概率论与数理统计浙江大学版本

概率论与数理统计浙江大学版本汇报人：AA2024-01-20目录CONTENTS概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基本概念参数估计方法假设检验方法01概率论基本概念样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。基本事件只包含一个样本点的事件。复合事件由两个或两个以上的基本事件组成的事件。样本空间与事件在给定条件下，某一事件A发生的可能性大小，记为P(A)。概率定义非负性规范性可加性对于任何事件A，有P(A)≥0。整个样本空间S发生的概率为1，即P(S)=1。对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定义及性质条件概率与独立性条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。事件的独立性如果事件A和B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。全概率公式贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式在全概率公式的条件下，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]，其中j=1,2,...,n。贝叶斯公式用于在已知某些条件下，求另一事件发生的概率。如果事件B1,B2,...,Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则对于任何事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。02随机变量及其分布VS随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量的分类根据随机变量取值的特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量的定义随机变量概念及分类离散型随机变量的分布律是指随机变量取各个可能值的概率。分布律的定义包括0-1分布、二项分布、泊松分布等。常见离散型随机变量的分布律离散型随机变量分布律概率密度函数的定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。常见连续型随机变量的概率密度函数包括均匀分布、指数分布、正态分布等。连续型随机变量概率密度函数随机变量函数是指由随机变量构成的函数，它描述了随机变量之间的关系。包括离散型随机变量函数的分布和连续型随机变量函数的分布，其中离散型随机变量函数的分布可以通过分布律求得，而连续型随机变量函数的分布则需要通过概率密度函数求得。随机变量函数的定义随机变量函数的分布随机变量函数分布03多维随机变量及其分布联合分布律描述两个随机变量同时取值的概率分布规律，通常用一个二维表格或三维图形表示。联合密度函数对于连续型随机变量，用联合密度函数描述两个随机变量同时取值的概率分布规律，其性质与一维连续型随机变量的概率密度函数类似。二维随机变量联合分布律/密度函数边缘分布律/密度函数二维随机变量中，一个随机变量取某个值时，另一个随机变量取值的概率分布规律。可以通过对联合分布律进行求和或积分得到。边缘分布律对于连续型随机变量，边缘密度函数描述了一个随机变量取值的概率分布规律，可以通过对联合密度函数进行积分得到。边缘密度函数条件分布律在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量取值的概率分布规律。可以通过联合分布律和边缘分布律计算得到。要点一要点二条件密度函数对于连续型随机变量，条件密度函数描述了在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量取值的概率分布规律。可以通过联合密度函数和边缘密度函数计算得到。条件分布律/密度函数定义如果两个随机变量的联合分布律（或联合密度函数）可以表示为它们各自边缘分布律（或边缘密度函数）的乘积，则称这两个随机变量是相互独立的。性质相互独立的随机变量具有一些重要的性质，如它们的协方差和相关系数均为0，它们的联合分布律（或联合密度函数）可以完全由各自的边缘分布律（或边缘密度函数）确定等。这些性质在概率论与数理统计中具有重要的应用。相互独立随机变量04随机变量数字特征数学期望的性质常数的数学期望等于该常数本身。两个随机变量的数学期望等于各自数学期望之和。随机变量线性变换的数学期望等于该随机变量数学期望的线性变换。数学期望的定义：数学期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量取值的“中心位置”。数学期望定义及性质方差的定义方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，反映了随机变量取值的离散程度。标准差的定义标准差是方差的算术平方根，具有与方差相同的量纲，更便于进行不同随机变量之间离散程度的比较。协方差的定义协方差是两个随机变量取值与其各自数学期望之差的乘积的平均值，反映了两个随机变量之间的线性相关程度。方差、标准差和协方差相关系数和矩、协方差矩阵协方差矩阵是由多个随机变量的协方差组成的矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关关系。协方差矩阵的定义相关系数是两个随机变量协方差与各自标准差乘积的比值，消除了量纲的影响，更客观地反映了两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的定义矩是描述随机变量分布形态特征的统计量，包括原点矩和中心矩。矩的定义05大数定律与中心极限定理含义大数定律是概率论中描述随机事件在大量重复试验中呈现出的稳定性的一种定律。它表明，当试验次数足够多时，随机事件的频率将趋近于它的概率。种类常见的大数定律有伯努利大数定律、辛钦大数定律和切比雪夫大数定律等。应用大数定律在保险、金融、医学等领域有广泛应用，如用于评估风险、计算保费和预测疾病发病率等。010203大数定律含义中心极限定理是概率论和数理统计中的一组定理，它描述了当大量独立随机变量相加时，其和的分布将趋近于正态分布。种类常见的中心极限定理有林德伯格-列维中心极限定理和德莫弗-拉普拉斯中心极限定理等。应用中心极限定理在统计学中有广泛应用，如用于参数估计、假设检验和置信区间计算等。同时，在自然科学、社会科学和工程领域也有广泛应用，如用于分析实验数据、预测自然现象和社会现象等。中心极限定理06数理统计基本概念03样本容量样本中包含的个体数目，通常用n表示。01总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。02样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体与样本统计量的分布统计量取值的概率分布，与总体分布和样本容量有关。常用统计量及其分布样本均值、样本方差、样本比例等，它们的分布与总体分布和样本容量有关。统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量及其分布01020304抽样分布渐近分布中心极限定理大数定律抽样分布及渐近分布样本统计量的概率分布，描述了不同样本下统计量的取值情况。当样本容量趋于无穷大时，样本统计量的极限分布。当进行大量重复试验时，频率趋于稳定，即频率近似于概率。当总体分布未知时，如果样本容量足够大，则样本均值的分布近似于正态分布。07参数估计方法矩估计法用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。最大似然估计法根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。最小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，适用于线性回归模型的参数估计。点估计方法容忍区间法在给定置信水平下，构造一个包含总体参数的区间，使得该区间长度最短。自助法通过对样本数据进行重复抽样，构造出多个样本，进而得到总体参数的多个估计值，并给出估计值的置信区间。置信区间法利用样本数据构造一个包含总体参数的区间，并给出该区间包含总体参数的可信程度。区间估计方法08假设检验方法1234原假设与备择假设显著性水平与第一类错误检验统计量与拒绝域P值与决策规则假设检验基本原理在假设检验中，原假设（$H_0$）通常表示没有差异或没有效应，而备择假设（$H_1$）表示存在差异或有效应。检验统计量是根据样本数据计算出的用于判断原假设是否成立的统计量。拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。显著性水平（$alpha$）是事先设定的一个概率值，用于控制第一类错误（即错误地拒绝原假设）的概率。P值是在原假设下，观察到的样本数据或更极端情况出现的概率。当P值小于或等于显著性水平时，我们拒绝原假设。卡方检验用于检验单个正态总体方差是否等于某个给定值。注意事项在进行单样本t检验或卡方检验时，需要确保样本数据来自正态总体，且满足相应的独立性等条件。单样本t检验用于检验单个正态总体均值是否等于某个给定值。单个正态总体均值和方差假设检验两独立样本t检验F检验配对样本t检验注意事项两个正态总体均值和方差