人教版高中数学教科书课后习题答案

人民教育出版社

高中数学必修五

第一章解三角形

1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

练习(P4)

1、(1)"14,八19,5=105°；(2)4al8cm,b念15cm,C=75°.

2、(1)A«65°,C«85°,c=22；或4ali5。，C«35°,c«13；

(2)A«24°,。才24.

练习(P8)

1、(1)Aa39.6°,B«58.2°,c«4.2cm；(2)5P55.8。,CH81.9。,。a10.5cm.

2、(1)Ax43.5°,Bx100.3°,Cx36.2°；(2)A«24.7°,B«44.9°,C«110.4°.

习题1.1A组(PIO)

1、(1)ax38cm,b«39cm,B«80°；(2)a«38cm,b«56cm,C=90°

2、(1)Ab114°,Ba43°,ab35c用A«20°,B®137°,a~13cm

(2)B«35°,C«85°,C«17CTO；

(3)A=97°,B=58°,a®41cm,A~33°,B®122°,a«26cm；

3、(1)Ax49°,B«24°,cX62CTH；(2)A«59°,C«55°,/7«62C/72；

(3)Bx36°,Ch38°,〃«62cm；

4、⑴A«36°,B«40°,C«104°；(2)A=48。,8。93。,C

习题1.1A组(PIO)

1、证明：如图1,设A48C的外接圆的半径是R,

①当AA8C时直角三角形时，/C=90。时，

\ABC的外接圆的圆心。在RtAABC的斜边A3上.

在RrAABC中，—=sinA,—=sinB

ABAB

即—=sinA,-=sinB

2R2R

所以a=2RsinA,b=2RsinB

又c=2R=2R-sin90°=2RsinC

所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

②当AABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心。在三角形内(图2),

作过0、8的直径48,连接4。，

则4418c直角三角形，乙41c8=90。，^BAC=ZBA.C.

在RrAAfC中，—=sinZB^C,

A〕B

即=sinZBAC=sinA,

2R'

所以〃=2/?sinA,

同理：b=2/?sinB,c=27?sinC(第1题图2)

③当416c时钝角三角形时，不妨假设NA为钝角，

它的外接圆的圆心。在A43C外(图3)

作过0、8的直径Af,连接4c.

A

则直角三角形，且4C3=90。，ZBAtC=}SO°-ZBAC、

在RrAAfC中，BC=2RsinZBAtC,/

BPa=2/?sin(l80°-ZBAC)d

BPa=2/?sinA\J

同理：b=2RsinB,c=2/?sinC\/

综上，对任意三角形IBC,如果它的外接圆半径等于R,

则a=2RsinA,b-2RsinB,c=2RsinC/希物囱a、

(弟1题囹5)

2、因为acosA=hcos3,

所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B

因为0<2A,25<2»,

所以2A=23,或2A=7一28,或2A—乃=2乃一28.即A=5或A+8=工.

2

所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.

在得到sin24=sin23后,也可以化为sin2/1-sin28=0

所以cos(A+8)sin(A-B)=0

A+B^-,或A-8=0

2

即A+B=工，或A=3,得到问题的结论.

2

1.2应用举例

练习(P13)

1、在AA8S中，AB=32.2x0.5=16.1nmile,ZABS=115°,

ASAB

根据正弦定理,

sinZABS-sin(65°-20°)

得AS=-----------------=ABxsinNABSx&=16.1xsin115°x&

sin(65°-20°)

，S到直线AB的距离是4=45*41120。=16.以011115°*0*41120。=7.06(cm).

这艘船可以继续沿正北方向航行.

2、顶杆约长1.89m.

练习(P15)

1、在MfiP中，NA8P=180O-y+£,

ZBPA=180o-(a-/3)-ZABP=180°-(a-/3)-(1800-y+J3)=y-a

AB

在A4BP中，根据正弦定理，—

sinZABPsinZAPB

APa

sin(l80°-y+0)sin(/一a)

4pjxsin(y/7)

sin。-a)

所以，山高为〃=APsina=a』nasin0-0

2、在AA8C中，AC=65.3m,ABAC=«-/?=25°25r-17°38'=7°47,

ZABC=90°-<z=90°-25°25'=64°35'

ACBC

根据正弦定理,

smZABCsinABAC

「A&si叱BAC6又3§iA7^4.

BC=------------------=-------------------a：9.im

sin648csiif6435

井架的高约9.8m.

a200xsin38°sin29°

3、山的rWj度为---------------a382m

sin9°

练习(P16)

1、约63.77。.

练习(P18)

1、(1)约168.52cm。(2)约12L75cn?；(3)约425.39cn?.

2、约4476.40n?

3、右边=bcosC+ccosB=bx"'1'"———+cxa+c——

2ablac

=哽cJJ《左边【类似可以证明另外两个等式】

2a2a2a

习题1.2A组(P19)

1、在AA8C中，80=35x0.5=17.5nmile,Z4BC=148°-126°=22°

ZACfi=78°-KJ8(?-148并，ZBAC=180°-110°-22°=48°

ACBC

根据正弦定理,

sinZABCsinZBAC

BCxsiABC及其

15s34nmile

sii^BACsiif48

货轮到达c点时与灯塔的距离是约8.82nmile.

2^70nmile.

3、在ABC。中，ZBC£>=30°+10°=40°,ZBDC=1800-ZADB=180°-45°-10°=125°

CO=30/=10nmile

3

CDBD

根据正弦定理,

sinZCB£>"sinZBCD

________10________BD

sinZ(180°-40°-125°)sin40°

3pn.

sinF5

在A4BZ)中，ZADB=45°+\0°=55°,ZBAD=180°-60°-10°=110°

ZABD=180°-110o-55o=15°

ADBDABBDAB

根据正弦定理,即黑

sinZABDsinZBAD~sinZADBsinll00-sin55°

10<sin°40.遁

DC・©c--------------xsinF5

ADJDxsin咕sinP5二山^打8nmile

sin110sift110°sin70

BDxsin55^乂0s?:n40°sLn5"

nmile

一sin110一SPH15°sin70'"

如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：

ccAZXAB/c,八6.8421.65

20------------x6©卜0434)--------------x«60min

3030

即约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B岛.

4,约5821.71m

5、在MB。中，AB=700km,NAC8=180。—21°-35°=124。

根据正弦定理，一"ACSC

sin124°sin35o-sin21o

.八70ftsiif：”「700xsin21°

AC=-----------------,DC=-------------------

sin124sin124°

AC+8仁7。伙sin刃.。。的热2烈89

sin124sift124

所以路程比原来远了约86.89km.

6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53m,飞机离B处探照灯的距离是4704.21m,飞机的

高度是约4574.23m.

飞机在秒内飞行的距离是迎

7、150d=1000xl(XX)x1m

3600

dx

根据正弦定理,

sin(81°-18.5°)sin18.5°

这里x是飞机看到山顶的俯角为81。时飞机与山顶的距离.

飞机与山顶的海拔的差是：xxtan81°=―0sin18.5——xtan81。a14721.64m

sin(81°-18.5°)

山顶的海拔是20250-14721.64*5528m

8、在A/WT中，ZATB=21.4°-18.6°=2.8°,NA8T=90°+18.6°,AB=15m

AT日口._15xcosl8.6°

根据正弦定理，—-----,即AT=-----------------

sin2.8°cos18.6°sin2.8°

15xcos18.6°

塔的高度为ATxsin21.4o=xsin21.4°«106.19m

sin2.8。

326x18

9、AE==97.8km

60

在AACO中，根据余弦定理:

AC=\lAD2+CDr-2xADxCDxcos66°

(第9题)

=A/572+1102-2x57x1lOxcos66°=101.235

ADAC

根据正弦定理,

sinZACD~sinZADC

,八A"si叱AOC5x7si%6g=

si---------------------=----------------«0.5

AC101.235

ZACD«30.9

ZAC33。一30.9石=10

在AABC中，根据余弦定理：AB=AC2+BC2-2xACxBCxcosZACB

=7101.2352+2042-2x101.235x204xcos102.04°«245.93

co的C=Ag+A&吟45"。袅35J2行

2xABxAC2x245x93101.235

ZBAC=54.21°

在AACE中，根据余弦定理：CE=ylAC2+AE2-2xACxAExcosZEAC

V101.2352+97.82-2x101.235x97.8x0.5487«90.75

E&-At97.醉90口510H2L35

co^.AEC=

2xAExEC2x97x890.7j,，

ZAEC=64.82°

180—NAEC—(l°8-0°7=5?-75°=64.82

AC7BC?+AB?—2xABXBCXCOS39。54'

J(6400+35800)2+64002-2x(6400+35800)x6400xcos39054z

=,4220()2+640()2—2x42200x6400xcos39°54'=37515.44km

Bt6400f37515-7444^20^

Z.BAC=---------------------x----------------------------®-0.69

2xABxAC2x648037515.44

ABAC^X33.8,NB4C—90=43.笃

所以,仰角为43.82。

11、(1)S=—tzcsinB=—x28x33xsin45°«326.68cm2

22

(2)根据正弦定理:c=——xsinC=—————xsin66.5°

sinAsinCsinAsin32.8°

2

S=-acsinB=lx36x纱侬。xsin(32.8°+66.5°)®1082.58cm2

22sin32.8°

(3)约为1597.94cm2

12、-n/?2sin—.

2n

13、根据余弦定理：cosB=巴与_—

2ac

所以琮=(-^)2+c2-2x-^xcxcosB

（第13题）

2Cl~4"c~—b

(―)-+c-axcx-------------

22ac

2+4C-2((7-FC-b)]=(-)\2(b+c2)-d]

所以眼,二；y/2(b2+c2)-a2,同理/=；^2(c2+a2)-b2,"=g^(a2+b2)-c2

b+c--a"八c~+a~-b~

14、根据余弦定理的推论，cosA=----------,cosB=--------------

2bc2ca

所以，左边=c（acosB-匕cosA）

22i2i2，

/c~ab~,b千c—~ci、

=c(ax------------------bx--------------)

2ca2bc

cH2b*二)；%八2加)=右边

=c(.

2c2

习题1.2B组（P20）

所以匕竺出

1、根据正弦定理：—J=

sinAsin3sinA

代入三角形面积公式得S=L"sinC=l«x丝2XsinC^-a2皿空妊

22sinA2sinA

2

2、(1)根据余弦定理的推论：cose/："。

lab

由同角三角函数之间的关系，smc=E?小（笔与

代入S=LbsinC,得

2

S」叫］一匹士A

2V2ab

=¥(2zb5一@+1一j

=；J(2zZ?+五+3-3(2ab~22打

=L((a+b+°(〃+〃-£(—取~

4

t己〃=g(a+〃+c),则可得至!Jgs+c—。)=p—a,；(c+a-b)=p—b,g(a+Z?—c、)=p—c

代入可证得公式

（2）三角形的面积S与三角形内切圆半径厂之间有关系式S=；x2pxr=pr

iq(p-a)(p-b)(p-c)

其中P=—(Q+b+C)，所以厂=—=

2PP

（3）根据三角形面积公式

2s?__________________2_________________

所以，%=——二一y/p(p-a)(p-a)(p-a),即h=-y]p(p-a)(p-a)(p-a)

aaaa

2i__________________?/__________________

同理也=：^p(p-d)(p-a)(p-a)，%=—Jp(p-a)(p—a)(p-a)

bc

第一章裒习参老肱A组（P24）

1、(1)B®2109；C®38°5V,c«8.69cm；

(2)fi»41o49,,C«108°ll,,c«11.4cm；或8al38°ll'd49',ca2.46cm

(3)A«11°2;B«38058；c®28.02cm；(4)B®20°30^»14°30,,««22.92cm；

(5)Aal6°20',Call°40',bQ53.41cm；(6)A=28°57',8=46°34',C=104°29'；

2、解法1：设海轮在B处望见小岛在北偏东75。，在C处望

见小岛在北偏东60。，从小岛A向海轮的航线3。作垂

线，垂线段AD的长度为xnmile,CD为ynmile.

（第2题）

2=tan30。X

-----=y

ytan30°-x

则=>-3---3--。。=舄L

xXc

—^—=tan15°--------=y+8

[y+8Itan15°

8tan15°tan30°.

x=-------------------=4

tan300-tan15°

所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.

3、根据余弦定理：AB2=a2+h2-2abcosa

所以AB=-2ahcosa

4+A月一6

coB=

2XQXAB

_a2+a2+h-2ahcosa-h

2xax\la2+b2-2abcosa

_a-bcosa

\la2+b2-labcosa

从NB的余弦值可以确定它的大小.

b-acosa

类似地，可以得到下面的值，从而确定NA的大小.cosA=

+/-2abcosa

4、如图，C,。是两个观测点，C到。的距离是d,航船在时刻4

在4处，以从A到8的航向航行，在此时测出/ACO和NCD4.

在时刻小航船航行到3处，此时，测出NCD3和/BCD.根

据正弦定理，在ABC。中，可以计算出8c的长，在垓。。中，

可以计算出AC的长.在AAC5中，AC,BC已经算出，ZACB=ZACD-ZBCD,解AAD,

求出4?的长，即航船航行的距离，算出NCAB,这样就可以算出航船的航向和速度.

5、河流宽度是“sin。一,)6、47.7m.A

sintzsinpB

7、如图，A,3是已知的两个小岛，航船在时刻6在C处，以从C\

到。的航向航行，测出/AC。和/BCD.在时刻与，航船航行--------

C(第7题)

到。处，根据时间和航船的速度，可以计算出C到。的距离是d,在。处测出NCD8和

ZCDA.根据正弦定理，在ABC。中，可以计算出的长，在AAC。中，可以计算出4)

的长.在A钻。中，AD、3。已经算出，NADB=NCDB-NCDA,根据余弦定理，就可

以求出/W的长，即两个海岛A8的距离.

第一牵裒习参老肱B组(P25)

1、如图，A,8是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点EA.

处，测出图中Z4£F,的大小，以及“的距离.利用正弦

定理，解A4EF,算出AE.在M所中，测出和

利用正弦定理，算出8E.在中，测出利用余弦定

理，算出的长.本题有其他的测量方法.D

2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：C

(1)已知一边和这边上的高：S^-ah,S^-bfi,S=-ch；

2°2%2c(第1题)

(2)已知两边及其夹角：5=—a£>sinC,S=—6csinA,SeasinB；

222

(3)已知三边：S=4p(p-a)(p-b)(p-c),这里p="+"+J；

b1sinCsin/l_c2sinAsinB_tz2sinBsinC

(4)已知两角及两角的共同边：S

2sin(C+A)'_2sin(A+8)'~2sin(B+C)

(5)已知三边和外接圆半径R：S=—.

4R

3、设三角形三边长分别是〃+1,三个角分别是a,乃-3a,2a.

由正弦定理，岂二！=£-,所以以《夕=产匚.

sinasin2a2(7?-l)

由余弦定理，(〃一I)?=(〃+l)2+/_2x(〃+l)x〃xcosa.

即(〃-1)2=(〃+l)2+A?2-2x-h1)X/lX/?+,化简，得/-5〃=0

2("1)

所以，〃=0或〃=5.〃=0不合题意，舍去.故〃=5

所以，三角形的三边分别是4,5,6.可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.

另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.

(1)三边的长不可能是1,23这是因为1+2=3,而三角形任何两边之和大于第三边.

(2)如果三边分别是a=2,b=3,c=4.

b2^c2-a232+42-22_7

因为cosA=

2bc2x3x4-8

717

cos2A=2cos2A-l=2x(-)2-l=—

832

ua2+b2-c223-242

coC=-------------=--------------=——

lab2x23

在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是cos2Awcos。，

所以2AWC,边长为2,3,4的三角形不满足条件.

(3)如果三边分别是a=3,6=4,c=5,此三角形是直角三角形，最大角是90。，最小角

不等于45。.此三角形不满足条件.

(4)如果三边分别是力=4,b=5,c=6.

2222

ji.n-4*Ab~+C—Cl56-4^3

止匕时，cosA=------------+

2bc2x5x64

cos2i4=2cos2A-l=2x(1)2一i1

8

G+/—M4*5_262

coL=--------------=--------------=—

lab2x5

此时，cos2A=cosC,ffij0<2A,C<TI,所以2A=C

所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.

(5)当〃>4,三角形的三边是〃=〃力=〃+11=〃+2时,

三角形的最小角是A,最大角是C.

(〃+1)+七为n:

23+1诞2)

A?+6〃+5

2(〃+1)(〃+2)

n+5

23+2

13

=­H-----------

22(〃+2)

0a2b2-c2

coC=----+---------

2ab

_♦+(/1］一件缓

2〃。+1)

_n2-2n-3

2〃(〃+1)

n-3

=~2^

--1-----3--

22〃

co乳随〃的增大而减小，A随之增大，cosC随〃的增大而增大，C随之变小.

由于”=4时有C=24,所以，n>4,不可能C=24.

综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

练习(P31)

n12•・・5…12•・・n

可2133・・・69・・・153•・・3(3+4〃)

2、前5项分别是：1,0,-1,0,7.

——5=2m,mwN")b(n-2min^N^

3、例1⑴3〃；⑵()

匕〃=2加-1,加))[0(“=2”

说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可

能的通项公式表达形式不唯一的例子.

4、(1)%=工(〃ez+)；(2)a.=^(〃wZ+)；(3)a„=4r(«eZ+)

2〃-12n2—

习题2.1A组(P33)

k(1)2,3,5,7,11,13,17,19；

(2)2,76,272,3,710,273,714,715,4,372；

(3)1,1.7,1.73,1.732,…1.732050；

2,1.8,1.74,1.733,-,1.732051.

1111

_

2,_

、,-9-(2)2,-5,10,-17,26.

41625

3、(1)(1),-4,9,(-16),25,(-36),49；%=(—I)"”/?；

(2)1,收,(6),2,行，(V6),方；a.=G.

ii41

4、(1)-,3,13,53,213；(2)一一,5,-,一一,5.

2454

5、对应的答案分别是：(1)16,21；4=5〃—4；(2)10,13；%=3鹿-2；(3)24,35；an=ir+2n.

6^15,21,28；an=an_x+n.

习题2.1B组(P34)

1、前5项是1,9,73,585,4681.

该数列的递推公式是：%M=l+8q，4=l.通项公式是：勺=一.

2、a,=10x(1+0.72%)=10.072；生=10*(1+0.72%了=10.144518；

4=1Ox(1+0%了2310.：：a“=10x(并0%7：

3、⑴1,2,3,5,8；(2)2,-,-,-,—.

2358

2.2等差数列

练习(P39)

1、表格第一行依次应填：0.5,15.5,3.75；表格第二行依次应填：15,-11,-24.

2、=15+2(〃-1)=2〃+13,4O=33.3、cn=4n

4、(1)是，首项是a,"+]=4，公差不变，仍为d;

(2)是，首项是q,公差2d；(3)仍然是等差数列；首项是0；=4+6</；公差为7d.

5、(1)因为%-，所以2a5=%+%.同理有2%=4+%也成立；

(2)2an=an_t+an+](n>l)成立；2an=an_k+。心式”>%>0)也成立.

习题2.2A组(P40)

1、(1)=29；(2)n=10；(3)d=3；(4)a,=10.2、略.

3、60°.4、2℃；-11℃；-37℃.5、(1)s=9.8f；(2)588cm,5s.

习题2.2B组(P40)

5

1、(1)从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000,a20lo=«20o2+8^=0.26xl0

再加上原有的沙化面积9xl()5,答案为9.26x105；

(2)2021年底，沙化面积开始小于8x10、hm?.2、略.

2.3等差数列的前〃项和

练习(P45)

1>(1)-88；(2)604.5.

[59,

2、%=123、元素个数是30,元素和为900.

6/1+5,

----->1

12

习题2.3A组(P46)

1、⑴〃(〃+1)；(2)/；(3)180个,和为98550；(4)900个,和为494550.

2、(1)将4=20,q=54同=999代入，=如啜^,并解得〃=27；

17

将4=20,〃“=54,n=27代入=4+(〃一l)d,并解得4=—•

(2)将d==37,Sn=629代入cin=4+(〃一l)d,Sn=,

。〃=4+12

得37(4+凡)正”；解这个方程组，得4=11,4=23.

-!----=629

2

(3)将4=』,d=」,S=-5代入5J,并解得〃=15；

166"n12

513

将q=—,d=—,n=15代入=%+{n-\)d,得a=—.

66n2

(4)将d=2,〃=15,a〃=-10代入=q+(〃-l)d,并解得。=-38；

将4=-38,a”=-10,“=15代入Sn=,得S“=-360.

3、4.55xl04m.4、4.

5、这些数的通项公式：7（〃-1）+2,项数是14,和为665.6、1472.

习题2.3B组（P46）

1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的.代入等差数列前〃项和公式，求出5年内的总

共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可.答案：292元.

2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.

现提供2个证明方法供参考.

（1）由S6=6at+\5d,S12=124+661,S18=18a,+153J

可得$6+（%-S|2）=2（SI2-S6）.

（2）S］2—Sf=（4+生++。［2）—（Q［+出++。6）

=%+々8+也］

=(q+64)+g+6/升+/+

=a+%+也3-86.

=S^36d

同样可得：儿—几=S（,+72d,因此$6+（几一儿）=2（几一$6）・

3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；

所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.

（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次

递减，最后一辆行驶1小时40分.各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前〃项和公式，这

4+1|„5

个车队所有车的行驶时间为S=—3-X15=—h.

22

乘以车速60km/h,得行驶总路程为2550km.

4、数列［」一］的通项公式为4=—、=，-—二

n

所以S=(---)+(———)+(———)++(1__L)=1__L

〃122334nn+\〃+1n+\

类似地，我们可以求出通项公式为a,,=—-一二）的数列的前〃项和.

n{n+k）knn+k

2.4等比数列

练习（P52）

%。5%q

24816痣或-虚

5020.080.00320.2

2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为4=80,公比为4=20的等比

数列，则第5轮被感染的计算机台数牝为%=«iq4=80x204=L28xl0.

3、(1)将数列｛叫中的前左项去掉，剩余的数列为a*”,用.?，.令匕=4+,/=1,2,,则数列

%+1，4+2，可视为4也，•

因为?=与"=如2)，所以，也｝是等比数列，即%,4+2，是等比数列.

(2)｛a,,｝中的所有奇数列是6,，则幺=%==况==d伏2).

4%«2*-1

所以，数列4M3，%是以外为首项，/为公比的等比数列.

(3)｛q｝中每隔10项取出一项组成的数列是4，%,生3，，

则氏=%==为也_==4"(心1)

a\a\24go

所以，数列“Me，%”是以q为首项，砂为公比的等比数列.

猜想：在数列｛q｝中每隔〃?(加是一个正整数)取出一项，组成一个新的数列，这个数列

是以外为首项，，用为公比的等比数列.

4、(1)设｛%｝的公比为q,则a；=(qq4