新人教版高三数学下学期期中考试（理）试卷

江西省赣州十一县（市）2010届高三下学期期中联考

数学理

时间：120分钟满分：150分

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案填入答题卷）

1、若复数z满足（l-i）z=l+ai,且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数。的

取值范围是（）

A.o>1B.—1<（?<1C.<—1D.tz<-1或a>1

2、若集合4={#/-2_¥-1640},3="1。5'45},则4门8中元素个数为（）

A.6个B.4个C.2个D.0个

3、已知无穷等比数列{*}的前〃项和为S,，所有项的和为S,且lim（S,-2S）=1,则其

首项外的取值范围（）

A.（—1,0）；B.（-2,-1）；C.（—2,0）；D.（-2,-1）U（—1,0）；

4、设随机变量J服从正态分布N（2,2?）,则尸（2<J<3）可以被表示为

、1一2尸解<1）

A.1-P（^<1）B.------一

C.F（O<^<1）D.；+P（J<l）

5、给出下面的三个命题：①函数y=lsin（2x+q）的最小正周期是]②函数

y=sin[x-在区间肛当）上单调递增③x=，是函数>=sin（2x+的图象

的一条对称轴。其中正确的命题个数（）

A.0B.1C.2D.3

6、设a、By是三个不同的平面，a、8是两条不同的直线，给出下列4个命题：

①若a〃a,b//a,则a〃庆②若a〃a,b//（3,a//b,则1〃£；③若b

J.£,aA.b,则aJ_£；④若a、b在平面a内的射影互相垂直，则其中正确命题

是：（）

A.③B.©C.①③D.②④

22

7、已知耳,尸2是双曲线与—4=1（。>}>0）的两焦点，以线段耳名为边作正三角形

ab~

鸟，若边何耳的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（）

A.4+273B.&TC.--D.6+1

x+y-1>0

8、在平面直角坐标系中，若不等式组<y>x-l（a为常数）所表示的平面区域内的

ax-y+1>0

面积等于2,则。的值为：（

1

A.3B.-C.3或一D.-

332

9、为预防和控制甲流感，某学校医务室欲将23支相同的温度计分发到高三年级10个班级

中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方式共有

A、120种B、175种C、220种D、820种

10、在直角坐标系xoy中，设A是曲线6：>=公3+1（。>0）与曲线。2：/+），2=|的

一个公共点，若G在A处的切线与。2在A处的切线互相垂直，则实数。的值是：（）

A.2B.1C.V3D.4

11、棱长为1的正方体ABC。—481G，的8个顶点都在球。的表面上，E、F分别是棱

AB.4。的中点，则经过£、F的球截面的面积最小值是（）

,3717

A.-71B.c.，D.171

888

12、如图，点尸（3,4）为圆/+>2=25上的一点，点笈尸为y轴上的两点，

，两是以点夕为顶点的等腰三角形，直线阳所交圆于〃，C两点，直线切

交y轴于点4,则sin/%0的值为（）

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，请将正确答案填入答题卷）

2in

13、设（l-2x）"=ao+a（x+a2x+—+a1Ox,贝!Ja[+&+乌+…+平贝]的值为

u/iu122y—

14、已知y=/(x)有反函数y=/T(x),又y=/(x+2)与y=/T(x—1)互为反函数，则

广|(2010)_-|⑴的值为.

15、在4ABC中，A8=1,8C=J7,AC=3,若0为AABC的垂心，则布•衣的值

为.

16、在平面上取定一点。，从。出发引一条射线Ox,再取定一个长度单位及计算

角的正方向，合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点尸的位置就可以用线段。尸

的长度夕以及从。x到。尸的角度夕来确定，有序数对(P,°)称为

尸点的极坐标，Q称为P点的极径，8称为尸点的极角。在一个极坐标系

下，给出下列命题：J

A.点尸(4,()的极径为4,极角为?；B.有序数对(2,看)与

(2,2k兀+2卜eZ)表示两个不同点；C.点(2,?)关于极点的对称点为

2,—女］D.圆心在(a,0)(。＞0),半径a的圆的极坐标方程为夕=2acos6；E.过点(2,0)

垂直极轴的直线方程为0cos6=；.其中真命题序号是.

三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算

步骤

17、(本小题满分12分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A为锐角，已知

(l)^a2-c2-b~-mbc,求实数m的值。

(II)若a=g,求AABC面积的最大值.

18、(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额

每满100元可转动如图所示的转盘-次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任

一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：

消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

(I)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

(II)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金(°60

额记为X(元).求随机变量X的分布列和数学期望。

19、(本小题满分12分)如图所示，棱柱A8CO-4与G2的所有棱长都等于2,

ZABC=60°,平面AAqC_LABCD,ZA1AC=60°.

(I)证明：BDlAAp

(II)求二面角D-AiA—C的平面角的余弦值.

(III)在直线CCi上是否存在点P,使BP〃平面DAiG?若存在，求出点P的位

置；若不存在，试说明理由.

B

图4

22

20、(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，椭圆Q：与+《=l(a>b>0)的左、右焦

CTb~

点分别为Fi、F2.其中F2也是抛物线C2:尸=4x的焦点，点M为J与C2在第像限的交

点，且IM工1=*.

23

(1)求C1的方程；______

(2)平面上的点N满足旃=丽+丽，直线/〃MN,且与Ci交于A、B两点，若

OA-OB=0,求直线/的方程.

21、(本小题满分12分))已知函数〃力=止。

X

(I)求函数/(x)的单调区间，并比较/(2)、〃3)、/(5)的大小;

(II)证明：/(x)41-,在其定义域内恒成立,并比较/(22)+/(32)+…+/(/)与

X

(〃一1)(2〃+1)

的大小。

2n+2

22、(本小题满分14分)已知数列｛〃,“｝是首项为〃，公差为b的等差数列，仍〃｝是首项为

b,公比为a的等比数列，且满足为<々<&<%<的，其中。、b、m、〃GN*.

(I)求a的值；

(II)若数列｛1+a,“｝与数列｛a｝有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列

｛%｝,求数列｛c“｝的通项公式；

(III)记(H)中数列｛g｝的前n项之和为5,，求证：

999919

-----1-------1-----+---------<—(n>3).

S,S2S2s353s4S.S,542

16.

数学参考答案(理)

一、选择题:

题号123456789101112

答案ABDBCADBCDCA

二、填空题：

13.-214.401815.-16.A、C、D

2

三、解答题：

17、解：（I）由万〃，得l—cos2A=JJsinA,所以2sin2A=JJsinA

又A为锐角，sinA=—3，cosA=—而/—c?="一血?c可以变形为

22

h2+c2-a2_m

—2bc——万

m1

即cosA=—=—,所以〃z=l6分

22

(II)由(I)知cosA='，sinA=且又=1

222bc2

所以力。=/+(?2—。2>2hc-a2^hc<a2故

01八.y12e36

S^ABC=^bc&mA^-a—=—

当且仅当〃=c=百时、AABC面积的最大值是更12分

4

18、解：解：设指针落在4设。区域分别记为事件45c

则P(A)=J,P(5)="P(C)=《.

632

(I)若返券金额不低于30元，则指针落在［或8区域.

.•.P=P(A)+P(8)=，+：=!

632

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是工.5分

2

(II)由题意得，该顾客可转动转盘2次.

所以随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.6分

P(X=O),；[;

P(X=30)=-xlx2=

233

5

P(X=60)=—x—x2+—x—=

2633?8

P(X=90)=-x-x2=-;

369

111

P(X=120)=_x__—___

66-36

10分

所以，随机变量X的分布列为:

P0306090120

X]_£5]_1

43后936

其数学期望EX=0/+30x'+60xa+90xL120x-L=40

12分

4318936

19.解：（1）连结BD交AC于O,由于四边形ABCD为菱形，所以BD_LAC.又因为二面角

D-AC-Ai为直二面角，所以BD_LACAi.所以BD_LAAi4分

（II）作OK_LAAi于K,连结DK,贝ljDKJ_AAi.所以/OAK=60°所以0K=1

2

而OD=JL故tan/DKO=2,即二面角D-AIA-C的平面角的余弦值是g8分

（川）延长CiC到P使CP=CC连结BiC,BP,则BP〃BiC.所以BP〃A】D.又A】Du平面

DAiCi，所以BP〃平面DAJCJ.12分

注：利用空间直角坐标系法解题参照给分。

20、解：（I）由G：/=4x知鸟（1,0）.1分

设M（X],必），M在G上，因为=所以再+1=：，

俎22几

得玉=§，％=丁，3分

[4।8=[

M在G上，且椭圆G的半焦距。=1，于是彳讲+/一'5分

卜=/一1

消去从并整理得9a4-37/+4=0,解得。=2（a='不合题意，舍去）.

3

22

故椭圆G的方程为二+匕=L6分

143

（II）由赤+丽=丽知四边形招是平行四边形，其中心为坐标原点。,

因为I〃MN,所以/与的斜率相同，

276

故/的斜率上=-1-=痛.7分

3

设I的方程为y=*>(x—m).

3x2+4y212,

由，

y=A/6(X-/M),

消去y并化简得9x2-16mx+8〃/-4=0.

'几”Xr»7\16m8m2-4

设A(x，必)，B(X,y),x+x=—^―,玉光28分

22]2-9

因为OA_LOB,所以％]尤2=0.

玉％+百一机(再2

x}x2+y]y2=6(m)(x2-m)=lx1x2-6+x2)+6m

_Sm2-4/16/H

=/-------------6m-------+6加2="(14m2_28)=0.10分

99

所以加=±J5.此时△=(16/n)2-4x9(8m2-4)>0,

故所求直线/的方程为丁=疯-2月，或>=疯+2行.12分

八八/、1-lnx

21、解：(I)首先，x>0.v/(x)=—―,1分

X

f'(%)>0=>0<x<e=>f(x)在(o,e]上递增；

/'(%)W0=%2en/(%)在[e,+oo)上递减；

/W的单调递增区间是(o,e]，单调递减区间是[e,+8).3分

r/c、In22In2In4=.

•//(2)=—=——=—=/(4),而e<3o<4<5c,

244

・•.〃3)>八4)>〃5)即/(3)>〃2)>〃5).5分

(II)要证明/(X)<1--即证明吧41—1(x>0)即证明InX—X+1W0(%>0)恒成立。

xxx

11—X

令g(x)=Inx—x+l(x>0),则g'(x)=—1=-----=0=>x=1.7分

xx

：.g(x)在x=1处取得极大值g⑴=0,也是最大值。

g(x)4g⑴=0。：.f(x)<l——(x>0)成立.

x

由此可得/(n2)<l--y(n上N*).9分

n

于是/(2?)+/(3?)+…+/(〃?)<(I-4)+(1_J)+…+(1--L)

2~jYT

n

1

-[―^+―+…+]

2x33x4n(n+l)

二"一1一-—…—^-j)]

一11、(n-1)(272+1)

=n-l-(-----)=---------。

2〃+12〃+2

.•・〃22)+/(32)+…+/(/)<止，(2蜉1)12分

22、解：(1)由题设%,=。+(加—1))也,1分

由已知。<b<Q+8<。+2/?,所以<〃+2力<3b.又b>0,所以aV3.

因为ab>a+b,b〉a,则又a>0,所以。>2,从而有a>">1.

b—\

因为aeN*,故a=2.4分

(2)设1+4”,="“，BP1+a+(in-l)h=b-a"~l.

3

因为a=2,则3+(，”—l)b=〃-2"T,所以匕=—―-----.

2"T-(m-1)

因为b>a2,且66N*,所以2"T-(加-1)=1,即加=2"，且6=3.

故％=0.3-2"T8分

(3)由题设，S“=3(1+2+…+2"T)=3(2"-1).

当〃23时，2"—1=C：+C：+…+C：T+C；—1NC,；+C；+C；i+C；—1=2〃+1,

当且仅当〃=3时等号成立，所以S,23(2〃+l)

10分

工曰9111

于是-----(2:1)(2"+一)<(2〃+1)(2〃+3)=丸〃+12〃+3](〃N3).12分

S"S"+i

因为Si=3,Sz=9,53=21,则

9111111111

+・・.+--------<—|-----1—I--------F----------F1

S|Szs2s3S3s4

S,,Sn+i321279911In+12/7+3

1±1(11

++14分

321272〃+33211442

怀柔区2009〜2010学年度第二学期高三期中练习

数学（理科）2010.3

本试卷分第I卷（选择题）和第1[卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第n卷3

至8页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，

再选涂其他答案.不能答在试卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求

的一项.

1.设集合P={x|-l<xW2},Q=[x\x-l>0],则尸no=

A.{xI-1<X<1}B.{x11<x<2}C.{xl-l<x<2}

D.{x\x>-1}

2.若向量a二(1,—1),b=(—1,1),c=(5,1),则c+a+b=

A.aB.bC.cD.a+b

3.抛物线y=-4x2的准线方程是

11

A.x——B.x=1c.y=1D.y二—

1616

4.已知a=l,复数z=(42—l)+(a—2)i(a/eR),贝卜a=1"是"z为纯虚数”的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

5.如图，是CCTV青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶

图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方79

差为844467

9136

3880

C.—D.

7T

6.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,且侧

棱A/，底面AiBiC],主视图是边长为2的正方形，该

A品4ZEWffl他快接图

三棱柱的左视图面枳为

A.4B.2百

C.2A/2

7.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方

体6个表面的

距离均大于1,称其为“安全飞行"，则蜜蜂"安全飞行"的概率为

812615

A.B.----C.—D.

27272727

8.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1),然后接着按

图所示在x轴，y

轴平行方向来回运动(即(0,0)->(0,1)~>(1,1)->(1,0)—>(2,0).......),若每秒运动

一个单位长度，那

么第2010秒时，这个粒子所在的位置为

A.(16,44)B.(15,44).

C.(14,44)D.(13,44)

第n卷（非选择题共110分）

注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内.

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9.函数y=sinxcosx的最小正周期为

10.经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标

方程为

如图，是计算▲…的值的一个程序框

24620

图，其中判断框内应填入的条件是.

12.若函数/(x)=—/+cx+2(ceR),则

「（一2）、r（T）、r（o）的大小关系是

O-.O'

13.如图，圆。和圆。'相交于4B两点，AC是圆0'的切线，AD是

圆。的切线，若8c=2,AB=4,则8D=.

-；+[+W。，若…])=],/⑼一

14.已知函数f(x)=,则函数

—2,x>0

g(x)=/(x)+x的零

点个数为.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题共12分）

1+V2cos（2x-—）

已知函数/（%）=---------------2.

sin（y-x）

（I）求函数/（x）的定义域；

（H）求/（X）在区间［-?,'）上的最大值与最小值.

16.(本小题满分14分)

如图，已知四棱锥SfBCD的底面A8CD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA

_1_底面A8CD,

SA=AD=1,AB=42.

(I)求证：MNJ_平面A8N；

(II)求二面角A—8N—C的余弦值.

17.（本小题满分13分）

已知函数/（6=&_3/+1——56尺且。力0）,求r（x）及函数/（X）的极大

值与极小值.

18.(本小题满分13分)

甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其

中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,

至少答对2道题才能入选.

(I)求甲答对试题数J的分布列及数学期望；

(II)求甲、乙两人至少有人入选的概率.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=弓，一个焦点的坐标为（6,0卜

（I）求椭圆C方程;

（II）设直线/：y=gx+〃2与椭圆C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点T.当

m变化

时，求ATAB面积的最大值.

20.(本小题满分14分)

当P”P2,…，P”均为正数时，称---------------为P],〃2,…，P.的"均倒数”.已知

Pi+P2+--+Pn

数列｛%｝的各项均为正数，且其前八项的"均倒数"为」一,

2n+1

(I)试求数列｛*｝的通项公式；

(H)设％=-^―，试判断并说明c,,M-％eN*)的符号；

(III)已知么=件。＞0),记数列仇｝的前〃项和为S“，试求」包的值；

S”

(W)设函数/")=一一+4%—一%-,是否存在最大的实数4,使当xK/ln寸，对于一

2n+1

切正整数"，

都有/(x)40恒成立？

怀柔区2009~2010学年度第二学期高三数学期中练

习

参考答案及评分标准（理科）20W.3

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案BCDADBBC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.兀10.p-2cos^11.

n<20

3

12./^O)>/(-1)>/(--)13.814.

3

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题共12分)

解：(I)由题意sin(--x)0=>--k/r.kGZNx丰2+k7i,kwZ

222

故所求定义域为{xlxH2+br«cZ}..........4分

2

1+V2COS(2X-----)

_1+cos2x4-sin2x2cos2x+2sinxcosx

(ID〃x)=--------------------

cosxcosx

sin(y-x)

=2cosx+2sinx=25/2sin(x+—)..........9分

4

71,71c,434

----Wx<—,，0WXH—<—,..........10分

4244

jrjr

.,.当x+]=0即x=-1时,/(x)n)in=0；

当"?竹即X=(时，/(X)max=20.......12分

16.(本小题满分14分)

解：（I）以4点为原点，AB为x轴，4。为y轴，AD为z轴的空间直角坐标系，如图所示.

则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0,0,0）,8（V2,0,0）,C（、历，1,

0),D(0,1,0),5(0,0,1)(图略)

V27211

2分

——•11―■l--J?11

/.MN=(0,--,-),AB=(J2,O,O),AN=(-y,-,-)......................................4分

.•.加•藤=•..=(),砺•丽=•.雨，丽丽，而.

.•./WN_L平面ABN...................................................................................................7分

(II)设平面NBC的法向量7=3"c),贝61BC,n1女.且又易知

BC=(0,l,0),SC=(V2,l,-l)

"•8。=0,即仅=0,b=0,

n-SC=0,[后。+b-c=0.c=41a.

令。=1,贝iJ〃=(l,0,&)............................................................................11分

—►11

显然，仞N=(0,-5，耳)就是平面八8N的法向量.

由图形知，二面角A—8/V—C是钝角二面角..........................12分

二面角A—8N-C的余弦值是一Y—..........................14分

3

17.（本小题满分13分）

解：由题设知a。0,，F'（x）=3a/-6x=3ax（x-2）.......2分

a

,2

令f'M-。得x-。或x=—..............4分

a

当〃>0时,随光的变化，言（力与/（工）的变化如下：

2

X(-00,0)0

a信+8)

f'M+0-0+

/(x)/极大极小/

/(X)极大=/⑼=1-3'“X)极小=/仔+l.....8分

a\ci/cia

当a<0忖，随x的变化，/'（X）与"X）的变化如下:

2

X。0（训0(0,+oo)

卜ma

/'（X）-0+0-

f(x)极小极大

•••/a）极大=〃。）=1j/⑺极小=/闫=一捺一6.........12分

343

综上，当a>0时,/（X）极大=1--，/（x）极小=一-2—+1;

人aa

343

当a<0时，/（x）极大=1-丁/（%）极小=一/一=+1......1?分

18.（本小题满分13分）

解：(I)依题意，甲答对试题数J的可能取值为0,1,2,3.......................1分

1

则P(4=0)

30

c卜c：=3

P("l)3

C.O10

PC=2)=爷g

5o2

P(J=3)......................................................5分

Gt6

.•.J的分布列为

0123

4

P13

301026

......................6分

甲答对试题数自的数学期望为

13119

E4=Ox-+lx-~'+2x-+3x-=7分

3010265

(II)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则

2

尸(A)=PC=2)+PC=3)=§,

56+5614

..................................9分

12015

因为事件A、B相互独立，

甲、乙两人考试均不合格的概率为

————214i

P(A.B)=P(A)•P(B)=[1--][1--]=—11分

.・・甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

------144

P=1-P(AB)=1——=—.

4545

44

答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为一.13分

45

另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

--3111421444

P=P(A•8)+P(A•8)+P(4•8)=-x—+—x—+—x

21531531545

答：甲、乙两人于少有―人考试合格的概率为一.

45

19.（本小题满分14分）

22

解法一：（I）依题意，设椭圆c的方程为=+与=1（a＞匕＞0）

ab

cy/3

/.Q=2,........3分

h2=a2—c2=1,........4分

比2

二椭圆c的方程是二+4=1

4........5分

[x2,

—+y-2=1

(II)由4

1

V=—X4-777

I2

得x?+4(gx+/n)2=4,即x[+2mx+2m2-2-0

令公>0,得8-4机之>