=44'一(明一8")=A4'—阴+100=AD+100,

由题，易知4汨为等腰直角三角形，所以AD=Z)B.

所以A4'-CC'=Z)3+1(X)=A'8'+1(X).

100

因为/BCH=15。，所以CH=C'B'=

tan15°

在」A'8'C'中，由正弦定理得:

A'B'_CB'_100_100

sin45°-sin75O-tanl50cosl5°一sin15°

-Jh—y/2,

而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=

4

WO处也

所以=100(退+1)=273,

AB=A一后

所以A4'-CC'=48'+1(X)=373.

故选:B.

【点睛】本题关键点在于如何正确将A4'-CC的长度通过作辅助线的方式转化为

A'B'+100.

答案第5页，共32页

9.C

【分析】利用辅助角公式化简/(x),结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和

最大值.

【详解】由题，/(x)=sin^+cos^=^f^ysin^+^ycos^岳皿仁+斗所以f(x)的

JJI，J，J)\JIJ

里

最小正周期为r=了一=卬6，最大值为血—.

3

故选：C.

10.C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(Usi/O+cos2),

进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan，=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

sin^(1+sin20)sin6*(sin26>+cos20+2sin0cos0)

=sind(sine+cos。)

sin0+cos0sin0+cos0

_sin(9(sin+cos_tan26>+tan0_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

故选：C.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan”-2,求出sin/cos。的值，可能还需要分象限讨论

其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

11.A

【分析】利用余弦定理求出tanC=2,并进一步判断C>£,由正弦定理可得

4

sin(A+C)=4=>sinB=乎，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；

■、必痴八万/十从一sinC,万。

L详解］cosC—--------------=-------=>tanC=2,..C>一,

2ab24

q=±=」=2R,

sinAsinBsinC

正

，sinAsinB-cosC+sinCsinBcosA=——sinB,

2

/.sin(A+C)=-=>sinB=，:.B=J,

224

tanB=1,

答案第6页，共32页

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-=3,

1-tanB-tanC

故选：A.

12.B

【详解】分析：由公式cos2a=1-2s加2。可得结果.

27

详解：cos2a=1-2sin2a=1-^=—

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

13.C

【详解】分析:将函数f（x）进行化简即可

sinx

详解：由已知得f（戈）=-"皿）=————=sinxcosx=—sin2^|k7r+—,kGZ

'）\+tairx]।（—）2212

cosx

f（x）的最小正周期丁=与=兀

故选c.

点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题

14.B

【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为

/（%）=|cos2x+1,之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.

1—V3S

【详解】根据题意有/（力=8$2犬+1--^+2=全＜«2犬+],

7

所以函数/（X）的最小正周期为7=芍7r=7，

且最大值为小）皿3=5»4,故选B.

【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数

的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.

15.B

2

【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到6=*，利用cos2a=；,利用倍角公式以及

余弦函数的定义式，求得力=g,从而得到同=手，再结合b=2a,从而得到

答案第7页，共32页

项.

定选

而确

,从

。=

〃-2

W=|

=2%

得到方

从而

线，

三点共

。4B

】由

【详解

,

=^

］-1

・(j1

l=2

os2a-

=2c

os2a

因为c

石

时=

(,即

储=

解得一

5

75

T

〃|=

_2

4=|a

I”_

所以

线的

点有共

的知识

涉及到

问题，

差值的

坐标的

点的纵

终边上

角的

有关

的是

考查

】该题

【点睛

等量

相应的

，得到

条件

中的

据题

式，根

定义

数的

弦函

式，余

角公

的倍

，余弦

关系

标的

点的坐

.

结果

求得

从而

式，

关系

16.B

.

答案