第二章函数的概念与性质第二节函数的单调性与最值（B素养提升卷） 2024届高三数学（新高考）一轮复习（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二章函数的概念与性质第二节函数的单调性与最值（B素养提升卷）第二节函数的单调性与最值

B卷素养提升卷一．选择题（淄博市2023届高三模考）1．已知，，.其中为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．（银川、昆明市2023届高三联合二模）2．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（广州市2023届高三二模）3．已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．（深圳市2023届高三二模）4．已知，，且，则下列关系式恒成立的为（

）A． B． C． D．二．多选题（深圳市2023届高考一模数学试题）5．已知函数，若，其中，则（

）A． B．C． D．的取值范围为（淄博市2023届高三模考）6．已知函数，则（

）A．当时，在有最小值1B．当时，图象关于点中心对称C．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是（阳泉市2023年高三二模）7．已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．（白山市2023届高三三模）8．存在函数，对任意都有，则函数不可能为（

）A． B．C． D．三、填空题（淄博市2023届高三模考）9．已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是．（阳泉市2023年高三二模）10．已知，，且满足，则．（2023·上海浦东新·统考二模）11．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是．（银川、昆明市2023届高三联合二模）12．已知函数．(1)讨论在上的单调性；(2)若对于任意，若函数恒成立，求实数k的取值范围．（九江市2023届高三三模）13．已知函数(1)讨论f(x)的单调性：(2)当时，若，，求实数m的取值范围．（琼海市2023年高考模拟考）14．已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．（阳泉市2023年高三二模）15．已知函数在点处的切线方程为，(1)求的值域；(2)若，且，，证明：①；②.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据已知条件构造函数，，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】由，令，令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即令，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，所以，即，所以，在成立，令，则上式变为，所以，即，综上，.故选：B.【点睛】解决此题的关键是构造函数，，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.2．A【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】设，，对，且，恒有，即，在上单调递增，故恒成立，即，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即，即.故选：A3．B【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.4．A【分析】构造，，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.【详解】构造，，则，当时，，，所以在单调递增，因为，当，时，则,所以所以单调递减，所以;当，时,所以所以,单调递增，所以.故选：A【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造进行求解，利用函数单调性比较函数值的大小，.5．BCD【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．【详解】因为，所以，令，解得或，当时，或，所以单调递增区间为和；当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，设，则，，故A错误；又，所以，即，对照系数得，故选项C正确；，故选项D正确；因为，所以，解得，故选项B正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．6．AC【分析】利用基本不等式判断选项；利用函数的对称性即可判断选项；利用导数判断函数的单调性即可判断选项；举例说明即可判断选项.【详解】对于，当时，，当时，则当且仅当，即时去等号，所以函数在有最小值1，故选项正确；对于，当时，则，因为，所以此时函数图象不关于点中心对称，故选项错误；对于，当时，则，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则当时，对任意恒成立，故选项正确；对于，因为时，函数，，函数在上有一个零点，所以选项错误，故选：.7．AD【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论.【详解】由题意可得，且是函数的极大值点，即，可得，又极大值为3，所以，解得或；当时，，此时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；当时，，此时，时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时函数在处取得极大值，符合题意，所以，，即，所以A正确，B错误；此时，所以，，即C错误，D正确.故选：AD8．AC【分析】AC选项利用特殊值的思路判断，BD选项根据题目的要求判断即可.【详解】对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件；对于B选项，，所以，故满足条件；对于C选项，取和，可得，，矛盾，C不满足条件；对于D选项，，则，单调递增，且，即为奇函数，图象如下所示，所以值域为，D满足条件.故选：AC.9．【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．【详解】解：作出的函数图象如图所示：∵存在实数，满足，，，由图可知，，，设，其中，，显然在单调递增，，，，在单调递增，在的最大值为，的最大值为，故答案为：．10．【分析】原式等价于.构造，根据导函数求出函数的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.【详解】因为，构造，，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.由题意可知，，所以，.因为，所以，，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：同构变形后，构造函数，根据导函数研究函数的性质，进而得出结论.11．##0.25【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值.【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，故内切圆半径，由对称性可知，关于轴对称，设，，则，，其中，故，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：12．(1)在单调递增，在单调递减．(2)【分析】（1）运用导数研究函数的单调性即可.（2）令，分别讨论时，时存在一个使得，时，恒成立即可.【详解】（1），，则；，则，所以在单调递增，在单调递减．（2）令，有当时，，不满足；当时，，令，所以在恒成立，则在单调递减，，，①当，即时，，所以在单调递减，所以，满足题意；②当，即时，因为在单调递减，，，所以存在唯一，使得，所以在单调递增，所以，不满足，舍去.综上：.【点睛】恒成立问题解题策略方法1：分离参数法求最值(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)恒成立⇔；恒成立⇔；方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．13．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，分类讨论解不等式得增区间，得减区间．（2）不等式变形为，令，由于，因此存在，使得当时，，从而，由此求得必要条件，然后再证明其也是充分的即可得．【详解】（1）．当时，，易知f(x)在R上单调递减．当时，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增．当时，令，可得且；令，可得，∴在和上单调增，在上单调递减．（2）当时，由，得即，令，则∵，且，∴存在，使得当时，，∴，即．下面证明当时，对恒成立．∵，且，∴设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，∴，∴，∴，∴综上，实数m的取值范围为．【点睛】方法点睛:利用导数研究不等式恒成立问题，一是直接求函数的最值，由最值满足的不等关系解得参数范围，二是采用分离参数法，转化为求函数的最值，得参数范围，三是采取特殊值法求得必要条件，然后再证明其是充分条件，从而得参数范围．14．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.【详解】（1），因为，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）当时，恒成立，即恒成立，证明过程如下．今，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．当时，，所以，即在上单调递增，又因为，所以，即在上单调递增，所以成立．一般情况下探求：当时，，即，令，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．又因为，所以存在，使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以只需满足即可.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线方程.结合已知，即可求出的值.然后利用导函数得出的单调性，进而根据函数的单调性，结合的取值，即可得出答案；（2）求出，得出的单调性以及值域，根据以及的性质，作出函数的图象.设，根据图象，得出的范围.构造函数，，二次求导证明得到，即有，从而得出，根据函数的单调性，即可得出①的证明；先推出，即有.根据基本不等式，结合的范围得出，即，然后根据函数的单调性，即可得出②的证明.【详解】（1）由题意得，，.根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率，在点处的切线方程为，整理可得，由已知可得，，解得，，，.令，则，所以在上单调递减，所以.又时，有，所以，所以；令，则，所以在上单调递增，所以；综上所述，的值域为.（2）①由题意得，.令，则或，所以在上单调