太原理工大学2013级矩阵论试题解答(A)_第1页
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第2页共8页（A卷）第5页共8页（A卷）第1页共8页（A卷）考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A）题号一二三四总分得分适用专业：2013级硕士研究生考试日期：2014.1.14时间：120分钟共8页得分一、本题共10小题，每小题3分，满分30分.1-5题为填空题：如果阶矩阵，则的最小多项式.解答如果为阶可逆矩阵，则.解答或者因为，所以，,所以3．已知2阶矩阵，则.解答在中，如果是过原点的平面，是平面上过原点的直线,那么.解答5．已知，则的全部奇异值为.解答所以全部奇异值为6-10题为单项选择题：6．下列矩阵中不是正规矩阵的是（B）.(A)（B）（C）（D）7．如果,则下列多项式中不是的化零多项式的是（C）.(A)的特征多项式（B）的最小多项式（C）的第一个不变因子（D）8．下列矩阵范数中不是算子范数的是（D）.(A)（B）（C）（D）9．已知都是线性空间的子空间，则下列集合不是的子空间的是（B）.(A)(B)(C)(D)10．矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是（A）.(A)的初等因子都是一次的(B)的若当标准型中只有一个若当块(C)的最小多项式是一次的(D)的行列式因子都是一次的得分二、本题共2小题，满分24分.11.（12分）（1）已知,证明是的一个线性子空间，并求的维数及当时的一个基.证明显然,所以,因此.设,那么,所以,所以.设,那么,所以,所以，所以是的一个线性子空间.设,那么，所以，即，所以，当时，的一个基为.在线性空间上定义运算，证明是内积.当时，求使两两正交.证明，，当且仅当，当且仅当,而，所以所以是内积，，，,,所以（12分）（1）证明是上的线性变换当且仅当存在使得对任意的有，并且满足的是唯一的.（1）证明如果，那么，，如果是上的线性变换，取中的简单基，那么对任意的，,于是，令,则.如果对任意的有，,那么有,所以.所以满足的是唯一的.（2）当时，对任意的，定义线性变换,求使得对任意的，有，并求在基下的矩阵.（2）解答，所以,因为，所以所以得分三、本题共2小题，满分26分.13.(10分)(1)设，证明的特征值都是实数，并在实轴上找出三个互不相交的集合，使得每个集合内有且仅有的一个特征值.解答的三个行盖尔圆分别为，，，所以内有且仅有的一个实特征值；的三个列盖尔圆分别为，，，所以内有且仅有的一个实特征值；所以的特征值都是实数.所以的一个实特征值在、一个实特征值在、一个实特征值在设为阶方阵，证明当且仅当存在为列向量使得.证明因为，所以当且仅当，而，所以当且仅当，当且仅当,当且仅当当且仅当.14.（16分）设.（1）求的加号逆,,,,,（2）求使得线性方程组无解的全体向量，并求矛盾线性方程组的极小范数最小二乘解（即最佳逼近解）.解答，所以，.得分本题共2小题，满分20分.（10分）已知.(1)求的Smith标准型.(2)求的Jordan标准型.因为的初等因子为，,所以或者（10分）已知.(1)

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