专题06幂指对函数的图象与性质（10大考点知识串讲热考题型专题训练）

专题06幂指对函数的图象与性质知识聚焦考点聚焦知识点1根式与指数幂1、根式（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）的次方根的表示当n是奇数时，，的值仅有一个，记为当n是偶数，=1\*GB3①时，的有两个值，且互为相反数，记为；=2\*GB3②时，不存在（3）根式的性质（，且）：；2、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①．②．③．知识点2对数与对数运算1、对数的概念与性质（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。（2）对数的性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)；=1\*GB3①loga1＝0，=2\*GB3②logaa＝1，=3\*GB3③alogaN＝N，=4\*GB3④logaaN＝N(a>0，且a≠1).指数式与对数式的关系2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0=1\*GB3①loga(M·N)＝logaM＋logaN=2\*GB3②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN=3\*GB3③logaMn＝nlogaM(n∈R)3、换底公式（1）logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)选用换底公式时，一般选用e或10作为底数。（2）换底公式的三个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.知识点3幂函数的图象与概念1、幂函数的概念与图象（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（2）幂函数的特征：=1\*GB3①xα的系数是1；=2\*GB3②xα的底数x是自变量；=3\*GB3③xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．（3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图2、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．知识点4指数函数的图象与性质1、指数函数的概念（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：=1\*GB3①如果，当=2\*GB3②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．=3\*GB3③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．2、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数3、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围（2）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。知识点5对数函数的图象与性质1、对数函数的概念（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．（2）特殊的对数函数=1\*GB3①常用对数函数：以10为底的对数函数.=2\*GB3②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.2、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.3、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。（2）形如（，且）的函数的值域换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。考点剖析考点1指数式与对数式化简【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）将化成指数式可表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把对数式化成指数式，为．故选：A．【变式11】（2023·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将两边平方，得，即，所以.故选：A.【变式12】（2023·甘肃武威·高一统考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选:B.【变式13】（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）已知，是方程的两根，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由韦达定理可得：，.所以.故选：D【变式14】（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）求值：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式；（2）原式.考点2幂指对函数定义与解析式【例2】（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为指数函数的形式为且，所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C.【变式21】（2023·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C【变式22】（2023·江西新余·高一校考期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB【变式23】（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是幂函数，则.【答案】8【解析】函数是幂函数，∴所以.【变式24】（2023·高一课时练习）已知函数是对数函数，则．【答案】1【解析】因为函数是对数函数，则，解得．考点3求幂指对函数的定义域【例3】（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是幂函数，设，将代入解析式，得，解得，故，则，故，解得故选：B【变式31】（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以，检验，时，，即，满足题意．故选：C【变式32】（2023·四川成都·高一盐道街中学校考期中）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的定义域满足，解得且.【变式33】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为.故选：A.【变式34】（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）函数的定义域是（）A．B．C．D．且【答案】D【解析】要使有意义，则应有，解得且.故选：D.考点4求幂指对函数的值域【例4】（2023·广东云浮·高一云安中学校考阶段练习）函数（且）的值域是，则实数（）A．3B．C．3或D．或【答案】C【解析】函数（且）的值域为，又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是所以有，即，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即，解得.综上所述，或.故选：C.【变式41】（2023·重庆·高一南开中学校考阶段练习）（多选）下列命题中正确的是（）A．函数的值域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数的值域为【答案】BCD【解析】对于选项A：因为，且在上单调递减，可得，所以函数的值域为，故A错误；对于选项B：令，解得，可知函数的定义域为，因为在上单调递增，且，可得，则，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C：令，则，可得，因为开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，且，所以的值域为，即函数的值域为，故C正确；对于选项D：由题意可得的定义域为，因为，即，可得，所以函数的值域为，故D正确；故选：BCD.【变式42】（2023·高一课时练习）函数在区间上的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A.【变式43】（2023·江苏苏州·高一昆山震川高级中学校考阶段练习）已知，则的值域是．【答案】【解析】因为，所以的定义域满足，解得，因为在上单调递增，所以令，又，则，易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.【变式44】（2023·广东·高一校联考期中）已知函数.（1）求方程的根；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，则.（2）由，根据函数在上单调递增，则，令，，根据二次函数的性质，则，由函数在上单调递增，则.考点5幂指对函数的图象问题【例5】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，，，四个值，与曲线、、、相应的依次为（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由图象可知，曲线在第一象限单调递增，且增长速度越来越快，故，所以，曲线在第一象限单调递增，且增长速度越来越慢，故，故，曲线和在第一象限均单调递减，故，其中当时，，，而，故为的图象，为的图象.故选：A【变式51】（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，二次函数对称轴为，对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；对选项D：取，则，，满足图像；故选：B【变式52】（2023·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考阶段练习）（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】函数与的图象都过定点，故D错误；又因为与单调性相反，故B错误，AC正确.故选：AC.【变式53】（2023·广西柳州·高一柳州高级中学校考期中）要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，要使图象不经过第一象限，则，解得.故选：B.【变式54】（2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D考点6幂指对函数过定点问题【例6】（2022·上海·高一市西中学校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是．【答案】【解析】因为，故当，即时，，即函数恒过定点.【变式61】（2023·广东佛山·高一统考期中）函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则.【答案】【解析】对于函数，令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，设幂函数，代入可得，解得，则，所以.【变式62】（2023·海南·高一校考阶段练习）函数（，）的图象经过定点，若点也在函数的图象上，则.【答案】【解析】由，解得，，所以，所以，所以，所以.【变式63】（2023·江苏无锡·高一校联考期中）已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵恒过定点∴，∴，∴为减函数，且过点，大致图像如图所示∴的函数图象不经过第三象限．故选：C【变式64】（2023·福建莆田·高一校考期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.【答案】4【解析】函数的图象恒过定点，所以,因为，所以，当时，的最小值为4.考点7幂指对函数的单调性问题【例7】（2023·云南保山·高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）下列函数中是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，A不是；对于B，为上的减函数，B不是；对于C，在上不单调，C不是；对于D，为上的增函数，D是.故选：D【变式71】（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，解得或，故函数的定义域为，函数的开口向上，对称轴为；函数在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D【变式72】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则t在上递减，在上递增，又在R上递增，所以的单调递减区间为，故选：B【变式73】（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）已知幂函数在上是严格减函数，则.【答案】【解析】由题意知当时,,在上不是严格减函数,不符合,舍去;当时,,在上是严格减函数，符合题意..【变式74】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知函数由复合而成，在上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知需为R上的增函数，故，∴，∴或，故选：D.【变式75】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由在区间上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，即有，即，又在上恒成立，故，即，综上，，即实数的取值范围为.考点8幂指对比较大小【例8】（2023·河南郑州·高一省实验中学校考阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故.故选：D【变式81】（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）已知，，．则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，而，即，所以.故选：D.【变式81】（2023·湖北襄阳·高一校考期末）若已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，即；且，即；且，即；所以.故选：A.【变式82】（2023·四川凉山·高一校联考期末）若，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：，，由，则，根据函数在上单调递减，所以，根据函数在上单调递减，由，则，根据函数在上单调递增，由，则.故选：A.【变式83】（2023·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；；故.故选：C.考点9幂指对函数解不等式【例9】（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）求满足下列条件的的取值范围．（1）；（2）（，且）．【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】（1）因为，所以，又因为在上单调递减，所以，所以的取值范围为；（2）当时，在上单调递减，因为，所以，即，解得或，所以的取值范围为；当时，在上单调递增，因为，所以，即，解得，所以的取值范围为；综上所述，当时，；当时，.【变式91】（2023·云南昭通·高一校联考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，定义域为，，所以由指数函数与对数函数性质得在上单调递减，，故为奇函数，在上单调递减，原不等式可化为,即,得，解得，故选：B.【变式92】（2023·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为．【答案】【解析】因为恒成立，故恒成立，故的定义域为.令，则，故，故为上的奇函数.在上，均为增函数，故在上为增函数，又在上为奇函数，且在上为增函数，故为奇函数，且在上增函数，所以在上单调递增，由可得：，即也就是，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故，即m的取值范围为.【变式93】（2023·江西新余·高一校考期中）已知指数函数且，经过点．（1）求的解析式及的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）指数函数经过点，则且，得，故，则.（2）因为，即，又函数在R上是增函数，有，解得，所以x取值范围为.【变式94】（2023·广西钦州·高一校考期中）已知是幂函数.（1）求、的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得；（2）由（1）可知，定义域为，且，所以是上的单调递增函数，又因为，所以，解得，所以的取值范围是.考点10幂指对函数的综合问题【例10】（2023·福建龙岩·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，．（1）若，求；（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于幂函数，得，解得或，又当时，不为偶函数，，，，，解得；（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先证明在上单调递增：任取，则，，，，又，，，即，故在上单调递增，，，又，解得.【变式101】（2023·四川成都·高一校联考期末）若函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并证明函数的单调性；（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意，所以，证明：任取，，且，则因为，所以，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.（2）因为，在上的奇函数，所以，由（1）知函数在上单调递增，所以，成立，即，成立，设，则，所以，，所以，，设，，则在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以.【变式102】（2023·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）设函数.（1）若函数为奇函数，求方程的实根；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为函数为奇函数，所以即，所以，因为，所以，即，所以，则方程即，化简得，解得或（舍去），所以，所以方程的实根为.（2），设，由得，令，则，，函数的对称轴为，当即时，，所以；当即时，，所以，不合题意舍去；综上，实数的值为.【变式103】（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知函数.（1）求函数的定义域，（2）判断并证明函数的奇偶性，（3）判断函数的单调牲（只写出结论即可），并求当时，函数的值域.【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.；（3）增函数；.【解析】（1）由，即，解得，所以此函数定义域为.（2）奇函数，证明如下：由（1）知函数定义域为，，所以为奇函数.（3），由函数在定义域上单调递增，函数也是增函数，所以由复合函数单调性知函数为单调递增函数.故在其定义域内为增函数；当时，，即的值域为.【变式104】（2023·山东潍坊·高一统考阶段练习）已知函数，且是定义在上的奇函数.（1）求函数的解析式；（2）设，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为为奇函数，所以，即，即，所以，解得，，因为，所以，，当时，，定义域为，不符合要求；当时，，满足要求；所以；（2）因为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上的值域为，因为对任意，存在，使得成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，所以，所以．过关检测1．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）已知函数是幂函数，则（）A．B．2C．D．1【答案】C【解析】由题知，解得，，故选：C.2．（2023·云南昆明·高一昆明一中校考阶段练习）若幂函数图象过点，且，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件可得，解得，则，所以，函数在上为增函数，由可得，解得.故选：B.3．（2023·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函数的定义域为（）A．或B．C．D．且【答案】A【解析】由题知，解得或，即函数的定义域为{或}.故选：A.4．（2023·广西玉林·高一博白县中学校考阶段练习）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，易得函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，故排除B,D;又，故A正确，D错误，故选:A.5．（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）已知函数，则（）A．为奇函数，且在是增函数B．为偶函数，且在是增函数C．为奇函数，且在是减函数D．为偶函数，且在是减函数【答案】A【解析】已知函数的定义域为,且，所以函数为奇函数，则B,D错误；又函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上是增函数，故A正确，C错误，故选:A.6．（2023·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数，实数，满足，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】，所以的定义域为，，所以是奇函数，由可得.故选：B7．（2023·四川成都·高一校联考期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，且在上单调递增，所以，故选：D.8．（2023·浙江宁波·高一鄞州中学校考阶段练习）若，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，得，