湖师范大学附属中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

湖师范大学附属中学2024届高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题:①在一个列联表中,由计算得,则有的把握确认这两类指标间有关联②若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是③随机变量服从正态分布,则④若正数满足，则的最小值为其中正确命题的序号为()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．103．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．4．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（）A． B．C． D．5．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（）A． B． C． D．6．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中的记录的产量与相应的生产能耗的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程，那么表中的值为（）A． B． C． D．7．已知，则除以9所得的余数是A．2 B．3C．5 D．78．已知集合，，，则（）A． B． C． D．9．球的体积是，则此球的表面积是（）A． B． C． D．10．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（）A．21 B．63 C．189 D．72911．“读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。某小学四年级以上在开学初开展“整本书阅读活动”，其中四年班老师号召本班学生阅读《唐诗三百首》并背诵古诗，活动开展一个月后，老师抽四名同学(四名同学编号为)了解能够背诵古诗多少情况，四名同学分别对老师做了以下回复:说:“比背的少”;说:“比背的多”;说:“我比背的多";说:“比背的多”.经过老师测验发现，四名同学能够背诵古诗数各不相同，四名同学只有一个说的正确，而且是背诵的最少的一个.四名同学的编号按能够背诵数量由多到少组成的四位数是（）A． B． C． D．12．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知服从二项分布，则________.14．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、、、、个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,,设事件为“为偶数”，事件为“,中有偶数且”，则概率等于_________.15．已知向量与的夹角为120°，且，，则__________．16．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，且满足.（1）求；（2）若，，求的取值范围.18．（12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。（1）试在棱上找一点，使得∥平面；（2）若平面⊥，在（1）的条件下试求二面角的正弦值。19．（12分）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若不等式有实数解，求实数a的取值范围.20．（12分）已知（1）求及的值；（2）求证：（），并求的值.（3）求的值.21．（12分）在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1-22（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程（2）若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求PM⋅22．（10分）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线与所成角的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据可知①正确；代入可求得，利用展开式通项，可知时，为含的项，代入可求得系数为，②错误；根据正态分布曲线的对称性可知③正确；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正确.【题目详解】①，则有的把握确认这两类指标间有关联，①正确；②令，则所有项的系数和为：，解得：则其展开式通项为：当，即时，可得系数为：，②错误；③由正态分布可知其正态分布曲线对称轴为，③正确；④，，（当且仅当，即时取等号），④正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到独立性检验的基本思想、二项展开式各项系数和与指定项系数的求解、正态分布曲线的应用、利用基本不等式求解和的最小值问题.2、C【解题分析】

先作出约束条件表示的平面区域，令，由图求出的范围，进而求出的最大值.【题目详解】作出可行域如图：令，由得，点；由得，点，由图知当目标函数经过点时，最大值为4，当经过点时，最小值为，所以的最大值为8.故选：C【题目点拨】本题主要考查了简单线性规划问题，考查了学生的作图能力与数形结合的思想.3、A【解题分析】因为,若,则,，故选A.4、C【解题分析】

根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【题目详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【题目点拨】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.5、B【解题分析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，∴小军和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大年比赛至第四局小军胜出，由指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是：.故选B.6、D【解题分析】

计算出、，将点的坐标代入回归直线方程可求出的值.【题目详解】由题意得，，由于回归直线过样本的中心点，所以，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.7、D【解题分析】

根据组合数的性质，将化简为，再展开即可得出结果.【题目详解】，所以除以9的余数为1．选D.【题目点拨】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题.8、D【解题分析】

按照补集、交集的定义，即可求解.【题目详解】，，.

故选:D.【题目点拨】本题考查集合的混合计算，属于基础题.9、B【解题分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.【题目详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选：【题目点拨】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.10、C【解题分析】分析：令得各项系数和，由已知比值求得指数，写出二项展开式通项，再令的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意，解得，∴，令，解得，∴的系数为．故选C．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在的展开式中二项式系数和为，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为．11、A【解题分析】

分别假设四位同学是说正确的人，排除矛盾情况，推理得到答案【题目详解】假设1正确，其他都错误，则1最少，比背的少，比背的少，3比4少，3比2少顺序为：4231假设2正确，其他错误，则2最少，根据1知：2比4多，矛盾，排除假设3正确，其他错误，则3最少，根据2知：1比3少，矛盾，排除假设4正确，其他错误，则4最少，根据3知：3比4少，矛盾，排除故答案选A【题目点拨】本题考查了逻辑推理，依次假设正确的人，根据矛盾排除选项是解题的关键.12、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.详解：因为服从二项分布，所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.14、【解题分析】试题分析：根据题意，若事件A为“x+y为偶数”发生，则x、y两个数均为奇数或均为偶数．共有2×3×3=18个基本事件，∴事件A的概率为=．而A、B同时发生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6个基本事件，因此事件A、B同时发生的概率为=因此，在事件A发生的情况下，B发生的概率为P（B|A）=考点：条件概率与独立事件15、7【解题分析】由题意得，则716、4860【解题分析】由题意可知,即二项式为，所以，所以的系数为4860，填4860。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；

（2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设，则由得利用复数相等的定义可得，解得或．或．（2）当时，当时，|综上可得：.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．18、（1）为边的中点；（2）.【解题分析】

(1)由平面得到∥，在底面中,根据关系确定M为AB中点.(2)取的中点，的中点，接可证明∠为二面角的平面角，在三角形中利用边关系得到答案.【题目详解】解：(1)因为∥平面,,平面平面,所以∥由题设可知点为边的中点（2）平面⊥平面,平面平面,取的中点,连接,在正三角形中为则⊥,由两平面垂直的性质可得⊥平面.取的中点连接可证明∠为二面角的平面角.设，在直角三角形中，所以为所求【题目点拨】本题考查了线面平行，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19、（1）（2）【解题分析】试题分析：(1)将绝对值不等式两边平方可得不等式的解集为(2)将原问题转化为，结合绝对值不等式的性质可得实数a的取值范围是.试题解析：(1)依题意得，两边平方整理得解得或，故原不等式的解集为(2)依题意，存在使得不等式成立，∴∵，∴，∴20、（1）；（2）见解析；（3）.【解题分析】

（1）用赋值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左边用阶乘展开可证．再由己证式结合裂项求和，可求解（3）法一：先证公式再用公式化简可求值．法二：将两边求导，再赋值x=1和x=-1可求解．【题目详解】（1）当时，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）证明：因为，由二项式定理可得所以因为，所以（3）法一：由（2）知因为，所以+则，所以法二：将两边求导，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【题目点拨】本题考查二项式定理中的赋值法求值问题，这是解决与二项式定理展开式中系数求和中的常用方法．21、（2）x+y-1=0，ρ=4sinθ；（2）2.【解题分析】分析：(2)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－2＝2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝2．化为极坐标即ρ＝4sinθ．(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－32t＋2＝2，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．详解：(2)直线l的参数方程为x=1-22ty=消去参数t，得x＋y－2＝2．曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝2．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(2)在直线x＋y－2＝2中，令y＝2，得点P(2，2)．把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－32t＋2＝2，∴t2＋t2＝32，t2t2＝2．由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程