苏教版-第9章《中心对称图形-平行四边形》存在性问题培优训练

第9章《中心对称图形—平行四边形》存在性问题培优训练一、解答题（本大题共14小题，共140分）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，AD=6cm，AB=8cm，∠BAD=60°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB-BC向终点C运动，连结PO并延长交折线CD-DA于点Q，将线段PQ绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE(1)当P在AB边上运动时，求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)当t取何值时，以D、P、B、Q四点为顶点的四边形是矩形，并说明理由．(3)当直线BQ将平行四边形ABCD的面积分成1︰3的两部分时，直接写出△PQE如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．

(1)PD =_________，CQ=__________;(用含t的式子表示(2)当运动时间t为多少秒时，PQ//CD；(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN//BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF(1)求证：OE=OF；(2)那么当点O运动到AC的中点时，试判断四边形AECF的形状并说明理由；(3)在(2)的前提下△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形？说明理由．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形．(2)如图1，求AF的长．(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．若点如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=16cm，AD=10cm，AB=8cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间是t秒，点P以2cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动。(0<t<5)

(1)求DC的长。

(2)几秒后，四边形ABQP为平行四边形?

(3)几秒后，四边形ABQP与四边形PDCQ面积相等?

(4)直接回答几秒后，如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、D在x轴上，点B在y轴上，若C点横坐标为8，A(a,0)，B(0,b)，且实数a、b满足，

(1)求点D的坐标，

(2)将△AOB绕点O旋转60°后得△A1OB1，则点A1坐标为_______________________；

(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A2OB2，问：能否使以点如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒．

(１)当t为何值时，四边形(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动__________秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M的位置．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA、OC的长分别是m，n且满足m-62+n-8=0，点E是线段OC上一点，将▵AOE沿直线(1)求OA、OC的长；(2)求直线AE的解析式；(3)点M在直线EF上，在x轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．如图，在中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒.过点D作DF⊥BC于点F，连接(1)DF=_______，CF=_______；(用含t的代数式表示)(2)四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求t的值，若不能，请说明理由；(3)在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．如图，在平行四边形ABCD中，AD=30，CD=10，F是BC的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着A→B→C→D路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q(1)经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形？(2)经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一半？如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足____________条件时，四边形DAEF②当△ABC满足____________条件时，以D、A、E、F如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)(1)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；(2)当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm(3)当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，沿矩形的边按D→C→B→A→D方向以2cm/s的速度运动，动点N(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？(2)若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？一、解答题（本大题共14小题，共140分）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，AD=6cm，AB=8cm，∠BAD=60°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB-BC向终点C运动，连结PO并延长交折线CD-DA于点Q，将线段PQ绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE(1)当P在AB边上运动时，求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)当t取何值时，以D、P、B、Q四点为顶点的四边形是矩形，并说明理由．(3)当直线BQ将平行四边形ABCD的面积分成1︰3的两部分时，直接写出△PQE【答案】解：(1)连接DP，BQ，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//DC∴∠QDB=∵O是对角线BD的中点，∴OD=OB在△DOQ和△∠QDB=∴△DOQ≌△∴QO=OP∴四边形PBQD为平行四边形；(2)①当点P在AB边时，如图2∵四边形PBQD是矩形，

∴∠DPA=90°，

在Rt△DAP中，∠∴AP=3cm，

∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB-BC向终点C②当点P在BC上时，∵四边形DQBP是矩形，

∴∠DPC=90°，

在Rt△DCP中，∠BCD=60°，CD=AB=8cm，

∴CP=4cm，∴AB+BP=10cm，

∵动点P从点A出发，以2cm/s即：当t=2

秒或5秒时，以点D，P，B，Q为顶点的四边形为矩形；(3)①如图3中，当Q是CD的中点时，直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与▱ABCD重叠部分图形是△PQE

②如图4中，当Q是AD中点时，直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与▱ABCD重叠部分图形是四边形PQDM，

易知S重叠部分PQDM综上所述，当直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分时，△PQE与▱ABCD重叠部分图形的面积为63或【解析】本题考查四边形综合题，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会取特殊点、特殊位置解决实际问题，所以中考压轴题．(1)连接DP，BQ，依据平四边形的性质以及O是对角线BD的中点，求得△DOQ≌△BOP，进一步求得QO=OP，依据对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定定理判断即可；

(2)分两种情形①当点P在AB边时，②当点P在BC上时，从而求得t的值；

(3)分两种情形①如图3中，当Q是CD的中点时，直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与▱ABCD重叠部分图形是△PQE，②如图4中，当Q是AD中点时，直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分，此时△PQE与

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．

(1)PD =_________，CQ=__________;(用含t的式子表示(2)当运动时间t为多少秒时，PQ//CD；(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【答案】解：(1)6-(2)∴当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ//CD，

∴6-t=3t，

解得：t=1.5；

∴当运动时间t为1.5秒时，PQ//CD；

∴BE=CE=12BC=8，

①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：

3t-8=6-t，

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C∴当运动时间为1或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．(1)利用距离=速度×时间和线段之间的关系求解即可；(2)由当PD=CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，此时PQ//CD，可得方程：6-(3)分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．【解答】解：(1)根据题意得：AP=t，CQ=3t，∵AD=6，BC=16，

∴PD=AD-AP=6-t(2)见答案；(3)见答案．如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN//BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、(1)求证：OE=OF；(2)那么当点O运动到AC的中点时，试判断四边形AECF的形状并说明理由；(3)在(2)的前提下△ABC满足什么条件，四边形AECF【答案】(1)证明：∵MN//BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴EO=FO；

(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，

∴AO=CO，

∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四边形AECF是矩形；

(3)当点O运动到AC【解析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握各个性质和判定的应用是解题关键．

(1)根据平行线的性质得出∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，再根据角平分线的定义得出∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，进而求得EO=CO，FO=CO，即可得出结论；

(2)先证明四边形AECF是平行四边形，再求得AC=EF，即可得证；

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE.求证：四边形AFCE为菱形．(2)如图1，求AF的长．(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．若点【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF,

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

(2)∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=FC，

设AF=xcm，

则CF=xcm，BF=(8-x)cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴在Rt△ABF中，

由勾股定理得：42+(8-x)2=x2，

解得x=5，即AF=5cm；

(3)分为三种情况：

第一、P在AF上．

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时，Q在CD【解析】本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．

(1)根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可；

(2)根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；

(3)分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=16cm，AD=10cm，AB=8cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间是t秒，点P以2cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动。(0<t<5)

(1)求DC的长。

(2)几秒后，四边形ABQP为平行四边形?

(3)几秒后，四边形ABQP与四边形PDCQ面积相等?

(4)直接回答几秒后，【答案】解：

(1)作DE⊥CB，如图：，

由勾股定理可得DC=AB2+BC-AD2=10cm;

(2)若要使四边形ABPQ是平行四边形，则必有AP=BQ，

∵BQ=BC-QC，

∴2t=16-3t，

∴t=165秒，即165秒后，四边形ABQP为平行四边形；

(3)由题，，

若要满足题意，有，

∴12AP+BQAB=4(2t+16-3t)=64-4t=52，

解得t=3秒，即3秒后，四边形ABQP与四边形PDCQ面积相等；

(4)根据题意，如图：，有两种情况：

①四边形PDCQ【解析】本题主要考查平行四边形的性质及判定，等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形和梯形的性质，并列出关于t的一元一次方程．

(1)作DE⊥CB，由勾股定理可得；

(2)根据平行四边形的判定，找到关于t的方程，可求解；

(3)首先得到面积关系，再用t去表示边长，进而求得关于t的方程，可求解；

(4)分两种情况进行讨论：①四边形PDCQ是平行四边形，利用平行四边形的性质列出关于t的方程可求解；②梯形P'DCQ如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、D在x轴上，点B在y轴上，若C点横坐标为8，A(a,0)，B(0,b)，且实数a、b满足，

(1)求点D的坐标，

(2)将△AOB绕点O旋转60°后得△A1OB1，则点A1坐标为_______________________；

(3)将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A2OB【答案】解：，

∴a+3=0，b-4=0，

∴a=-3，b=4，

∴A(-3,0)，B(0,4)，

又∵C点横坐标为8，

∴BC=8，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=8，

∴点D的横坐标为-3+8=5，

∴D(5,0)；

(2)(-32,332)或(-32,-332)；

(3)能，①若AB//OD且AB=OD，当A2B2在x轴上方时，如图所示，

∵OA=3，BO=4，

由勾股定理得AB=5=OD，

∴A2B2=5，且A2B2//OD，设纵坐标为x，

由三角形的面积得3×42=5x2，

∴x=2.4，

设OE为m，

由勾股定理得m2+2.42=32，

解得m=95，

∴点A【解析】【分析】

此题主要考查几何旋转，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．

(1)首先根据二次根式的非负性求出a，b的值，然后根据平行四边形的性质即可求出点D的坐标；

(2)分类讨论当将△AOB绕点O顺时针和逆时针旋转60°后得△A1OB1，然后利用等边三角形的性质即可求出点A1坐标；

(3)分类讨论①AB//OD且AB=OD，②AO//BD且AO=BD，利用勾股定理求出A2的纵坐标和横坐标即可解答．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)分二种情况，

按顺时针方向旋转，点A1横坐标为-3×12=-32，纵坐标为3×32=3如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒．

(１)当t为何值时，四边形(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动__________秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M的位置．【答案】解：(1)∵四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,4)，

∴BC=OA=10，AB=OC=4，

∵点D是OA的中点，

∴OD=12OA=5，

由运动知，PC=2t，

∴BP=BC-PC=10-2t，

∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB=OD=5，

∴10-2t=5，

∴t=2.5；

(2)①当Q点在P的右边时，如图1，

∵四边形ODQP为菱形，

∴OD=OP=PQ=5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=OP2-OC2=3，

∴2t=3；

∴t=1.5，

∴Q(8,4)

②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，

同①的方法得出

t=4，

∴Q(3,4)，

③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图【解析】【分析】

本题主要考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称-最短路径问题，菱形的性质，点的坐标，勾股定理，三角形的中位线的性质等有关知识．

(1)先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10-2t，进而由平行四边形的性质建立方程10-2t=5即可得出结论；

(2)分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；

(3)先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)见答案；

(3)如图4，

由(1)知，OD=5，

∵PM=5，

∴OD=PM，

∵BC//OA，

∴四边形OPMD是平行四边形，

∴OP=DM，

∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP

=10+AM+5+DM=15+AM+DM，

∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，

∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，

∴AB=EB，

∵BC//OA，

∴BM=12AD=5如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA、OC的长分别是m，n且满足m-62+n-8=0，点E是线段OC上一点，将▵AOE沿直线(1)求OA、OC的长；(2)求直线AE的解析式；(3)点M在直线EF上，在x轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由题意得m-6=0且n-8=0，∴m=6，n=8，∴OA=6，OC=8．

(2)由勾股定理得AC=OA2+OC2=10

∵将△AOE沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点处．

∴OA=AF=6，OE=EF=x，∴CF=4，CE=8-x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得(8-x)2=x【解析】【分析】

本题考查有理数的偶次方，二次根式的非负性，轴对称的性质，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平面直角坐标系中点的坐标确定和分类讨论的思想方法．

(1)根据有理数的偶次方，二次根式的非负性，的方程组，解方程组的m，n的值即可解答；

(2)根据轴对称的性质和直角三角形的勾股定理求出OE的长，再用待定系数法即可解答；

(3)先求直线EF的解析式，根据平行四边形的性质分两种情况即可解答．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)见答案；

(3)∵直线EF的解析式为y=43x-4，∴M(t,43t-4)，N(s,0)

当AC为边时，AC平行且等于MN，∴t-s=843t-4=6，解得t=152s=312或如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．【答案】解：(1)由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=6-t

在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，

当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，

∴t=6-t，得t=3

故当t=3s时，四边形ABQP为矩形．

(2)由(1)可知，四边形AQCP为平行四边形

∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形

即32+t2=6-t时，四边形AQCP为菱形，解得t=94，

故当t=【解析】(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；

(2)当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；

(3)菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积-2如图，在中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒.过点D作DF⊥BC于点F，连接(1)DF=_______，CF=_______；(用含t的代数式表示)(2)四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求t的值，若不能，请说明理由；(3)在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【答案】解：(1)2t，23t；

(2)∵DF//AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，

即60-4t=2t，解得：t=10，

即当t=10时，四边形AEFD是菱形；

(3)四边形BEDF不能为正方形，理由如下：

当∠EDF=90°时，DE//BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

【解析】【分析】

本题主要考查直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形，菱形，正方形的判定是解题的关键．(1)由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=12CD=AE=2t，根据勾股定理可得CF的长；

(2)由(1)知DF//AE且DF=AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=AE，可得关于t的方程，求解即可知；

(3)四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF=90°，即DE//AB，此时AD=2AE=4t，根据AD+CD=AC求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．

【解答】

解：(1)由题意得：CD=4t，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，

∴∠C=90°-∠A=30°如图，在平行四边形ABCD中，AD=30，CD=10，F是BC的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着A→B→C→D路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q(1)经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形？(2)经过几秒，以A，Q，F，P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一半？【答案】解：(1)当点Q在AB或CD上时，AP与QF不平行，不可能构成平行四边形，

所以点Q必在边BC上，

若点Q在点F的左侧时，103≤t≤253，有AP=QF，

则t=25-3t，

∴t=254；

若点Q在F点的右侧时，253≤t≤403(2)当点Q在AB或BF上时，取AD中点G，

四边形AQFP的面积小于四边形ABFG的面积，即小于平行四边形面积的一半，

所以不成立；

当点Q在FC上时，

四边形AFQP的面积等于△AFD的面积(即平行四边形面积的一半)，

可得：△FPQ的面积等于△FPD的面积，则FP//DQ，

所以PD=FQ，则30-t=3t-25，∴t=554>403，不符合；

当点Q在CD上时，

同理可得：FP//DQ，

所以PD=FC=15，即：30-t=15，∴t=15<503，符合题意，

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，考查分类讨论思想，考查学生的推理能力，属于较难题．

(1)分两种情况：点Q在点F的左侧和点Q在F点的右侧讨论解答即可；

(2)分三种情况：点Q在AB或BF上、点Q在FC上及点Q在CD上讨论解答即可．

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边⑴求证：四边形DAEF是平行四边形；⑵探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足____________条件时，四边形DAEF②当△ABC满足____________条件时，以D、A、E、F【答案】解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，

∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，

∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC和△DBF中，BA=BD∠ABC=【解析】【分析】

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，解此题的关键是求出EF=BA=AD，DF=AC=AE，主要考查了学生的推理能力．

(1)根据等边三角形的性质证△ABC≌△DBF≌△EFC，就有AD=EF，DF=CE，从而得证四边形DAEF是平行四边形；

(2)①当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，所以平行四边形DAEF是矩形；

②当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)①当∠A=150°时，四边形DAEF是矩形，

理由是：∵△ABD、△ACE是等边三角形，

∴∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，

∵四边形DAEF是平行四边形，

∴四边形DAEF