人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习强化试卷检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习专题强化试卷检测

试卷

一、选择题

1.如图，在边长为5的正方形4BCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD

的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.如图，菱形ABCD中，/BAD=60。，AC与BD交于点。，E为CD延长线上的一点，且

CD=DE,连结8E分别交AC,AD于点F、G,连结0G,则下列结论：①。G=gAB；②与

△EG。全等的三角形共有5个；③$四崛0（^>5”步；④由点A、B、。、E构成的四边形是菱

形.其中正确的是（）

BA

CDE

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④

3.如图，在正方形ABC。中，E,R分别为BC,。。的中点，P为对角线AC上的一

个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（）

B£E

A.ABB.CEC.ACD.AF

4.如图，在平行四边形ABC。中，E、尸是对角线AC上的两点且AE=CF,下列说

法中正确的是（）

①BE=DF；②BEHDF；③④四边形E5F。为平行四边形；

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

5.如图，在矩形ABC。中，把矩形ABC。绕点。旋转，得到矩形FECG,且点E落在

AO上，连接BE，BG,BG交CE于点、H,连接若FH平分DEFG,则下列结

论：

@AE+CH=EH；

②NDEC=2NABE；

③BH=HG；

④Ca=2A8,其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，P为ABCO内一点，过点P分别作A8,的平行线，交ABCD的四边

于E、F、G、H四点，若BHPE面积为6,GPEO面积为4,则△APC的面积为

（）

C.1D.2

7.如图，正方形ABCD中，对角线4：、8。交于点。，折叠正方形纸片，使落在BC

上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕。E分别交AB,4:于点E、G,连结GF,

给出下列结论①NAGD=110.5。；@SAAGO=SAOGO;③四边形AEFG是菱形；④8F=0OF；

⑤如果SAOGF=1，那么正方形ABCD的面积是12+8J5，其中正确的有（）个.

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.如图，矩形ABC。中，AD=5,4B=7,点E为。C上一个动点，把A4DE沿AE

折叠，点D的对应点为康，若。0落在NABC的平分线上时，DE的长为（）

5_5_55_33-

A.一或2B.一或一C.一或一D.一或2

323255

9.如图，的对角线4?,8。交于点0,。上平分/4。。交8。于点

E,N8C0=6O。，A0=2AB,连接。E.下列结论：=AB-BD；②DB平分

NADE；@AB=DE；@5VCD£=SVBOC,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE,连接

r375D.半

5

二、填空题

11.如图，R3ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RMAOP.当P从点D出发运动

至点B停止时，点0的运动路径长为.

12.如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED,正方形对角线交

于点。，连接8,如果AC=4,8=6播，那么BC=.

13.如图，在矩形ABCD中，AD=y/2AB,NBA。的平分线交BC于点E,DHJLAE于点

H,连接8H并延长交CD于点F,连接。E交BF于点。，下列结论：①/AED=/CED；

②0E=0D；（3）BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=NF,其中正确的有.

14.如图，R/AABE中，/8=90°,43=3£,将入486绕点4逆时针旋转45°，得到

AA”。,过。作OCL8E交3E的延长线于点C，连接B”并延长交0c于点尸，连接

DE交BF于点、0.下列结论：①DE平分N”OC；②D0=0E；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤”是8尸的中点，其中正确的是

15.如图，在平行四边形A8CD,AD=2AB,F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段A8

上，连接EF、CF,则下列结论：①N8CD=2/DCF；②EF=CF；③SACDF=S△宙；④NDFE=

3NAEF,一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

16.在A5c中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则OEF的周长为.

17.如图，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB,MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

18.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点0,F,且OP=OF,贝UAF的值为.

19.如图，长方形ABC。中，AD=26,45=12,点。是8c的中点，点尸在AO边

上运动，当VBPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为,

20.在菱形A8CD中，M是AD的中点，AB=4,N是对角线AC上一动点，△DMN的周长

最小是2+2g，则8。的长为.

三、解答题

21.在四边形ABCD中，NA=NB=NC=ND=90，AB=CD10,

BC=AO=8.

(l)P为边BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置(点B落在点E处)

①如图1,当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写

作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时OE=；

②如图2,若点P为BC边的中点，连接CE,则CE与AP有何位置关系？请说明理由；

(2)点Q为射线DC上的一个动点，将AOQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点

D'处，则;

22.在数学的学习中，有很多典型的基本图形.

(1)如图①，ABC中，=90°,AB=AC,直线/经过点A,80,直线/,

CE上直线/,垂足分别为。、E.试说明ABD^CAE；

(2)如图②，A3C中，ZBAC=90°,A8=AC,点。、A、E在同一条直线

上，BD1DF,A£)=3,BD=4.则菱形AEFC面积为.

(3)如图③，分别以ArABC的直角边AC、AB向外作正方形ACOE和正方形

ABFG,连接EG,A"是A8C的高，延长“A交EG于点/,若AB=6,

AC=8,求A/的长度.

23.在ABC。中，以AD为边在A8CO内作等边AADE,连接3E.

(1)如图1,若点E在对角线3。上，过点A作A"_L8。于点〃，S.ZDAB=75°,

AB=R，求的长度；

(2)如图2,若点尸是3E的中点，且过点E作MNCF,分别交AB,

CD于点、M,N,在£)C上取。G=CN,连接CE,EG.求证：

①ACEN/M)EG；

②AENG是等边三角形.

DG

H

24.如图1,在正方形ABC。和正方形8EFG中，点A,8,E在同一条直线上，P是线段

。厂的中点，连接PG,PC.

(1)求证：PGLPC,PG=PC.

简析：由P是线段的中点，DC//CF,不妨延长GP交。C于点M,从而构造出一

对全等的三角形，即三.由全等三角形的性质，易证VCMG是

三角形，进而得出结论；

(2)如图2,将原问题中的正方形A8CO和正方形BEFG换成菱形ABC。和菱形

PC

BEFG,且NABC=NBEE=60。，探究PG与PC的位置关系及一的值，写出你的猜

PC

想并加以证明：

(3)当AB=6,8E=2时，菱形ABC。和菱形BEFG的顶点都按逆时针排列，且

ZABC=Z.BEF=60°.若点A、B、E在一条直线上，如图2,则CP=；若点

A、B、G在一条直线上，如图3,则CP=.

D

25.如图，在平面直角坐标系中，已知口0ABe的顶点A(10,0)、C(2,4),点。是

OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动.

(1)求点B的坐标；

(2)若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平

行四边形时，求t的值；

(3)当aODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

C<­PB

ODAx

26.已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转。(0°<a<90°),得到

线段CE,联结BE、CE、DE.过点B作BF_LDE交线段DE的延长线于F.

(1)如图，当BE=CE时，求旋转角a的度数；

(2)当旋转角a的大小发生变化时，NBE尸的度数是否发生变化?如果变化，请用含。的

代数式表示；如果不变，请求出的度数；

(3)联结AF,求证：DE=42AF-

27.已知：如下图，A5c和BCD中，ZBAC=ZBDC=90''^E为8C的中点，连

接。E、AE.若。CAE,在。C上取一点尸，使得。尸=。£,连接EF交AO于。.

(1)求证：EFIDA.

(2)若BC=4,AD=2瓜求EF的长.

H

28.已知正方形ABC。与正方形(点C、E、F、G按顺时针排列)，是的中点，连接，.

(1)如图1,点E在上，点在的延长线上，

求证：DM=ME,DMl.ME

简析：由是的中点，AD〃EF,不妨延长EM交AD于点N,从而构造出一对全等的三角

形，即岭.由全等三角形性质，易证ADNE是三角形，进而得出结论.

(2)如图2,在0c的延长线上，点在上，(1)中结论是否成立？若成立，请证明你的结

论；若不成立，请说明理由.

(3)当AB=5,CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上,

则DM=;若点E在直线BC上，贝DM=.

29.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AD//BC,连接AC,点P、E分别在AB、CD

上，连接PE,PE与AC交于点F,连接PC,ND=NBAC,ZDAE=ZAEP.

(1)判断四边形PBCE的形状，并说明理由；

(2)求证：CP=AE；

(3)当P为A8的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由.

30.如图，ABC。的对角线4。,3£)相交于点0,/181.406=6。〃,8。=10(7〃,

点P从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向终点O运动，连接P。，并延长交BC

于点。.设点P的运动时间为/秒.

（1）求BQ的长（用含/的代数式表示）；

（2）当四边形A5QP是平行四边形时，求f的值；

32

（3）当f=g时，点。是否在线段AP的垂直平分线上？请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.C

解析：C

【分析】

分别以3为底和以3为腰构造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.

【详解】

①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可，此时三角形为腰为3的等

腰三角形：

②连接AC,在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、

AB两点，连接即可

理由如下：；四边形ABCD为正方形，

AZBAC=ZDAC=45°,

VEF±AC

/.△AEII与△AHF为等腰直角三角形

；.EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=J^4”

故4AEF为底为3的等腰三角形；

③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC

一个点，连接即可，此时三角形为腰为3的等腰三角形；

④连接AC,在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、

DC两点，然后连接A与这两个点即可；

理由如下：与②同理可证EF=3,且EC=FC,

在aDEC和4DFC中，

VAC=AC,ZACE=ZACF,EC=FC

AADEC^ADFC

，AE=AF,

故4AEF为底为3的等腰三角形.

⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可

根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，三角形为底为3的等腰三角形.

故满足条件的所有图形如图所示：

故选C.

【点睛】

本题考查作图——应用与设计作图,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,正方形的性质.明

确等腰三角形的性质是解答本题的关键.

2.A

解析：A

【分析】

由AAS证明aABG且Z\DEG,得出AG=DG,证出0G是4ACD的中位线，得出

OG=-CD=-AB,①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出aABD、ZiBCD是等边

22

三角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形，④正确；由菱形的性

质得得出△ABG^ZXBDG名ZXDEG,由SAS证明△ABGgz^DCO,得出

△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,得出②不正确；证出0G是

△ABD的中位线，得出OG〃AB,OG=-AB,得出△GODSAABD,AABF^AOGF,由相

2

似二角形的性质和面积关系得出S㈣迪彩ODGF=SAABF;③不正确；即可得出结果.

【详解】

•.•四边形A8CD是菱形，

：.AB^BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC±BD,

：./BAG=ZEDG,^ABO^ABCO^ACDO^AAOD,

,:CD=DE,

：.AB=DE,

在ZiABG和aEG中，

ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE,

AB=DE

.♦.△ABG丝ZWEG(AAS),

；.AG=DG,

，0G是ZiACD的中位线，

1I

AOG=-CD^-AB,

22

.•.①正确；

".,AB//CE,AB=DE,

二四边形A8DE是平行四边形，

'：ZBCD=ZBAD=60°,

.♦.△ABD、△SCO是等边三角形，

：.AB=BD=AD,ZODC=60°,

：.OD=AG,四边形A8DE是菱形，

④正确；

.'.AD1BE,

由菱形的性质得：AABG刍丛BDGWADEG,

在AABG和△DC。中，

OD=AG

<ZODC=ZBAG=60°,

AB=DC

.♦.△A8G丝△DC。（SAS）,

"8。丝ZXBC。出△CDO0"。。丝"8G丝ZXBDG也△DEG,

②不正确：

VOB=OD,AG=DG,

；.OG是MBD的中位线，

1

AOG//AB,OG=-AB,

2

.♦.△GODSAABD,AABFSAOGF,

.♦.△GOD的面积=L△AB。的面积，AABF的面积=AOGF的面积的4倍，AF-.OF=2：1,

4

.♦.△AFG的面积=4OGF的面积的2倍，

又♦..△GOD的面积=AAOG的面积=48。6的面积，

•'.S四边彩OOGF=5AA8F；

③不正确；

正确的是①④.

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性

质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

连接DP,当点D,P,E在同一直线上时，由△PCFgZ\PCB可得DP=BP,BP+EP的最小值

为DE长，依据AADFgZXDCE,AF=DE,即可得到8P+EP最小值等于线段AF的长.

【详解】

解：如图，连接DP,

；PC=PC,ZPCD=ZPCB=45°

.•.△PCF^APCB

/.BP=DP

，BP+PE=DP+PE

当点D,P,E在同一直线上时，BP+EP的最小值为DE长，

又：AB=CD,ZADF=ZECD,DF=EC,

.".△ADF^ADCE

，AF=DE,

/.BP+EP最小值等于线段AF的长，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的

关键.

4.D

解析：D

【分析】

先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出。D=OF,得出四边形

BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF,即可判断⑥.

【详解】

①；四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AB=DC,

二ZBAC=ZADC,

在aABE和4DFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

AAABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正确.

②♦.•△ABEgZ\DFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

；.BE〃DF,

故②正确.

③根据已知的条件不能推AB=DE,故③错误.

④连接BD交AC于0,过D作DM_LAC于M,过B作BN_LAC于N,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

；.0E=0F,

四边形BEDF是平行四边形，

故④正确.

⑤,.•BN_LAC,DM±AC,

NBN0=/DM0=90°,

在△BN0和中

ZBN0=ZDM0

,ZB0N=ZD0M

OB=OD

AABNO^ADMO(AAS)

.\BN=DM

VS△AAJD„E=-2xAExDM,S△AJARBE=-2xAExBN

...^sAADE=^sAABE，

故⑤正确.

@VAE=CF,

.•.AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正确.

故答案是D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是

解题的关键.

5.C

解析：C

【分析】

如图，作BM_LEC于M.证明△BEAgZSBEM(AAS),ABMH^AGCH(AAS),利用全等

三角形的性质即可一一判断.

【详解】

解：如图，作BM1EC于M.

VCB=CE,

.••ZCBE=ZCEB,

；AD〃BC,

AZAEB=ZCBE,

.".ZAEB=ZMEB,

VZA=ZBME=90°,BE=BE,

.".△BEA^ABEM(AAS),

；.AE=EM,AB=BM.

VZBMH=ZGCH=90°,ZBHM=ZGHC,BM=AB=CG,

.,•△BMH^AGCH(AAS),

，MH=CH,BH=HG,

；.EH=EM+MH=AE+CH,故®®正确，

VZAEB+ZABE=90°,

.•.2ZAEB+2ZABE=180°,

,.,ZDEC+ZAEC=180",ZAEC=2ZAEB,

AZDEC+2ZAEB=180°,

AZDEC=2ZABE,故②正确，

VFH平分NEFG,

，NEFH=45°,

：NFEH=90°,

；.AB=EF=EH,

VEH>HM=CH,

ACH<AB,故④错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

6.C

解析：c

【分析】

根据平行四边形的性质得到四个平行四边形，且SAAEP=SAAGP,SAPHC=S/\PFC，SAABC=S,^ADC>

利用面积比较的关系即可求出答案.

【详解】

由题意知：四边形BHPE、四边形AEPG、四边形HCFP、四边形GPFD均为平行四边形，

==

SAAEPSAAGP>SAPHC-SAPFC>SAABCSAADC>

又SAABC-SAAEP+S四边彩BHPE+SAPHC-SAAPC①，

SAADC=SAAGP+S四边/GPFD+SAPFC+SAAPC®，

②-①得，0=SntllKBHPE-SW»»GPFD+2S/\APC>

即2SAAPC=6-4=2,

SAAPC=1.

故选：C.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，平行四边形一条对角线将平行四边形的面积平分.

7.B

解析：B

【分析】

①由四边形ABCD是正方形，可得NGAD=/ADO=45。，又由折叠的性质，可求得NADG

的度数，从而求得/AGD；

②证△AEGWZ\FEG得AG=FG,由FG>OG即可得；

③先计算/AGE=NGAD+NADG=67.5。，ZAED=ZAGD-ZEAG=67.5°,从而得至Ij/AGE=

ZAED,易得AE=AG,由AE=FE、AG=FG即可得证；

④设OF=a,先求得NEFG=45°,易得/GFO=45°,在RtZ\OFG中，GF=J^OF=&a,

从而可证得BF=EF=GF=72OF；

2

⑤由SAOGF=1求出a,再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论.

【详解】

解：：四边形ABCD是正方形，

/EAG=NGAD=/ADO=45°,ZAOB=90°,

由折叠的性质可得：ZADG=-ZADO=22.5°,

2

ZAGD=1800-ZGAD-ZADG=112.5°,

故①错误；

由折叠的性质可得：AE=EF,ZAEG=ZFEG,

AE=FE

在4AEG和AFEG中，<Z.AEG=ZFEG,

EG=EG

.".△AEG^AFEG（SAS）,

；.AG=FG,

：在RtZ^GOF中，AG=FG>GO,

••SAAGO>SAOGD>故②错误；

,/ZAGE=ZGAD+ZADG=67.5°,ZAED=ZAGD-ZEAG=67.5°,

.".ZAGE=ZAED,

，AE=AG,

又：AE=FE,AG=FG,

；.AE=EF=GF=AG,

四边形AEFG是菱形，故③正确；

设OF=o,

VAAEG^AFEG,

AZEFG=ZEAG=45°,

又,.,NEFO=90°,

.,•ZGFO=45°,

.•.在Rt/XOFG中，GF=夜。F=J^a,

•.•/EFO=90。，ZEBF=45°,

...在Rt^EBF中，BF=EF=GF=72a>即BF=J^OF,故④正确；

,*,SAOGF=1»

12口n12

・・一OF=1,即一o—1,

22

贝!la2=2,

；BF=EF=&a,且NBFE=90°,

ABE=2a,

又♦.•AE=EF=J^a,

AB=AE+BE=y/2a+2a=（2+五）a,

则正方形ABCD的面积是（2+血尸。2=（6+4夜）x2=12+80，

故⑤正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质

以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

连接BD，，过D，作MN_LAB,交AB于点M,CD于点N,作D，P_LBC交BC于点P,先

利用勾股定理求出MD\再分两种情况利用勾股定理求出DE.

【详解】

如图，连接过。作MNLAB,交AB于点M,CD于点N,作DTLBC交BC于点P

•・•点。的对应点。'落在NA8C的角平分线上，

：.MD'=PD',

设MD'=x,^\PD'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折叠图形可得4O=AO'=5,

X2+(7-X)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RtAEND中，设ED'=a,

①当MD'=3时/M=7-3=4Q'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2,

解得a=—,ERDE--,

22

②当MD'=4时,AM=7-4=3,£W=5-4=1,EN=3-a,

.•./=/+(3-a)2,

解得■，即DE=".

33

故选B.

【点睛】

本题考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解

决本题的关键是依据题意分别表示Rt^AMD'和RtAEND的三边,利用勾股定理解直角三

角形.

9.D

解析：D

【分析】

求得/ADB=90°,即AD_LBD,即可得至ljSoABCD=AD・BD；依据/CDE=60°,ZBDE=

30°,可得NCDB=/BDE,进而得出DB平分/CDE；依据RtABCD中，斜边上的中线DE=

斜边BC的一半，即可得至l」AD=BC=2DE,进而得到AB=DE；依据OE是中位线，即可得

到OE〃CD,因为两平行线间的距离相等，进而得到SACDE=SA"D，再根据0C是△BCD的

中线，可得5△BOC—$△COD,即可得到SACDE=SABOC.

【详解】

VZBCD=60°,四边形ABCD是平行四边形，

AZADC=180°—ZBCD=120°,BC//AD,BC=AD,

VDE平分NADC,

ZCDE=ZCED=60°=ZBCD,

/.△CDE是等边三角形，

.".CE=CD=AD=BC,

；.E是BC的中点，

ADE=BE,

/BDE=ZCED=30°,

.,•ZCDB=90°,即CD_LBD,

，SSBCD=CD・BD=AB・BD,故①正确；

VZCDE=60°,ZBDE=30",

.,•ZADB=30°=ZBDE,

；.DB平分NCDE,故②正确；

「△CDE是等边三角形，

；.DE=CD=AB,故③正确；

•..。是BD的中点，E是BC的中点，

AOE是ACBD的中位线,

•.OE〃CD,••SAOCD-SACDE>

VOC是小BCD的中线，

•'•SABOC=SACOD，

SACDE=SABOC，故正确，

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距

离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用

相关性质与定理是解题的关键.

10.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面积法可求

CH=t5,由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF=2EH=S5.

55

【详解】

解：如图，连接CF,交BE于H,

D

1

5%-------------nc

;在正方形ABCD中,AB=4,E是CD的中点,

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

BE=dBC?+CE?=J16+4=25/5，

:将"CE沿BE翻折至ABFE,

・・・CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=-xBExCH=—xBCxCE,

.“46

••L.II-----,

5

•••EH=^CE1-CH2=J4T=乎，

：CE=DE,FH=CH,

；.DF=2EH=-,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题

的关键.

二、填空题

11.2亚

【解析】

分析：过。点作OELCA于E,OFJ_BC于F,连接CO,如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得到OA=OP,/AOP=90。，则可证明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分NACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=g(AC+CP),然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过。点作OE_LCA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图，

D

•••△AOP为等腰直角三角形,

AOA=OP,ZAOP=90°,

易得四边形OECF为矩形，

ZEOF=90°,CE=CF,

.\ZAOE=ZPOF,

.•.△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，

：AE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

ACE=—(AC+CP),

2

.,.OC=V2(AC+CP),

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1)=2^1,

22

当AC=2,CP=CB=5时，0C=立x(2+5)=2^1,

22

当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长=述-逑=2正.

22

故答案为2夜.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

12.8

【分析】

通过作辅助线使得aCAO附△GB。，证明ACOG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的长.

【详解】

AD

如图，延长CB到点G,使BG=AC.

•根据题意，四边形ABED为正方形，

Z4=Z5=45°,ZEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又•.•三角形BCA为直角三角形，AB为斜边,

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

，N1+N5=N3+N4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOdGBO,

.*.CO=GO=6收，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

三角形COG为等腰直角三角形，

CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案为8.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和

性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键.

13.①②③④

【分析】

①根据角平分线的定义可得NBAE=NDAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得AE=&AB,从而得到然后利用“角角边”证明AABE

和△AMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出/AOE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5°,然后根据等角对等边可得。E=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NE8H=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45Q,然后利用“角边角”证明△8EH和

△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得8H=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出△AB”不是等边三角形，从而得到ABW8H,即得到⑤错误.

【详解】

:在矩形ABC。中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=y/2AB.

,:AD=eAB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V«ZABE=ZAHD=90°,A/\ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

:.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED^—(180°-45°)=67.5°,

2

/CED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正确；

VZAHB=(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(对顶角相等)，

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

"：ZDOH^O0-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,:.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正确；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BEH和△HDF中，,/<BE=DH,.'./\BEH^/\HDF(ASA),:.BH=HF,

NAEB=/HDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(.CD+HE)-CCD-

HE)=2HE,所以④正确；

'：AB^AH,NBAE=45°,，ZVIBH不是等边三角形，:.ABWBH,.•.即A8WHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

14.①②④⑤

【分析】

根据NB=90°,AB=BE,MBE绕点A逆时针旋转45°,得到AAHD,可得ZkABE=AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。，ZHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证/OHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明ADHEWADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③错误；

根据4ABE是等腰直角三角形，川，正，是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,得L)_LAD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

•.,R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

NBAE=NBEA=45°,

又•.•将4ABE绕点A逆时针旋转45°,得到MHD,

.-.△ABESAAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90",

/ADE=NAED,

，/BAD=NBAE+/EAD=45°+45°=90°,

.".AD//BC,

ZADE=ZDEC,

AZAED=ZDEC,

又：DCJ_BC,

AZDCE=ZDHE=90°

由三角形的内角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

：/DAB=NABC=NBCD=90°,

...四边形ABCD是矩形，

.".ZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分ZHDC,

11

/.ZHDO=—ZHDC=—x45°=22.5°,

22

VZBAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=；(180°-ZBAE)=；x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

.".OD=OH,

在AAED中,AE=AD,

ZAED=；(180°-ZEAD)=gx(180°-45°)=67.5°,

...NOHE=NHEO=67.5°,

，OE=OH,

.\OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

NDHE=NDCE

<ZHDE=NCDE,

DE=DE

.,.ADHE^ADCE(AAS),

；.DH=DC,ZHDE=ZCDE=—x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

，/DHF=22.5°,

AZDFH=180o-ZHDF-ZDHF=180o-45<>-22.5,,=112.5°,

「・ZkDHF不是直角三角形，并DHwHF,

即有：CDHHF,所以③不正确；

如图，过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,

・••△ABE是等腰直角三角形，JH1JE,

AJH=JE,

又〈J是BC的中点，H是BF的中点,

/.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

A2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ±AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中点，

:四边形ABCD是矩形，HJXBC,

：.i是BC的中点，

；.H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

15.①②④

【分析】

①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；

②延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明，得

出FE=MF,ZAEF=ZM,进而得出ZECD=ZAEC=90°,从而利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断；

③由/E=MF，得出SVEFC=SVCFM，从而可判断正误：

④设NFEC=X,利用三角形内角和定理分别表示出/DFE和/AEF,从而判断正误.

【详解】

①：点F是AD的中点，

.