2024届湖北省当阳市第二高级中学高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2024届湖北省当阳市第二高级中学高二数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义运算，，例如，则函数的值域为（）A． B． C． D．2．观察下列各式：3272112152……据此规律.所得的结果都是8的倍数.由此推测可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．3．下列命题中,正确的命题是（）A．若，则B．若，则不成立C．，则或D．，则且4．如图的三视图表示的四棱锥的体积为，则该四棱锥的最长的棱的长度为（）A． B． C．6 D．5．若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．6．复数的模是()A．3 B．4 C．5 D．77．已知函数满足，若函数与的图像的交点为，，…，，且，则（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．9．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．10．的展开式中的系数是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．235211．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（）A．960种 B．984种 C．1080种 D．1440种12．当时，总有成立，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线a，b和平面，若，且直线b在平面上，则a与的位置关系是______．14．已知函数，若有且仅有一个整数，使，则实数的取值范围是__________．15．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.16．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若正数满足，求的最小值.18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且，求△ABD的面积.19．（12分）设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.20．（12分）已知函数，且当时，取得极值为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.21．（12分）已知定义在上的函数．求函数的单调减区间；Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．22．（10分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．2、A【解题分析】

先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解.【题目详解】数列3,7,11,15，……的通项为an当n=26时，a26故选：A【题目点拨】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、C【解题分析】

A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.【题目详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误；B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；D．当时，，此时且，故错误.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.4、C【解题分析】

根据三视图，画出空间结构体，即可求得最长的棱长。【题目详解】根据三视图，画出空间结构如下图所示：由图可知，底面，所以棱长最长根据三棱锥体积为可得，解得所以此时所以选C【题目点拨】本题考查了空间几何体三视图，三棱锥体积的简单应用，属于基础题。5、C【解题分析】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.6、C【解题分析】

直接利用复数的模的定义求得的值．【题目详解】|，故选：C．【题目点拨】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．7、D【解题分析】

求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．【题目详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=1．当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．解得a=1．故选D．【题目点拨】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力．8、B【解题分析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，dmax=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.9、C【解题分析】故选10、B【解题分析】

先把多项式化简，再用二项式定理展开式中的通项求出特定项的系数，求出对应项的系数即可.【题目详解】解：，的二项式定理展开式的通项公式为，的二项式定理展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用以及利用二项式展开式的通项公式求展开式中某项的系数问题，是基础题目.11、A【解题分析】分五类：（1）甲乙都不选：；（2）选甲不选乙：；（3）选乙不选甲：；（4）甲乙都选：；故由加法计数原理可得，共种，应选答案A。点睛：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。12、C【解题分析】

构造函数，然后判断的单调性，然后即可判断的大小.【题目详解】令，则所以在上单调递增因为当时，总有成立所以当时，所以故选：C【题目点拨】解答本题的关键是要善于观察条件中式子的特点，然后构造出函数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

本题可以利用已知条件，然后在图中画出满足条件的图例，然后可以通过图例判断出直线与平面的位置关系．【题目详解】直线和平面，若，且直线在平面上，则与的位置关系是：或．如图：故答案为或．【题目点拨】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查直线与平面的位置关系的基本知识，考查推理能力，考查数形结合能力，当我们在判断直线与平面的位置关系时，可以借助图形判断．14、【解题分析】因，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数使得或”。因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，即函数在处取最大值，由于，因此由题设可知，解之得，应填答案。点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数，使”。求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数使得或”。进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组，通过解不等式组使得问题获解。15、；【解题分析】

将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.【题目详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；根据题意：乙恰好比甲多投进2次，包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.则乙投进3次，甲投进1次的概率为；乙投进2次，甲投进0次的概率为.故乙恰好比甲多投进2次的概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.16、【解题分析】

由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【题目详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【题目点拨】本题考查正方体的外接球，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】试题分析：由柯西不等式得，所以试题解析：因为均为正数，且，所以．于是由均值不等式可知，当且仅当时，上式等号成立．从而．故的最小值为．此时．考点：柯西不等式18、（1）c=4（2）【解题分析】

（1）根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得.（2）先求得三角形和三角形的面积比，再由三角形的面积，求得三角形的面积.【题目详解】（1）由已知可得，所以.在△ABC中，由余弦定理得，即，解得c=-6（舍去），c=4.（2）由题设可得，所以.故△ABD与△ACD面积的比值为.又△ABC的面积为，所以△ABD的面积为.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19、(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.【解题分析】分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵，∴，即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”，∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，故方程等价于，即，设，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.详解：（1）举例：函数是“超导函数”，因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.（2）∵，∴，∴因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.（3）∵，所以方程可化为，设函数，，则原方程即为，③因为是“超导函数”，∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，故方程③等价于，即，设，，则在上恒成立，故在上单调递增，而，，且函数的图象在上连续不断，故在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.20、（1）（2）【解题分析】分析：(1)先根据导数几何意义得，再与函数值联立方程组解得的解析式；(2)先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.详解：（1），由题意得，，即，解得，∴.（2）由有两个不同的实数解，得在上有两个不同的实数解，设，由，由，得或，当时，，则在上递增，当时，，则在上递减，由题意得，即，解得，点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.21、时，的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为；当时，的单调减区间为；Ⅱ.【解题分析】

分三种情况讨论，根据一次函数的单调性、二次函数图象的开口方向，可得不同情况下函数的单调减区间；Ⅱ若关于的方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，令利用导数研究函数的单调性，结合极限思想，分析函数的单调性与最值，根据数形结合思想，可得实数的取值范围．【题目详解】当时，，函数的单调减区间为；当时，的图象开口朝上，且以直线为对称轴，函数的单调减区间为.当时，的图象开口朝