专升本高数公式大全

高等数学公式

导数公式:

(次Xy=sec2X(arcsiπ%)'=-[.

√l-x2

(CZgX)'=-CSC?X

(V1

(secx)r=secx√gx(arccosx)=——/

√l-x2

(CSCXy=-esc犬∙c次X

(arctgx)=------F

(优)'=4'l∏Q1+x

1z、，1

(Iog〃％),={arcctgx)=-------r

XIna1+x

基本积分表:

^tgxdx=-In∣cosx∣÷CdX「27C

--------=sec-xax=tgxΛ-C

cos~xJ

^ctgxdx=ln∣siιιx∖+C

——=fcsc2xdx=-ctgx-vC

JsecxtZr=In∣secx+∕gx∣+CsinxJ

JCSCXdX=InICSCX-豳X+CSeCX∙tgxdx=SeCX+C

esex∙ctgxdx=-esex+C

•47λ

x

adx=-+C

Ina

ShXdX=ChX+C

ChXdX=Shx+C

=In(X+JX2±4,)+C

ππ

~2~2〃]

=ʃsin"xdx-∫cos,zxdx--------

JVx2+^z2dx=-yjx2+(72+—ln(x+Vx2+^2)+C

ʃʌ/^2-x1dx=ɪy∣a2-x2+ɪaresin-+C

三角函数的有理式积分：

.2w1—X2du

smx=-------,cos%=------rdx=

l+w2l+w2"町'l+w2

一些初等函数:两个重要极限:

..sinx

双曲正弦:s/?X=Iim------=11

2XfoX

双曲余弦："x=e"+eJCIim(l+⅛=e=2.718281828459045...

2x→∞X

WJqXpX—p~x

双曲正切:左X="=jʌ

chxe+e

arshx=In(x+Λ∣X2+1)

archx-±ln(x+√x2-1)

11÷x

arth1x=—1In------

21-x

三角函数公式:

•诱导公式：

数

角二、sincostgctg

-α-sinacosa-tga-ctga

90。七cosasinactgatgɑ

900+acosa-sina-ctga-tga

180。《sina-cosa-tga■ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270。《-cosa-sinactgaIga

2700+a-cosasina-ctga-tga

360o-a-sinacosa-tga■ctga

3600+asinacosatgactga

∙和差角公式:•和差化积公式:

sinα÷s^=2sin^cos^

sin(ɑ±£)=SinaCOs/?±cos0sinβ

COS(ɑ±β)=cos6zcosβμsinasin/?

a+β.cc—β

tga±tgβSina—Sinβ=2cos------sin------

tg(a±β)=22

∖∖ιtga-tgβa+/3a-B

CoSa+cosA=2cos------cos------

ctga∙ctgβμ1

ctg{a±β)22

ctgβ±ctgaa+β.oc—β

COSa-COSβ=2sin------sin.......-

22

•倍角公式:

sin2a=2SinaCoSa

cos2ez=2COS26Z-1=l-2sin26T=cos2a-sin2asin30=3sina-4sin'0

1cos30=4cos%-3cosa

.ʌctga-∖

ctg2a=--------

2ctga3tga-tgya

tg3a=

,2tgal-3tg2a

-F

•半角公式:

,l+cosσ1+COS6ZSIna

c%a=±k京

SinaI-COSa

ahc

•正弦定理："-二=—^—=27?•余弦定理：c2=a2÷⅛2-2abcosC

sinAsinBsinC

一一一Ttπ

•反三角函数性质：arcsinx=-----arccosxarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(LeibniZ)公式:

QV严=力C”i)W)

Λ=0

小+〃…+券〃fM+f『+D…+A+〃网

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：∕S)-/(α)=∕'R)S-a)

柯西中值定理:m-f(a)f∖ξ)

F(b)-F⑷F∖ξ)

当F(X)=X时，柯西中值定理就邺格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=∖l+y'2√x,其中y'=∕gα

平均曲率汞=A£.Aa:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：弧长。

∆5

M点的曲率：=Iim—=—=∣∙v∣.

MTOAsdsJ(l+y'2)3

直线：K=O;

半径为α的圆：K=L

定积分的近似计算:

ZtRinZ、十rb-a

矩形法：J/(χ)≈—(γ0+y1+Λ+Z,_.)

a

∖A一∩1

梯形法：∫∕(x)≈-------[不("+兄)+乃+A+%_1]

a〃2

b»_

抛物线法：]/(X)ɑ<q(X)+κ)+2(%+N4+A+%_2)+4(必+%+A+γn.1)]

J3/7

定积分应用相关公式：

功：W=F∙s

水压力：F=p∙A

引力：F=k瞥,k为引力系数

r

_1h

函数的平均值沙=ʌ∖f{x}dx

a

均方根Jb二J/"")"

空间解析几何和向量代数：

222

空间2点的距离：d^∖M,M^√(x2-x,)+(γ2-γ1)+(z2-z1)

向量在轴上的投影：Pr/“9=∙cosp,8是方与〃轴的夹角。

Pr.成+记)=PrJM+Pr威

as∙b=|明#CoS6=α也+ciyby+α也,是一个数量，

两向量之间的夹角:eosd=%b*+a,b+凡团

7√+^2÷^2√√+√÷^2

iJk

5515

c=a×b-axav4_用=用WSina例：线速度：v=w×r.

b,byb2

axaya2

向量的混合积：|^篇=浮x6)∙f="byb?=的前同COSe,α为锐角时",

CXCyCZ

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式:N(X-x0)+5(y-%)+C(Z-ZO)=0,其中铲={4∕C},M)(XO

2、一般方程：∕x+8y+Cz+Q=0

3、截距世方程：土+上+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：4=国产+%+0

^JA2+B2+c2

X=XQ+mt

空间直线的方程:土玉=匕取==其中•?={叽〃,p};参数方程:y=为+加

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、ffiW⅛+⅛+⅛=ι

abc

2、抛物面:二+片=Z,(p,q同号)

2p2q

3、双曲面：

单叶双曲面•-彳=1

ahc

双叶双曲面工—4+4=1(马鞍面)

a'b'c

多元函数微分法及应用

AW八J/」∂Z,,∂U,∂U,∂U,

全微分：Ctz=—ax+—ayau=—ax+——ay+—az

∂x∂yðr∂y∂z

全微分的近似计算：MXdZ=f,(x,y)∆x+∕l.(x,y)∆y

多元复合函数的求导法：

包

&詈

dz“ðz

一-

Z=加⑺,W)]与=+

初

也7&ðv

包

吟

ðz‰办

瓦ðv

z=f[u(x,y),v(x,y)]-‰-

当"="(x,y),V=V(X,y)时,

dv=如dx+曳dy

∂x∂y

隐函数的求导公式:

包一.，也=A(-⅛A(-⅛.生

隐函数∕7(x,y)=O,="+

2

dxFydx∂xFv∂yFydx

∂z_F∂z_F

隐函数xy

F(X,%z)=0,,

∂xFz∂yFz

竺

竺

沏

隐函数方程组严°d(F,G)加F.F

竺

丝v

沏

G(x,y,",v)=O∂(u,v)加G11Gv

‰I

-1d(F,G)--d(EG)

‰δ-v_J

J∂(x,v)δx∂(u,x)

包δvI

--1iS(EG)----O(EG)

JayJ

ayð,(S(u,y)

微分法在几何上的应用：

χ=φ(t)

空间曲线y=〃⑺在点/(X。,外,Z。)处的切线方程:中=与，=泊

(八(p(to)W(to)d)(t)

z=ω(t)0

在点M处的法平面方程："伉)(x—%)+ψ∖t.)(ʃ-y0)+ω'(t0)(z-z0)=0

若空间曲线方程为：?Xj'?U，则切向量产={g；F；F

G(x,y,z)=0GyGlG2

曲面E(X,y,z)=O上一点Λ∕(Xo,%,Zo),贝∣J：

1'过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程：Fx(xo,yo,zQ)(x-xo)+Fy(xo,yo,zQ)(y-yo)+F:(xo,yQ,zn)(z-zn)^O

3、过此点的法线方程:一口一=—匕为一=—三一

工(XO/。，ZO)%仆0，九*0)E(Xo，为，ZO)

方向导数与梯度：

函数Z=/(x,y)在一点P(X,y)沿任一方向/的方向导数为:更=又∙COSQ+笠sin/

olox∂y

其中夕为X轴到方向/的转角。

函数Z=/、(")在一点MX,y)的梯度：^adf(x,y)^-Γ+-j5

∂x∂y

它与方向导数的关系是冬=gradf(x,y)者其中JI=COS夕y+Sin夕/为/方向上的

Ol

单位向量。

更是grad∕(x,y)在/上的投影。

Ol

多元函数的极值及其求法：

设A(XoJo)=Ev(XoJo)=O,令：匕(/J。)=4fxy(χ0,y0)=B,fyy(χ0,y0)=c

心炉＞0时,尸＜06。）。）,y

A＞0,（X（）,%）为极小值

则:炉＜0时，无极值

ZC-炉=0时，不确定

重积分及其应用：

^f(x,y')dxdy=jʃ/(reos^,rsinθ)rdrdθ

DD'

2

∂z∂z

曲面Z=/(Xj)的面积/=∫∫dxdy

∂x砂

dσ

^xp{x,y}dσ_MV∖∖yp^

平面薄片的重心：亍=必D

M^p(x,y)dσ'Mjjp(x,y)cfσ

DD

平面薄片的转动惯量：对于X轴人=J∫∕ρ（X,y）dcr,对于y轴。=j∫χ2河χ,y）dcr

DD

平而薄片（位于XOJ/平面）对Z轴上质点/（0,0,0,伍〉0）的引力：F^{Fx,Fy,Fz],其中:

F=/ʃʃP(x,y)xdσ

d(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yd(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosθ

jɪ[f(xy,z)dxdydz=ʃjʃF(r,θ.z)rdrdθdz^

柱面坐标:<y=rsinθ99

Z=ZΩ

其中：F(T,8,Z)=f(rcosrsinθ9z)

X=VSineCOSe

球面坐标，y=rsinesinθ,dv=rdφ•尸Sine∙d。∙dr=/sinφdrdcpdθ

Z=/CoSe

2ππr(φS)

jʃʃ/(ɪ,y,z)dxdydz=^F{r,φ,θ)r2sinφdrdφdθ=^dθ^dφ∫F(r,⅛9,^)r2sinφdr

ΩΩ000

重心：*4型如歹=2型血24gzp九其中"=x=ʃjɪpdv

Ω

22χ2wv

转动惯量：4=JJJt/+Z2)RMIyɪ∫∫∫(x+Z)∕X∕HL=∫∫∫(+∕)z

ΩΩΩ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

ID(α“S则:

设/(x,y)在上上连续，I的参数方程为，

β__________________X=t

ʃf=∫∕[<p(z),^0)]√φ'^(Z)+ψ'^{t}dt(a<β)特殊情况，

La.y=夕(/)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为卜*1，则：

y=叭t)

β

JP(X,y)dx+Q(x,y)dy=J｛尸即(∕)”(∕)]p'(∕)+。[9(/),"(/)]”'(/)｝力

La

两类曲线积分之间的关系JR∕x+=J(PCoSa+2cosβ｝ds,其中α和力分别为

LL

A上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式：°(詈一■WX4=4尸。工+。加各林公式：0(第_看)办方=^PdxQdy

当—即警新2时,得到。的面积A=^dxdy=—^xdy-ydx

DZL

・平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且挈=发。注意奇点，如(0,0),应

oxoy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积：

在学=空时，PdX+。分才是二元函数“(x,y)的全微分，其中：

oxoy

(χ,y)

w(x,y)=Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设XO=y0=Oo

(XoJO)

曲面积分:

对面积的曲面积分:^f∖x.y.z)ds=∫∫∕[x,y,z(x9y)]φ+z(x,y)+zʃ(x,y)dxdy

∑%,

对坐标的曲面积分JjP(x,y,z)力dz+0(XJ,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中：

∑

^R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y9z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

∑Dxy

JJP(X,%z)√ydz=±JJP[x(y,Z)J,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

∑

ʃ[Q(x,y,z)dzdx=±JJQ[x,y(z9x∖z]dzdχ9取曲面的右侧时取正号。

∑%

两类曲面积分之间的关系:ʃjR加⅛+0dzdx+Hdx4=JJ(Pcos二+0CoSβ+7?CoSy)ds

∑∑

高斯公式：

ʃʃʃ(^++W^dV=(^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(PCOSa+Qcosβ+RCoSy)原

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div/=铝+尊+理,即：单位体积内所产生的流体质量，若divr<0,则为消失…

∂x∂y∂z

通量：JJz∙ncis=口4,4=JJ(∕,cosa+QCoSβ+Rcosy)ds,

ΣΣΣ

因此，高斯公式又可写成:jʃʃdiv歌=由×∕⅛

CΣ

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

ff57?AQ、」,,∂POR、』,.∂Q∂P.,r,C-,

11(z----------)dydz+(----------)dzdX+(----------)xdXdy—dPndx+Qdy+RndZ

∂y∂z∂z∂x∂x∂y*一

dydzdzdxdxdyCoSacosβCOS/

上式左端又可写成』£∂A_∣γd8ð

办∂zJ∂x∂z

PQRPQR

∂R_∂Q∂P∂R∂Q∂P

空间曲线积分与路径无关的条件:

Sydzdzdxdx一Sy

∂

旋度：rotA-

∂x

P

向量场易&有向闭曲线「的环流量:扔√x+0fy+Rdz=^A-Tds

ΓΓ

常数项级数:

等比数歹∣hl+g+/+Λ+√"-'ɪʌɪ

等差数列J+2+3+A+”=如业

2

调和级数：l+1+1+A+`ɪ•是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

「<1时，级数收敛

设：P=Um疯"，则<2>1时，级数发散

w→∞

P=I时，不确定

2、比值审敛法：

.<1时,级数收敛

TJ

设：P=Iim巴包，则夕>1时，级数发散

n→∞TJ

"夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+%+A+”“；IimS“存在，则收敛；否则发散。

-M

交错级数〃]-%+%-%+ʌ(或-%+M23+ʌ，〃">0)的审敛法----莱布尼兹定理：

n2〃

如果交错级数满足Iin^?0,那么级数收敛且其和s≤∕,其余项的绝对值％∣≤",”

绝对收敛与条件收敛：

(l)wl+u2+Λ+un+Λ.,其中〃“为任意实数;

(2)∣w1∣+∣i∕2∣+∣M3∣+Λ+∣wn∣+Λ

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数发散，而工阡收敛;

级数：2斗收敛;

n

P级数：£十P<I时发散

P>1时收敛

塞级数:

,3„∕w<ι时，收敛于」一

l+x+x^+x3+Λ+x+Λ(1-x

∖∣x∣≥1时，发散

对于级数⑶％+。1%+。2》2+A+α,,x"+A,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

∕N<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在H,使(忖〉火时发散，其中H称为收敛半径。

∖k∣=7?时不定

/夕声O时，R=L

求收敛半径的方法：设lim%i=Q其中凡，a”+1是(3)的系数，则(P=O时，R=+∞

w→∞a\

"\夕=+8时，R=O

函数展开成基级数：

函数展开成泰勒级数：/(x)=∕(Xo)(X—/)+£祟(x-x0y+A+";。%—X。)"+A

余项：&=£22④(χ-%)"MJ(X)可以展开成泰勒级数的充要条件是：隔r=0

(〃+1)!λ→o°

,2n

XO=O时即为麦克劳林公式：f(x)=/(0)+/(0)x+^≡x+Λ+∕！⅛x+Λ

2!〃！

一些函数展开成幕级数：

“、叫w(w-l)2Λw(w-l)Λ(7M-/7+1)„ʌ.,

(1+x)=1+WtX+--------%+Λ+-----------------------X+Λ(-l<x<l)

2!〃！

.X3X5

Sinx=X----------1----------Λ+(-l)w^1---------÷Λ(一8<x<+∞)

3!5!

欧拉公式：

Jx.-ix

e+e

COSX=----------------

2

e'x=cosx+zsinx或<

Jx-IX

.e—e

Sinx=----------------

I2

三角级数：

f")=4+£4sin(，+1(凡cosnx+∆,,sinnx)

n=∖2rt=ι

其中，Qo=Q4，an=Ansinφn,bn=A11cos^7,(Ot=XO

正交性：1,SinX,cosx,sin2x,cos2xΛsinwx,coswxΛ任意两个不同项的乘积在［-肛］］

上的积分=0。

傅立叶级数:

/(x)=—+£(%COSAIr+sinnx∖周期=24

2〃=i

ɪ)

an=—ʃ/'(ɪ)cosnxdx(H=0,1,2Λ)

其中ɪ-”Λ∙

bn=—J∕>(x)sin∕7x<⅛(〃=1,2,3A)

-π

11ʌπ11r2

1+Λ=—7(相力口)

1+—Γ+F+A=—

325286

2

IllA万π

~~^∣—~^∣—τ+A=—+Λ=。(相减)

2242622412

正弦级数：

an=0,bn=—∫∕(x)sinnx√x"=1,2,3A/(x)=Zbl1sin"X是奇函数

π0

（）今+是偶函数

余弦级数：bn=0,αn=—∫∕(x)cosnxdxn—0,1,2Λ