人教版九年级下册数学28.1锐角三角函数

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

28.1锐角三角函数

选择题

1.计算sii??。。+COS260°的结果为（）

1

A-2BC.1D.

-I4

2.在RtZ\ABC中,ZC=90°,COSA=A,则sinA=()

5

4

A-4B，37D.

3.在RtZ\ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（)

A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定

4.如图，在中，ZC=90°，AB—4,AC=3,则cosB=^~=()

AB

A.3

B.4D.3.

54

5.下列式子正确的是()

A.cos600=返B.cos600+tan45°=1

2

_122

C.tan60°.=0D.sin30°+COS30°=一

tanSO4

6.规定：sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-siarsiny,给出以

下四个结论:

sin(-30°)=-A；

(1)

2

(2)COS2X=COS2X-sin2x；

(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；

cosl5。=近返.

(4)

4

其中正确的结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，在6X6的正方形网格中，△A8C的顶点都在小正方形的顶点上，则tan/AAC的

8.若角a,0都是锐角，以下结论：

①若aV0,贝！Jsina〈sin0；②若a〈0,则cosa<cos0；③若a<0,贝ijtana<tan0；(4)

若a+0=9O°,则sina=cos0.其中正确的是()

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

9.在AABC中，N4,都是锐角，tanA=l,sinB=返，你认为△A8C最确切的判断是

2

()

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

10.因为cos60°=工，cos240°=-工，所以cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°；

22

由此猜想、推理知：当a为锐角时有cos(180°+a)=-cosa,由此可知：cos210°=

()

A.-AB.-返C.-返D.-^3

222

二.填空题

11.已知a是锐角，且sin(a+15°)=义2,那么tana=.

2

12.如图，已知RtZVIBC中，斜边AB的长为机，ZB=40°,则直角边AC的长是.

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点4,B,C,D,E均在格点上，半径为2的

与BC交于点F,贝Ijtan/QEF=

14.在RtZ\ABC中，NC=90°,cosA=Z,贝UBC：AC：AB=

3

15.如图，4。是正五边形ABCDE的一条对角线，则N8AO=.

三.解答题

16.计算：3tan30°+cos230°-2sin60°

17.如图，在RtZ\A8C中，NC=90°，tanA=工，BC=2,求AB的长.

18.(1)在△ABC中，ZB=45°,cosA=X求NC的度数.

2

(2)在直角三角形A8C中，已知sinA=匹，求tanA的值.

5

参考答案

选择题

1.解：sin230°+COS260°=(―)2+(A)2

22

44

=工

~2

故选：A.

2.解：Vsin2A+cos2A=1,BPsin2A+(―)2=1,

5

.".sin2A=-^-.

25

，sinA=W或--(舍去)，

55

o

siiiA=—.

5

故选：C.

3.解：锐角A的三角函数值随着NA角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系,

因此sinA的值不会随着边长的扩大而变化，

故选：C.

4.解：；在RtZXABC中，ZC=90°，AB=4,4c=3,

••BC=^^2_g2=5/7，

cosB=更_=2/Z..

AB4

故选：C.

5.解：A.cos60°=工，故本选项不符合题意；

2

B.cos60°+tan45°=_1+1=1_L,故本选项不符合题意；

22

C.tan60°------J—=A/§-«=0，故本选项符合题意；

tan30y_3_

~3~

D.sin230°+COS230°=1,故本选项不符合题意；

故选：C.

6.解：⑴sin(-30°)=-sin300=等故此结论正确；

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sirL¥sinx=cos2x-sin2x,故此结论正确；

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sirtvsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny,

故此结论正确；

(4)cos15°=cos(450-30°)=cos45°cos300+sin45°sin300=

工^义1•十立L乂工=义&二^=史上2，故此结论错误.

2222444

所以正确的结论有3个，

故选：C.

7.解：如图，过点8作8Q_LAC,交AC延长线于点。，

则tan/8AC=^L=3,

AD4

故选：C.

8.解：①•.•sina随a的增大而增大，.,•若aV0,则sinaVsin,此结论正确;

(2)Vcosa随a的增大而减小，，若a<0,则cosa>cosp,此结论错误；

③,ana随a的增大而增大，，若aV0,则tanaVtan,此结论正确；

④若a+0=9O°,则sina=cos0,此结论正确；

综上，正确的结论为①③④，

故选：C.

9.解：由题意，得

NA=45°,NB=45°.

ZC=180°-NA-ZB=90°,

故选：B.

10.解：Vcos(180°+a)=-cosa,

；.cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-返.

2

故选：c.

二.填空题

II.解：Vsin60°=返,

2

，a+15°=60°,

解得，a=45°,

tana=tan45°=1,

故答案为：1.

12.解：在RtZXABC中,sin2=旭,

AB

.,.AC=i4B*sinB=A/2sin40o,

故答案为：wsin40°.

13.解：由题意可得：NDBC=NDEF,

则tan/QEF=tan/DBC=^=1

BD2

故答案为：1.

2

14.解：在RtZ\ABC中，ZC=90°,

COSA=2=^>,

3AB

设AC=2xf则AB=3x,

BC=VAB2-AC2=A^V,

：.BC：AC：AB=后:2：3.

15.解：•.•正五边形ABCDE的内角和为(5-2)X180°=540°

?.ZE=Ax540°=108°,ZBAE=108°

5

又；EA=ED,

.,.NE4O=工X(180°-108°)=36°,

2

；.NBAD=/BAE-NEAD=72°,

故答案为：72°.

三.解答题

=V3^-V3

=3_

T

17.解：：在Rt/XABC中，ZC=90°,

.,.tanA=^>=工.

AC3

,:BC=2,

AC=6.

AC3

'：AB2=AC2+BC2=40,

•-AB-2A/10-

18.解：（1）,在△ABC中，COSA=A,

2

AZA=6O°,

VZB=45°,

AZC=1800-ZB-ZA=75°；

（2）VsinA=^2.=A,

AB5

设BC=4x,AB=5x,

AC~~3x,

/.tanA=区《=&>=A.

AC3x3

28.2解直角三角形及其应用

（满分120分;时间：120分钟）

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

cosA=-

5

1.在AABC中，4C=90。，,AC=6f则AB的长度为（）

A.8B,10c.12D.14

2.在高为1°0米的楼顶测得地面上某目标的俯角为Q,那么楼底到该目标的水平距离是（）

AlOOtanaBlOOcotaclOOsinaDlOOcosa

tarvl=_

3.如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.2米，若一<BC=8,4

A.6.3米B.7.5米c.8米D.6.5米

4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东300方向，距离灯塔印海里的4处，它沿正南方向航

行一段时间后，到达位于灯塔2的南偏东45°方向上的8处，这时，海轮所在的8处与灯塔P的

距离为（）

A.40e海里B.40V3海里C奥海里D.40遍海里

tarul=-

2

5.在直角△ABC中，乙。=90。，BC=lf,下列判断正确的是（）

AC=-

2

A.U=30°B,C.AB=2DAC=2

6.如图，AC=BC=lQcrr9rB=15°,AD_LBC于点D,则40的长为（）

A

BD

A3C77B.4CTTC.5c"D£C"

7.如图，为了测量小河人石的宽度，小明从河边的点％处出发沿着斜坡AB行走260米至坡顶

B处，斜坡AB的坡度为JL2.4,在点B处测得小河对岸建筑物DE顶端点D的俯角"BD=

11°,已知建筑物。石的高度为37.5米，则小河AE的宽度约为（精确到1米，参考数据：sinll»

=0.19cosll^O,98,tanll°=0.2C）（）

A.89米B.73米C.53米D.43米

8.如图，等腰△ABC的底角为30。，底边上的高AD=5,则腰AB、AC的值为（）

A.20B.15D.7.5

9.在中，AD是斜边BC上的高，如果8C=a,4=a,那么40等于（）

A.asin2aB.acos2aCasinacosaDasinatana

10.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在人处

东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（）

A.250B.5OOC.250V3D.500>/3

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

11.小明同学从A地出发沿北偏东30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到c地，则

£ABC=°,

12.在△ABC中，乙4=120°,AB=2,AC=4,贝/小8的值是

13.在RtAABC中，“=Rtz,若tanB=2,a=1,则b=

14.一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含45°角的三角板和一只含30°角的三角板,

D

一

如图放置恰好有一边重合，则又。DCSAOM的值为___

tarvB=-

15.如图，已知4D是等腰AABC底边上的高，且4.”《上有一点七，满足

AE-.CE=2-，l那么tanUDE的值是________.B~DC

16.某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方

米售价为a元，则购买这种草皮至少需要元.

17.如图，水平面上有一个坡度》=1：2的斜坡AB,矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知

DE=2.5]EF=2m,BF=3.5m,则点°离地面的高D"为m.（结果保留根号）

18.如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得UCB=3々FC=60m则河宽A8

约为.m.（用科学计算器计算,

19.如图，设“OC=a,zBOC=0,P为射线℃上一点，PD1Q4于D,PE1°B于E,则

PD

港等于（用46的三角函数表示）°

20.如图，某飞机于空中A处探测得地面目标C此时飞行高度AC=/i米，从飞机上看地面

三、解答题（本题共计6小题，共计60分，）

21.如图，在AABC中，”CB=90。，CD是高，乙4=30。，求证:

22.一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位角是北偏东75°,又航行7海里后，在8

处测得小岛P的方位角是北偏东60°,若小岛周围3•褊里内有暗礁，则该船一直向东航行有

无触礁的危险？

23.某航班在某日凌晨°：4（从甲地（记为不起飞，沿北偏东35°方向出发，以870km/力的

速度直线飞往乙地，但飞机在当日凌晨1：2（左右在B处突然改变航向，沿北偏西71°方向飞到

C处消失，如果此航班在C处发出求救信号，又测得C在幺的北偏西25。方向，求力与求救点C的

sin74"«=sin46"

距离（结果保留整数，参考数据：25,

24.如图，某中心广场灯柱4B被钢缆CD固定，已知CB=5米，且

E

(l)求钢缆CD的长度；

(2)若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且11-0°,则灯的顶端后距离地面多少

米？

JR_V3

25.已知：在四边形ABCD中，£ABC=90°,zC=60,一~2,BC=1+V3,

b

CD=

(1)求tanUBD的值；

(2)求AD的长.

26.某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC,已知BC的长为

12米，它的坡度1=1：百，在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端4的仰角为3岁,测角

仪DE的高为L5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到04米）

(参考数据：5in38°x0.62,cos38°a0.79,tan38°-0.78,V3宓1.73.)

□

□

□

□

□

□

EJ

DC

参考答案

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

B

【解答】

解：在△ABC中，“=90。，、

.AC3

..c°s4=

•,

AB="x6=10

故选B.

2.

【答案】

B

【解答】

•LBAC=a，5C—100m，

AB=BC-cota—lOOcotam

3.

【答案】

B

【解答】

3

tan4=-

解：如图，•••在A4E8中，zABE=90°,BE=L2米，4,

AB=々=苧=1工

tan4i,

•（米）.

又BC=8.4米，

4c=AB+BC=10米

3

taa4="

又；在直角AACD中，zC=90。,4

CD—AC-taaA=10X-=7.5

4（米）

故选：B.

4.

【答案】

A

【解答】

解：过点P作PCUB于点C,

由题意可得出："=30。，zB=45。，”=80（海里），

CP=UP=4。

故2（海里），

PB=黑=40收

则E（海里）.

故选4

5.

【答案】

D

【解答】

.1BC

.___cic八/tan4="tariA=—

在直角△ABC中，“=90,BC=1,2,ac,

AC=等=2=2

tarU1

「•2,

AB=VAC?+BC，=V22+12=Vs,

taa4=；tan30°=?

・.23

••LAh30°，

6.

【答案】

C

【解答】

解：AC=BC,

••=乙BAC=15°，

,•£ACD=LB+LBAC=150+15°=30°，

ADLBC

AD=Uc=ixl0=5cm

22

故选c.

7.

【答案】

B

【解答】

作BH1EA交EA的延长线于H,作DG18H于G,

则四边形DEHG为矩形，

DG=EHGH=DE=37.5

设BH=x米，

斜坡4B的坡度为i=l：2.4,

AH=2.4殊，

由勾股定理得，(24x)2+/=26()2,

解得，4=100,

BH=100米，AH=240米，

BG=BH-G/f=100-37.5=62.5,

tan乙BDG=—

在Rt△BDG中,

CLBG62.5r/cr

DG=---------*—=312.5

则tanz.BDG0.2

4E=312.5-240=72.5«73（米），

8.

【答案】

C

【解答】

解：等腰△ABC的底角为30。，底边上的高AD=5,

••AB=AC=2AD=2xS=10•

故选C.

9.

【答案】

C

【解答】

解：AD=AB-sina=BC-cosa-sina=asinacosa

故选C.

10.

【答案】

c

【解答】

解：；zPAB=90。-60。=30°,zPBC=90。-30°=60,

又^PBC=£PAB+LAPB,

LPAB=£APB=30°

PB=AB

PC=PBsin600=500xy=250V3

在直角APBC中,

故选c

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

11.

【答案】

10

【解答】

由题意知，41=30。，42=40。,

,•iABC=z.2-zl=10°.

故答案为：1°.

12.

【答案】

V2I

【解答】

解：作CD1AB于D,如图，

■LA=i2(r,

,•Z.CAD=60"，

在R%C4。中，4c=4,

rn

sinz.CylD=sin60°=—

•9

CD=4x：=2百

,,，

coszC/4D=cos60°=—

AD=iX4=2

.2

•♦，

••BD=AB+AD=2+2=4，

在RfBDC中，3。=丽丽=，（2助+42=2。

.DCD2目标

.51nB=宝=初=亍

13.

【答案】

2

【解答】

解：在Rt"BC中，

•LC=90°，

A3为斜边.

b=AC•tanB

=a•tanB

=2.

14.

【答案】

3+V3

【解答】

解：作OH1BC于H,如图,

设。，=x,

在RtAOBH中，・.乙OBH=30°,

BH=遍OH=V3x,

在山△0cH中，・.乙OCH=45。,

••CH=OH=x,

BC=(V3+1)A,

D.D__CD=?BC=?(V3+1”

在RtASCO中，33'}

在R"BC中，48=苧①=苧(6+1”

S^OCD=S&BCD-S&OBC=：(V3+l)x-y(\/3+1)%-^(V3+1)%-%=

S40AB=St1ABe—sSBC=1-y(V3+1)X*+l)x—(V3+1)X-X=#2

SAODQAOAB=?=?

故答案为

15.

【答案】

8

9

【解答】

解：作EF140于F,如图,

AABC为等腰三角形，AD为高,

••zB=Z.C，

tanC=U

4DC

设AD=3t,DC=4£,

AC=\IAD2+CD2=5t,

而AE：CE=2：：f

AE=2tf

；EF//CD

△AEFsUCD,

EF_AF_AE"_AF_2t

.而一而一元，即石一7?一短,

AF=UEF=

••，，

FD=AD-AF=^9t

••，

8

ET

5

-=丁

„cbtanrFDE=F*1

在Rt△DEF中，5*

g

tanzjlDE=-

16.

【答案】

150a

【解答】

解：如图，作员4边的高CD,设与BA的延长线交于点D,

D

MC=150°,

乙DAC=30°

CD1BD，AC=30m，

CD=15m9

AB=20m,

11o

S£,ABC=2AB^CD=-x20x15=150m2

••，

每平方米售价a元，

二购买这种草皮的价格为150a元.

故答案为：150a.

17.

【答案】

2V5

【解答】

解：作1BC,垂足为“，且与AB相交于5.

•△DGS=4BHS，LDSG=LBSH，

••△GDS=£SBH，

GS_1

.GD^2

••，

*DG=EF=2m，

••GS=Im，

・•.DS=>Jl2+22=y/5m,BS=BF+F5=3.5+(2.5-l)=5m,

设H5=xm,则BH=2xm,

%2+(2x)2=52,

x=y/5mf

【答案】

37.5

△ABC中，:LB=90°BC=60??!,乙C=32°,

AB=BC-tan32°a60X0.625a37.5m

故答案为37.5.

19.

【答案】

sina

sinj?

【解答】

解：••PD1。4于。，PE1OB于E,

dDO="E°=90。,

PDPE

s・ma=〜­—•smpz?=-

POPO

PD_sina

故答案为:

20.

【答案】

sina

【解答】

sinB=—

解：在直角AABC中，*=a,顺,

AB=^=±

6asma

三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）

21.

【答案】

证明：；CDLAB,LA=30。，

••d）CB=30°9

••BC=2BD，

•乙4=30°，44cB=90°，

••AB=2BC，

,•AB=ABD，

•AB=AD+BD,

AD=3BD.

【解答】

证明：；

CDLAByU=30°,

••LDCB=30°，

••BC=2BD，

••LA=300，乙ACB=90°，

,,AB=2BC，

,•AB=4BD，

AB=AD+BD

AD=3BD.

22.

【答案】

解：如图所示：

由题意可得：41=75°,42=60°,

则㈤B=15°,LPBC=30。，

故UPB=15。，

则AB=PB=7（海里），

PC=*B=3.5

可得:海里＜3.f海里.

则该船一直向东航行有触礁的危险.

【解答】

解：如图所示:

由题意可得：41=75。，42=60°,

则血8=15°,LPBC=30。,

故UPB=15。，

则AB=PB=7（海里）,

PC=\PB=3.5一

可得：2海里＜3」海里.

则该船一直向东航行有触礁的危险.

23.

【答案】

解：过点B作于点

AB=870x^=580(fo?0…"，八

由题意可得：60，，㈤4c=35。+25。=60。,

BD=ABrin6(P=580x?=290VJ(knOAD=\AB=290km

则2-2

LCBA=180。-71。-35。=74°

LC=180°-60°-74°=46°

Sin46°”微

巴_290百_18

正一SC-25

3625^3.

BC=---km

则CD=VBC2-BD2=157157267»4时

CA=CD+AD=774km

【解答】

解：过点B作BDJ.AC于点D,

AB=870x^=580(fcwO…"

由题意可得：60,^AC=350+25°=60°

BD=ABrin60°=580x^=290V3(km)AD=\AB=290km

则2—,2,

LCBA=180°-71°-35°=74°,

zC=180°-60°-74。=46。

sin46°a微

SO_290百_18

正一SC-25

BC=^^-km

则CD=《BC2-BD2=15,157267a484.

CA=CD+AD=774km

24.

【答案】

sin£DCB=—=-

解：（1）在一△DCB中，

设DB=4x,DC=5x,

（4X）2+25=（5/2,

解得I!

CD=-DB=

3米，

（2）如图，过点E作EFJ.AB于点F.

血5=120°,血F=60°

AF=AE-COSZEJ4F=1.6X-=0.8

2（米）,

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■■■315（米）.

142

灯的顶端廊巨离地面M米.

【解答】

sinziJCB=—=i

解：（1）在RtADCB中，DC5,

...设DB=4%,DC=5xf

（4x）2+25=（5x）2,

（2）如图，过点后作EFJ.AB于点£

,£EAB=120°,•.•LEAF=60°，

AF=AE-COSZ£J4F=1.6X-=0.8

2（米），

FB=AF+AD+DB=Q.8+2+-=—

■-315（米）.

142

灯的顶端后距离地面斗米.

25.

【答案】

解：（1）如图，作DELBC于点E.

在RtACDE中，LC=60°,C