证明类问题-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题47证明类问题

【考查题型】

。与平行线相关证明

•与全等三角形相关证明

（/一一T与等腰三角形有关的证明

专题47证明类问题

与圆有关的证明

-与四边形综合有关的证明

与相似三角形有关的证明

考查题型一与平行线相关的证明

1.（2020・湖北武汉市•中考真题）如图，直线防分别与直线AB，CD交于点E，F.EM平分

ZBEF,FN平■分NCFE,且FN.求证：AB\CD.

【答案】证明见解析.EM乎分NBEF,FN平分NCFE

【解析】先根据角平分线的定义可得：.NMEF=-NBEF,4NFE=-Z.CFE

22

ZMEF=-NBEF,ZNFE=-ZCFE,再根据

22•:EM//FN

平行线的性质可得=从而可得:.AMEF^ZNFE

ZBEF=NCFE,然后根据平行线的判定即可得NBEF=-ZCFE,即ZBEF=ZCFE

22

证.

AB//CD..

【详解】

2.（2020•湖北宜昌市•中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生

折射，如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线E厂从水中射向空气时发生折射，光线变成FH,点G

在射线EF上，已知NHFB=20°,NEED=45°,求NGFH的度数.

【答案】25。【解析】/GFB=/FED=45。

使用平行线的性质得到/GFB=ZFED=45°,/HFB=20。

再根据/GFH=ZGFB-ZHFB得到结果.ZGFH=ZGFB-ZHFB

【详解】解：AB//CD=45°-20°=25。

考查题型二与全等三角形有关的证明

3.（2020•柳州市中考真题）如图，已知。C平分CWCW,点48分别在射线OM,ON上,且。/=。8.

求证：UAOmUBOC.

【答案】见解析OA=OB

【详解】证明：OC平6MON,<ZAOC=ZBOC,

OC=OC

AOC=BOC,

□□jocnnsocCSAS).

在；4OC和BOC'V，

4.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，HC是四边形NBCD的对角线，小=口5,点E、F分别在48、BC

上，BE=CD,BF=CA,连接EE

（1）求证：口。=口2；

（2）若EFCUC,00=78°,求E1B/C的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）78°.证明：（1）在ELSEF和□（?£>/中,

【详解】

BE=CD(2)□□Z)=n2,□£>=78°,

<NB=N1,□□£>=口2=78。，

BF=CA

\2EFJAC,

BEFFiQCDA(SAS),

□L2=BAC=78°.

D=2；

5.（2020•广西河池市•中考真题）（1）如图（1）,已知CE与AB交于点E,AC=BC,口1=口2.求证:

ACELBCE.

（2）如图（2）,已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,口3=口4.探究AE与BE的数量关系，并

说明理由.

(1)⑵⑵

答案】（1）证明见解析；（2）AE=BE；理由见解析AD=CB

【详解】（1）证明：在匚ACE和匚BCE中，<Z3=Z4,

CF=DE

AC=BC

«N1=N2,ACEBCE（SAS）；旧ADEETBCF(SAS),

CE=CE□AE=BF,AED=[CFB,

(2)AE=BE.□□AED+」BEF=180°,□CFB+口EFB=180°,

理由如下：在CE上截取CF=DE,BEF=DEFB,

在ADE和BCF中，BE=BF,AE=BE.

6.（2020•四川宜宾市•中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点

E,使。石=AD，连接CE.

(1)求证：△ABDwbECD

（2）若AABD的面积为5,求AACE的面积.

B

DtC

E

【答案】（D详见解析；（2）10.(2);在ABC中，D是BC的中点

【详解】证明：（DnD是BC的中点，=

ABDSACDAABD=AECD

匚BD=CD在LABD和CED中，

BD=CD

<ZADB=NCED-1'

SACE=SACD+SECD=5+5=10

AD=ED

答：三角形ACE的面积为10.

所以△A3。三项。。；

考查题型三与等腰三角形有关的证明

7.（2020•山东烟台市•中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC

上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.

（问题解决）

（1）如图1,若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；

（类比探究）

（2）如图2,若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明

理由.

【答案】（1）见解析；（2）FC=CD+CE,见解析口EH=EC=CH,□CEH=60°,

【详解】（1）证明：在CD上截取CH=CE,如图□□DEF是等边三角形，

1所示：DDABC是等边三角形，□DE=FE,□DEF=60°,

□□ECH=60°,□□DEH+DHEF=nFEC+DHEF=60°,

□□CEH是等边三角形，□□DEH=DFEC,

在口DEH和〔FEC中,□DG=CD=CG,DGDC=60o,

DE=FE□□EDF为等边三角形，

<ZDEH=ZFEC,□ED=DF,□EDF=DGDC=60°,

EH=EC

EDG=LFDC,

□□DEHDDFEC(SAS),□DH=CF,

在「EGD和FCD中，

□CD=CH+DH=CE+CF,

ED=DF

□CE+CF=CD；<ZEDG=ZFDC,

(2)解：线段CE,CF与CD之间的等量关系是DG=CD

FC=CD+CE；理由如下：□□EGD01FCD(SAS),□EG=FC,

□□ABC是等边三角形，口FC=EG=CG+CE=CD+CE.

A=LB=60°,

过D作DGEJAB,交AC的延长线于点G,如图2

所示：DGDOAB,

□□GDC=CB=60°,□DGC=nA=60°,

GDC=LDGC=60°,

□□GCD为等边三角形,

8.(2020•黑龙江牡丹江市中考真题)等腰三角形ABC中，AB=AC=4,□BAC=45。，以AC为腰作等腰直

角三角形ACD,CJCAD为90。，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离.

【答案】画出图形见解析；点8到。的距离为2□点2到CD的距离等于点A到CD的距离,

V2或4-2点.过点/作AELCD，

AB-AC=4,

【详解】本题有两种情况：

AC

(1)如图，4.

AE=^2V2,

点8到CO的距离为2J］；

(2)如图：

△ACD是等腰直角三角形，NC4£>=90°，

ZACD=45°,

ZBAC=45°,AB//CD，

ZA£C=90°.

匚点B到CD的距离即BE的长，

AC/—

AB-AC=4>AE==2v2,

BE=AB—AE=4-2起，即点8到CO的距

△ACO是等腰直角三角形，NC4£>=90°,离为4-2应.

ZACD=45°，ABAC=45°,

9.(2020•黑龙江牡丹江市•中考真题)在等腰△A6c中，=点D,E在射线班上,

BD=DE，过点E作瓦7/3C,交射线C4于点F.请解答下列问题：

(1)当点E在线段A8上，CD是AACB的角平分线时，如图口，求证：AE+BC=CF；(提示：延长

CD,交于点M.)

(2)当点E在线段84的延长线上，CO是AACB的角平分线时，如图U；当点E在线段84的延长线

上，CD是△4C8的外角平分线时，如图口，请直接写出线段AE，BC,CT之间的数量关系，不需要

证明；

(3)在(1)、(2)的条件下，若OE=2AE=6,则CF=

【答案】(1)见解析；(2)BC=AE+CF或A=BCA=LEFA,

AE=CF+BC；(3)18或6.AE=EFMF//BC

【详解】□MED=3B,DM=DBCD

(1)如图，延长CO，正交于点M.又FCM=_BCM,

□□M=DFCMnCF=MF

又BD=DE

△MEDMCBD(AAS)ME=BC

CF=MF=ME+EF=BC+AE

图①

即AE+BC=CF；

AB=BC，EF//BC

（2）当点E在线段5A的延长线上，CD是由上述证明过程易得△"Er>M£B£）（A4S）,

△ACB的角平分线时，BC=AE+CF,

BC=EM,CF=FM,又「AB=BC,

如图，延长CO,EF交于点M.

LILACB=CAB=LFAE

EFUBCF=FCB,

□EF=AE,UAE=FE=FM+ME=CF+BC

（3）CF=18或6

当DE=2AE=6时，图口中，由（1）得：AE=3,

BC=AB=BD+DE+AE=15,

由同理可证△MEDMAC或）（A4S）,ME-BC

CF=AE+BC=3+15=18；

由匚证明过程同理可得出MF=CF,AE=EF,

图n中，由（2）得：AE=AD=3,

□BC=ME=EF+MF=AE+CF；

BC=AB=BD+AD=9,

当点E在线段B4的延长线上，CO是△ACB的外

□CF=BC-AE=9-3=6；

角平分线时，AE=CF+BC.

图中，DE小于AE,故不存在.

如图，延长CO交EF于点M,

故答案为18或6.

10.（2020•黑龙江哈尔滨市•中考真题）已知，在AA8C中，AB=A。，点D,点E在BC上,

=连接AD,AE.

（1）如图1,求证：AD=AE-.

（2）如图2,当NZME=NC=45°时，过点B作BfV/AC，交AD的延长线于点F,在不添加任何辅

助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45。.

【答案】（1）证明见解析；（2）.ADE、=.-,ZB=ZC.

△BAE、ABDF、△C4D.在△ABD和△ACE中，

【详解】（1）证明：如图1,

AB^AC/BAD=ACAE=67.5°-45°=22.5°,

（）

<NB=NC,^ABD^ACESAS,/BAE=ACAD=22.5°+45°=67.5°,

BD=CE

ZBAE=/BEA=ACAD=ZCDA=67.5°,

AD^AE；

C4=CQ、43=AE即：八RAE、ACW是

（2）顶角为45。的等腰三角形有以下四个：

等腰三角形，ZABC=ZACB^45°,

△ADE、AfiAE、△C4Ds^BDF.

BF//AC

证明：NC=45°,AB^AC,

DBF=1C=45°,ZF=ZCAD=67.5°，

ZABC=ZACB^45°,NACB=90。，

又ZBDF=ZADC^67.5°,

Na4E=45°,AD=AE，即：闻）£是等腰

ZBDF=ZF=67.5°,

三角形，NZME=45°；

BD=BF、B|J：△8。尸是等腰三角形，

1800-45°

ZADE=ZAED=———=67.5°,

2/DBF=45°.

考查题型四与圆有关的证明

11.（2018•湖南郴州市•中考真题）已知BC是口0的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE是

的弦，匚AEC=30。.

（1）求证：直线AD是no的切线；

⑵若AE口BC,垂足为M,口0的半径为4,求AE的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4百.(2)连接OA,OOAEC=30°,

□UAOC=60°,LBCAE于M,

【详解】⑴如图,

AE=2AM,匚OMA=90。，在RtAOM中,

IL]AEC=30。，□□ABC=30°,DAB=AD,

AM=OA・sinAOM=4xsin60°=2-y/3>

D=ABC=30。，

根据三角形的内角和定理得，口8人口=120。，AE=2AM=4百.

连接OA,OA=OB,

OAB=ABC=30。，

CiOAD=BAD-[OAB=90°,

□OACAD,□点A在10上，

匚直线AD是口。的切线；

12.（2018•辽宁沈阳市•中考真题）如图，BE是圆0的直径,点A和点D是口0上的两点，过点A作：10

的切线交BE延长线于点C,

（1）若UADE=25。，求DC的度数；

（2）若AB=AC,CE=2,求一0半径的长.

\°W

D

答案】(1)nc=400；(2)口O的半径为2.C=90°-aAOE=90°-50°=40°；

【详解】(1)如图，连接OA,(2)DAB=AC,□DB=QC,

我E—衣E，AOC=2B,

□□AOC=2QC,□□OAC=90。，

□UAOC+□C=90°,3LiC=90°,

■AC是IO的切线，OA是O的半径,C=30°,OA=-OC,

2

□OAOAC,□□OAC=90°,

设HO的半径为r,DCE=2,

=ADE=25°,

r=—(r+2),解得：r=2,

2

□□AOE=2ADE=50°,

□匚O的半径为2.

13.(2018•四川攀枝花市•中考真题)如图，在DABC中，AB=AC,以AB为直径的口0分别与BC、AC交

于点D、E,过点D作DF1AC于点F.

(1)若10的半径为3,□CDF=15°,求阴影部分的面积;

(2)求证：DF是口0的切线；

⑶求证：□EDFRDAC.

A

【答案】(1)阴影部分的面积为3兀-些；(2)□AB=AC,□□ABC=nC=75°,

4

BAC=180°-ABCC=30°,

证明见解析；(3)证明见解析.

1133x/3

【详解】解：(1)连接OE,过O作OMAC于OM=-OA=—x3=—，AM=-Jr3OM=------,

2222

OA=OE,OMAC,AE=2AM=373，

□□BAC=AEO=30。，

」□AOE=180°-30°-30°=120°,

□阴影部分的面积S=S睚AOE-SAOE=

□DFDAC,□□DFC=90°,120^x32

--x3y/3x--37T--y/3;

FDC=15°,□□C=180°-90o-15o=75°,360224

(2)证明：连接OD,AB=AC,OB=OD,AB为O的直径,

□!ABC=QC,ABC=QODB,□AEB=90°,□BEDAC,

□ODB=DC,DACnOD,□DFDAC,匚BEZ1DF,

FDC=UEBC,1EBC=DAC,

nDFDC=[DAC,

□A、B、D、E四点共圆，

IDDEF=CABC,□CABC=DC,

□DFDAC,□DFEOD,

l□DEC=□C,DDFAC,

□OD过O,DDF是LIO的切线;

EDF=[FDC,EDF=DAC.

(3)证明：连接BE,

14.（2019•四川绵阳市•中考真题）如图，AB是。。的直径，点。为80的中点，为。。的弦，且

CF±AB，垂足为E，连接3。交CF于点G,连接C£>,AD，BF.

⑴求证：/^FG=ACDG；

（2）若4）=3E=2,求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）8尸=2百.ABFG=^CDG(AAS)；

【详解】证明：（1）口C是5。的中点，।(2)解法-：如图，连接OP,设。。的半径为「，

用中，BD1AB2-AD1,即

CD=BC，

BD2=(2rf-22,

A8是。。的直径，且CF_L4B,

RtAOEF中,OF2=OE2+EF2,即

BC=BF，

£F2=r2-(r-2)2,

BD=*F，CD=BF,

在ASFG和ACDG中，BD=*C=*F，》D=^F，BD=CF,

ZF=ZCDGBD2=CF2=(2EF)2=4EF2,

<NFGB=NDGC,

BF=CD即(27)2—22=4尸_(一2)1,

解得：〃=1（舍）或3,BC2=ABBE=6x2=\2^

BF2=£F2+BE2=32-(3-2)2+22=12,

BF=BC=26

BF=273；

C

解法三：如图，连接OC,交BD于H,

解法二：如图，过。作交/。延长线于

CHLAO。是BD的中点，口0。，班),

点H,连接AC、BC,

DH=BH,

CD=BC，ZHAC=ABAC

OA—OB.OH=—AD=1,

2

CELAB.CH=CE,

OC=OB，ZCOE=ZBOH,

AC=AC,Rt^AHC=Rt/^AEC，

40HB=/OEC=96>，

AE^AH,

CH=CE，CD=CB,△COE三2OH(AAS),

RtkCDH三Rt\CBE{HL),OH=OE=T,OC=OB=3,

DH=BE=2,AE=AH=2+2=4,

AB=4+2-6，

A3是。。的直径，NACB=90°，］

ZACB=ZBEC=90°>

NEBC=ZABC，A5EC:ABCA.

BCBE

~AB~~BC'

15.（2018•浙江湖州市•中考真题）如图，已知AB是nO的直径，C,D是HO上的点，OC「BD,交AD

于点E,连结BC.

（1）求证：AE=ED；

(2)若AB=10,nCBD=36°,求AC的长.

AEO=ADB=90°,

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=2TT

即OCAD,

【详解】

口AE=ED；

提示：（1）根据平行线的性质得出lAEOg。。，再

(2)LOCUAD,

利用垂径定理证明即可；

-,-AC=BD，

（2）根据弧长公式解答即可.

：.LABC=CBD=36°,

详证明：（1）AB是0的直径，

□0AOC=2DABC=2x36o=72°,

□OADB=90°,

724x5

I：OCBD,AC—2万.

180

16.（2018•天津中考真题）己知AB是。。的直径，弦CD与AB相交，NB4c=38°.

（□）如图口，若。为48的中点，求NABC和NAB。的大小；

（口）如图口，过点。作的切线，与A3的延长线交于点P，若DP//AC,求NOCD的大小.

【答案】（1）52°,45°；（2）26°又：ABAC=38"，ZABC=90°-38°=52°.

【解析】

由。为AB的中点，得AD=BO

提示：（「）运用直径所对的圆周角是直角以及圆

周角的度数等于它所而弧的度数求解即可；ZACD=ZBCD=-ZACB=45°.

2

（D）运用圆周角定理求解即可.ZABD=ZACD=45°

详解：（）A3是。。的直径，ZACB=90°.

ABAC+ZABC=90).

ZAOD=NODP+NP=128°.

ZACD=-ZAC)D=64°.

2

又(M=OC，得ZACO=ZA=38°.

ZOCD=ZACD-ZACO=64°-38°=26°.

（□）如图，连接0£>.

DP切。。于点D，

OD±DP,即NQ£>P=90°.

由OP//AC,又NBAC=38°，

ZAOD是△OD尸的外角,

17.（2020•广东广州市•中考真题）如图，。。为等边A4BC的外接圆，半径为2,点。在劣弧A8上运动

（不与点A3重合），连接ZM,DB，DC.

（1）求证：。。是NADB的平分线;

（2）四边形ADBC的面积S是线段。。的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明

理由;

（3）若点M,N分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每一个确定的位

置，ADMN的周长有最小值/,随着点。的运动，，的值会发生变化，求所有f值中的最大值.

【答案】（1）详见解析；（2）是,ADC=BDC=60°,

DC是：ADB的角平分线.

—X2(2V3<X<4)；(3)46

4（2）是.如图，延长DA至点E,使得AE=DB.

【详解】⑴MABC为等边三角形,BC=AC,连接EC,则□EAC=18O°-E3DAC=E2DBC.

AC=3C，都为l圆，口AE=DB,Z3EAC=EiDBC,AC=BC

AOC=BOC=120°,EAC口DBC(SAS),

E=CDB=ADC=60°,DCA=120°.

O

故EDC是等边三角形，CD|D2=3CD2DI=60,

DC=x,根据等边三角形的特殊性可知DC边上在等腰[；DCD2中，作CHD1D2,

的高为且X则在RtDCH中，根据30。特殊直角三角形的比

2例可得DiH=走CQ=走x,

□212

)KDE犬(

S=SdDBc+SJDC=Sme+SJ[c=S=WX,X=^~26<X'治理口2叩迫CD,=—x

222

t=D\D2=y/3DC-W>x-

x取最大值时/取最大值.

即D与0、C共线时/取最大值/=4.

所有/值中的最大值为4百.

(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点Di、

D2,根据对称性

CDMN=DM+MN+ND=D।M+MN+ND2.

□Di、M、N、D共线时DDMN取最小值，，此时J

/=DID2,f

由对称有D|C=DC=D2C=X,DICB=DDCB,

□D2cA=12DCA,i:

ED।CD2=D1CB+□BCA+LD2CA=DCB+60°+.

18.(2020•山东济南市•中考真题)如图，Z8为□。的直径,点C是口。上一点，C£>与口。相切于点C,

过点/作/。口。。，连接AC,BC.

(1)求证：4C是口0/5的角平分线；

(2)若4。=2,AB=3,求NC的长.

二D二D

【答案】（1）见解析；（2）V6DAC=VOAC,

□/C是的角平分线;

【详解】解：（1）证明：连接0C,如图

(2)口28是口。的直径，

□CO与□。相切于点C,

□□4C8=90。，

□□08=90。，

□□D=n4cB=90°,

□4C£>+」/CO=90。，

DDDAC=DBAC

DADDC,f

□RtCJDCDRtD^C5,

□□4）C=90。，

ADAC

=,

QUACD+JDAC=90°,ACAB

2

rQACO=LDACtAC=AD>AB=2X3=6,

OA=OCfAC=.^6

□□O4C=匚OC4

19.（2020•江苏南京市•中考真题）如图，在AABC中，AC=BC,D是AB上一点，130经过点A、

C、D,交BC于点E,过点D作。F7/5C,交口0于点F,求证：

（1）四边形DBCF是平行四边形

（2）AF=EF

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.-.BD//CF,

【详解】

.四边形DBCF是平行四边形.

证明：(1).AC=BC,

（2）如图,连接AE

ABAC=AB,

•ZADF=ZB，ZADF=ZAEF

-.DF//BC,

./AEE=NB

:.ZADF^ZB,

♦四边形AECF是。。的内接四边形

又NBAC=NCFD,

ZECF+ZEAF=ISO°

ZADF=NCFD,

'：BD//CF：.ZAEF=ZEAF

ZECF+ZB=\SO：.AF=EF

：.ZEAF=ZB

20.（2020•河北中考真题）如图，点。为AB中点，分别延长OA到点C,OB到点。，使

OC=OD.以点。为圆心，分别以OA,0c为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点

（不与点A,3重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.

（1）□求证：AAOE且APOC；

口写出口1,口2和NC三者间的数量关系，并说明理由.

（2）若。。=2。4=2,当/C最大时，直域指出CP与小半圆的位置关系，并求此时无形E。。（答案保

留万）.

【答案】（1）:见详解；I2=C+I；（2）CP□U2=ac+I；

4（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切

与小半圆相切，一万.

3时DC有最大值，

【详解】□当NC最大时，可知此时CP与小半圆相切，

AO=PO由此可得cpnop,

（）匚在和中

1AOEPOC<NAOE=NPOC,又LOC=2OA=2OP=2,

OE=OC

口可得在RtPOC中,□C=30°,□POC=60°,

AOEPOC；

□□EOD=180。-POC=120°,

□□2=nc+」i,理由如下：

2

c120x^-x/?4

由（1）WDAOEDnPOC,S用EOD=------------------=­兀.

360°3

□□1=1OPC,

根据三角形外角的性质可得:2=JC+OPC,

考查题型五与四边形综合有关的证明

21.（2020•广东深圳市•中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放

（点£,A,。在同一条直线上），发现且BEOG.小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解

答:

图1

（1）将正方形NEFG绕点/按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到5E=DG吗？如果能，请给出证