上海市2023届高三模拟数学试题（含答案解析）

上海市2023届高三模拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知z=l+i,则忆一2司=.

2.a=(l,2),b=(—=5,t=.

3.双曲线d-'=l的焦点为________.

4

4.不等式一二+―120的解集是________.

x+1x+3

5.若4={丫|y=e*,xeR},8={dy=ln(2_x)},则AB=.

6.〃x)=cos(2x+5)+cosx在[0,兀]的零点为.

7.设g(x)=r(x),则满足g'(x)在R上恒正的“X)是(填写序号)

©/(x)=x4+x2；②〃x)=sinx+2；③〃x)=e*；©/(x)=-ln(l+x).

8.随机变量X的分布列如下列表格所示，其中矶X]为X的数学期望，则

E[X-E[X]]=------------

X12345

P().1a0.20.30.1

9.有五只笔编号1-5,现将其放入编号1-5的笔筒中，且恰有两只笔没有放入与其编号

相同的笔筒中，这样的情况有种.

10.无穷数列{4}的前"项和S,,e{a,a+3,a+5},存在正整数7,使恒成立，

则々=.

11.正方体A5C0-AqGA的边长为1，点分别为0mC边的中点，p是侧面

4DRA上动点，若直线8M与面GPN的交点位于GPN内(包括边界)，则所有满足

要求的点尸构成的图形面积为.

〃x),W<8

12./(x)在R上非严格递增，满足〃x+l)=〃x)+l,g(x)=若存在

符合上述要求的函数及实数看,满足8a+4）=8（%）+1,则〃的取值范围是

二、单选题

13.已知g0,则是的（）条件.

a

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

14.己知两组数据国,々,毛,％,毛和加%%的中位数、方差均相同，则两组数据合

并为一组数据后，（）

A.中位数一定不变，方差可能变大

B.中位数一定不变，方差可能变小

C.中位数可能改变，方差可能变大

D.中位数可能改变，方差可能变小

15.双曲线T的焦点（土，,0）,圆C:（x-c）2+y2=/（r>0,c>0）,则（）

A.存在。，使对于任意『，C与「至少有一个公共点

B.存在。，使对于任意r,C与r至多有两个公共点

C.对于任意『，存在J使C与7至少有两个公共点

D.对于任意「，存在c,使C与r至多有一个公共点

a\b<c\d

16.设看丫=》+），+忖-乂,必丫=*+、-忖7],若正实数a,"c,d满足：■aVccWd,则

bXc<aVd

下列选项一定正确的是（）

A.d>bB.b>c

试卷第2页，共4页

C.b\c>aD.dVc>a

三、解答题

17.函数/（力="+*（。＞0）,且/⑴=e+l.

(1)判断f(x)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明;

(2)^(x)=/(x)-2x,且g(x)在(0,+8)上有零点，求;I的取值范围.

18.正四棱锥P—A88中，AB=2,尸。=3,其中。为底面中心，M为PO上靠近P

的三等分点.

(1)求四面体M-ACP的体积；

(2)是否存在侧棱抬上一点N,使面CMN与面A8CD所成角的正切值为正？若存在,

请描述点N的位置；若不存在，请说明理由.

19.高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大

便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段A8、8c代表

山坡，线段C。为一段平地.设图中坡的倾角满足tan^q,匕"后"长

250m,BC长182m,CO长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的(与CO平行)，且端点

改尸分别与A。在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩(不考虑端点F建造桥

墩)

(1)求需要建造的桥墩的个数;

(2)己知高铁轨道的高度为80m,设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为/?(单

位：m),单个桥墩的建造成本为W=0.65〃+5(单位：万元)，求所有桥墩建造成本总

和的最小值.

20.已知点F是抛物线V=4x的焦点，动点尸在抛物线上，设直线/与抛物线交于

E两点(P、D、E均不重合).

⑴若/经过点£|DF|=3,求E点坐标；

(2)若£>F=PE，证明：直线。E过定点；

(3)若NDPF=NDEF且NEDP=NEFP,四边形"V为面积为正,求直线/的方程.

21.数列｛4｝项数为N,我们称P为｛凡｝的“映射焦点”，如果P满足:①2pe｛2,4,…,N｝；

②对于任意〃存在々e[p+l，M，满足《,=%,并将最小的左记作心；

(1)若N=9,判断卬=»-5|时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？

⑵若N>40,4=|log2〃-log26|时，。是映射焦点，证明：。的最大值为4；

(3)若eN*,q*|+p),N=2p=100,%,=5,求

a,+a2++%(»的最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

i.Vio

【分析】根据共扼复数和复数模的定义求解.

【详解】因为z=l+i,所以W=l_i，

所以2-21=1+1-2(1)=-1+31,

所以卜—2司=后^=丽，

故答案为：M.

2.3

【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：之心=lx(-l)+2xf=2/-1=5,解得f=3.

故答案为：3.

3.(土石,0)

【分析】根据双曲线的方程求&b，c,进而可得焦点坐标，注意焦点所在的位置.

【详解】由题意可得：a=l,b=2,c=4^币=5且双曲线的焦点在x轴上，

故双曲线丁-：=1的焦点为卜石,0).

故答案为：卜石,0).

4.{x|-3<x<-2x>-1)

【分析】分别在x>-l,-3<x<-l,》<-3时去分母，化简不等式求其解.

【详解】因为一1+一二20,

所以当x>—1时，x+3+x+lNO,

解得xN-2,所以x>-l,

当一3cx〈一1时，x+3+x+l<0,

解得xf—2,所以一3<%〈一2,

当xv-3时，x+3+x+l>0,

解得xN—2,满足条件的尢不存在，

所以不等式W++ZO的解集是卜卜3<xV—2或X>—1},

答案第1页，共21页

故答案为：{x|-3<xV-2或>>T}.

5.{x|0vxv2}

【分析】根据指、对数函数求集合A3,再结合集合的交集运算求解.

【详解】由题意可得：A={yly=e，,xeR}={)，|y>0},8={x|y=ln(2-x)}={x|x<2},

故Ac8={x|0<xv2}.

故答案为：{x|0<x<2}.

/兀兀5兀

6.一,一,—

626

【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得/(%)=(-2sinx+l)8sx,令/(x)=0结合

x«0,可运算求解.

【详解】由题意可得：

令/(x)=0,则cosx=0或一2sinx+l=0,即cosx=0或sinx=g,

VXG［0,7T］,则工=m或冗=/或冗=子，

266

故"X)在［0,兀］的零点为是片.

■»«y-f.、|兀兀5兀

故答案为：

626

7.①③

【分析】求导，根据题意逐项分析运算.

【详解】对①：/(x)=x4+x2,贝Ijg(x)=f'(x)=4x3+2x,

故/(何=12犬+222>0在R上恒成立，①成立；

对②：/(x)=sinr+2,贝!Jg(x)=—(x)=cosx,

故g'(x)=-sinx40在［2kn,2kn+兀］(&eZ)上恒成立,g'(x)=-sinx>0在

(2也-兀,2阮)仕e2)上恒成立，②不成立；

对③：/(x)=e*,贝ijg(x)=/'(x)=e"

答案第2页，共21页

故g，(x)=e、>0在R上恒成立，③成立;

对④：由l+x>0,解得x>-l,

故〃x)=-ln(l+x)的定义域为(―1,—),

则8(力=/'%)=-3,故8'(力=77^>。在》《(一1，口)上恒成立，④不成立；

\+x(1+町

故答案为：①③.

8.0

【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.

【详解】根据概率的性质可得0.1+。+0.2+0.3+0.1=1解得a=0.3,

所以E[X]=lxO.l+2xO.3+3xO.2+4xO.3+5xO.l=3,

所以E[X_E[X]]=E[X—3]=E[X]_3=0.

故答案为:0.

9.10

【分析】根据题意结合组合数分析运算.

【详解】若恰有两只笔没有放入与其编号相同的笔筒中，则有3只笔放入与其编号相同的笔

筒中，另外两只笔没有放入与其编号相同的笔筒中，

故有C；=10种.

故答案为：10.

10.0或-3或-5

【分析】根据题意结合周期数列分析可得»=弓+%+…+%=0,即0e{a,〃+3,”+5},分类

讨论运算求解.

【详解】由题意可得：2H

假设5学0,则

SnT=4+%+…4"=(4+见+…+%•)+(%-+1+%,+2+…+)+…+["(,1)7+1+a(„-l)T2+'"+a„T

="(4+a2+---+aT^=nST,

可得5“的可能取值不可能仅限三个，假设不成立，

答案第3页，共21页

故S7=q+%■*---F%=0,

BpOe{a,a+3,a+5},则有：

当a=0,则S,7{0,3,5},例如数列3,2,-5,3,2,-5,…，符合题意；

当"3=0,即。=一3,则S〃w{—3,0,2},例如数列一3,5,-2,3,5,-2「一，符合题意；

当a+5=0,即〃=—5,则S〃e{—5,—2,0},例如数列一5,2,3,-5,2,3,…，符合题意；

综上所述：a=0或。=一3或白=一5.

故答案为：。或-3或-5.

3

11.:##0.375

O

【分析】设P（0,a,。）,“涉40』，利用空间向量求交点E的坐标，再根据交点E位于:CPN内

UUUUUU1UUU

（包括边界），则C£=,呜2+吟化见"«0,1],机+“小，求出”力满足的关系式，作出相应区

域，即可得结果.

【详解】如图，以R为坐标原点建立空间直角坐标系，则。。。,（））„118（覃,1）,小,0,；）

，GUUPIT=(-l,aS),IXMHBI=(„,1\

n-C,N=—y+z=0

设平面C/N的法向量为〃=(x,y,z),贝I」有2-

nC}P=-x+ay+bz=0

令)=2,则z=-l,x=2a_/?,即〃=(2〃一/?,2,—1),

设直线与面CfN的交点为E5,%,z0),

UUU/1A

则MB=lxo，%,Z0-5j,

•.•点E在直线8M上，可设跪=入选，

答案第4页，共21页

%=4=4

则%=彳,即

11c

2z=­I—X

I4°n22

umr

故+京J,则C,E=IX-lA,1+jXl,

22

又•.•点E在面GPN上，贝IJ〃r•u彳uir=（2。-刚大-1）+28入）=0,解得2=4G-2Z?+1

4〃一2。+3

4a-2b+l4〃-2〃+14a-2b+2}

故同4a-2b+3y4a-2b+3f4a-2b+3J，

UULT(24。-2Z?+14a—2Z?+2

贝iJ3-

4a-2b+3‘4a-2b+3‘4a-2b+3广

iiuiruiiuruuirni

设GE=mC]N+nC1P=\-n,；'〃+〃〃，+加)，

2

----------二-n

4a-2b+32

n=----------

4。一2b+l14a-26+3

则----------=—m+a几,解得

4a-2b+324a—4b+2

m=-----------

4a-2b+2,4。―2匕+3

-----------=m+bn

4〃一2"3

2

n=----------4'0』4。―26+120

4〃一2"3

2tz-2/?+1>0

4a-4b+2

若点E位于CPN内（包括边界），则m=-e-[--0-,-l--]-,-整-理得<

4〃一2b+3-<b<\

2

4a-4b+4八

tn+n=------------<10<67<1

4"2b+3

4y-2z+l>0

2^-2z+l>0

如图，在面中，即,

—<z<1

2

0<y<l

，G6

万(1,1),/

答案第5页，共21页

3

故点尸构成的图形面积为s=

8

故答案为：|.

O

【点睛】关键点点睛:

（1）根据三点共线：若E在直线上，可设施八温,用4表示点〃的坐标;

（2）根据共面向量：点E位于«PN内（包括边界），则C|E=mGN+"C；P,m,"e[O,l],,"+"Ml.

12.(-4,-2)J(2,4)

【分析】根据题意整理可得：对V〃GN*,则”X+〃)=/(X)+〃，分类讨论x0,Xo+4的取值

范围，分析运算.

【详解】V/(x+l)=/(x)+l,即f(x+l)-f(x)=l

对VnGN*(则

/(x+rt)=[/(x+rt)-/(x+n-l)]+[/(x+rt-l)-/(x+n-2)]+---+[/(x+l)-/(x)]+/(x)

=1+1+…+l+/(x)=〃+/(x),

故对V〃eN*,贝iJ/(x+〃)=/(x)+〃，

:g(为+4)=g&)+l,则有：

L当而4-12时,则与+44-8,

可得/(天+4-。)=/(%-4)+4=/(%—。)+1,不成立；

2.当一12</W—8时，贝lj—8<%+44—4,

可得/(玉)+4)=/(&)+4=/(%一。)+1，则■/■(七—a)=/(与)+3,

若-a=3,解得a=-3,符合题意；

特别的：例如/(x)=k,x«匕左+1)水£Z,则3<—av4,解得

-4<tz<-3；

例如/(%)=后,%£(无水+l],keZ,取玉)£{-11,一10,—9,一8},则2v-a43,解得-4<av—2；

故T<aK-3；

答案第6页，共21页

3.当一8<%<4时，则一4<x()+4<8,

可得，伉+4)=f(%)+4=〃％)+l,不成立;

4.当44玉,<8时，则84%+4<12,

可得了5+4-4)=/(与-a)+4=f(%)+l,则4%)=/(%一。)+3,

若。=3,解得。=3,符合题意；

特别的：例如/(x)=NxeR,A+l)MeZ,取用e{4,5,6,7},则3Wa<4；

例如f(x)=Nxe(&,A:+l],A:eZ,取为"4,5,6,7},贝i]2<a<3；

故34。<4；

5.当％之8时,则与+4212,

可得/(%+4-。)=/(七一。)+4=/(七一”)+1,不成立；

综上所述：a的取值范围是(Y,-2)一(2,4).

故答案为：(T,—2)(2,4).

【点睛】关键点点睛：

(1)对〃x+l)=/(x)+l,结合累加法求得“x+〃)=,f(x)+〃；

(2)对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论为,与+4与±8的大小关系；

(3)对特殊函数的处理，本题可取〃x)=%,xe伙#+1),丘Z和〃x)=A,xe化A+1]次eZ.

13.B

【分析】解不等式，根据充要条件的定义判断即可.

【详解】由可得"―。<0即。(。+1)3-1)<0,

解得4<一1或0<"1,

由工>4可得!一4>0即上互>0,

aaa

所以(1一a)。+>0也即。(〃+1)3—1)v0,

解得a<-1或Ovavl,

所以是，」>a”的充要条件，

a

故选:B.

答案第7页，共21页

14.A

【分析】根据中位数、方差的概念分析运算.

【详解】对于中位数：不妨设%〈与，乂4%4%4%4为

则两组数据为,工2，毛,匕，七和X，%，％，”，%的中位数分别为毛,%，则W=%，

两组数据合并为一组数据后，则中位数为玉产=X3=%，故中位数一定不变；

对于方差：设内«&<%44%的平均数为，方差为I，yvy24y34y5的平均

数为3,方差为s：,

则

1-~2

-1621-\216C-一162]♦/\1三，0一"

茗，4=三2(七一工)=T2/一5%，,=£工弘，4=1Z(y_y)=7-5y

，i=l，i=l，Ii=ly>i=l>f=l，Ii=l)

可得£%=5x,£X.=5卜；+x1Zy=5Xzy；=5(s；+『)，

/=1/=1''/=1/=1')

则两组数据合并为一组数据的平均数W=Ui>+£y］=^（5i+5力审,

*UI,=i/=17102.

方差

S'2]£(看一可2+与3一可木[5俾+元2)+5[；+》2)—1052]

一2-2—2—2、2

2X+V-2X+yx+y一行'

I+----------Z=s：2+------—=s：+

1212I2)

当且仅当输=亍时等号成立,

故方差可能变大，一定不会变小;

故选：A.

15.C

【分析】联立方程可得-2.&+/一/产=o,构建〃x）=/x2-为25+/_//，根

据二次函数讨论/（X）在［c-r,c+r］上的零点分布，并结合对称性分析C与T的交点个数.

r2v2

【详解】设双曲线方程为:十州=1（4>发0）,

答案第8页，共21页

'22

-X----)-厂-11

联立方程/b2,消去y得2/6+/一〃/=0，

(元-c)2+y2=r2

由圆C:(x-c)2+y2=/可知：X的取值范围为[c-八c+r],

242

构建/(x)=c-2-2acx+a-cTr,xe[c-r,c+r],

2

贝1Jf(无)的对称轴x=—<c<c+r,

c

且f(。-广尸尸],」。)。-j=-a2r2<0,/(c+r)=Z>2(r2+2cr+/>2)>0,

F(c-r)<0

当｛a2即，-""幺时/⑺有且只有一个零点为e(c-r,c+r),

c-r>——c

/(c-r)=0

当，a2即「=。-"时f(x)有且只有一个零点x0=c-a.

c-r>——

7(c-r)>0

当Y即0<r<c-a时/(x)无零点.

c-r>——

/(c-r)>0

当，“2即r>c+a时f(x)有且只有两个零点不，与e(c-r,c、+r).

c-r<——

/(c-r)=0

当，tz2即尸=C+。时/(x)有且只有两个零点毛=c+"，XG(c-r,c+r)o

c-r<——

)(c-r)<0

当｛a2即幺<"c+a时有且只有一个零点为e(c-r,c+r).

c-r<——c

注意到当，=c-“，C与7的交点坐标为(c-a,0),当r=c+a时，C与T的交点坐标有

(c+a,0),即会出现交点在对称轴上，结合C与T的对称性可得：

当0<r<c-a时，使C与T没有公共点；

当r=c-a时，使C与r有且仅有一个公共点；

答案第9页，共21页

当c-4<r<c+a时，使C与2■有两个公共点；

当厂=。+。时，使C与T有三个公共点；

当r>c+a时，使C与7有四个公共点.

对A：存在c,使对于任意，使得0<r<c-a,此时C与7没有公共点，A错误；

对B：存在c,使对于任意『，使得rNc+a,此时C与7至少有三个公共点，B错误；

对C：对于任意「，存在。，使得C与？至少有两个公共点，C正确；

对D：对于任意乙存在c,使得r>c-a,C与，至少有两个公共点，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

()联立方程，将方程根的个数转化为函数的零点问题，结合二次函数与零点存在性定理分

析运算；

()注意到C与r均关于x轴对称，可以利用对称性分析交点个数.

16.D

一[a>b[a>b\a<h[a<h

【分析】对新定义进行化简，分别在条件、,，,，’，、'下化简aMccAd,

[c>d[c<d[c<d[c>d

结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.

【详解】因为/尸》+〉+卜一引=[‘'"-),

[2y,x<y

2y,x>y

x^y=x+y-\x-y\=

2x,x<y

abb<cAd

又<cNc<b^d,

办c<dS/d

a+b-\a-b<c+d-\c-d\

所以<a+c+\a-c<h+d+\b-d\9

b+c-\b-c<a+d+一

(1)若aNb,c之d则,不等式a+b—|〃一<c+d—卜一

可化为助〈2d,则匕vd,所以人

①若aNcNd>b,则Q+c+|。一c|<人+4+忸一《可化为avd,矛盾,

答案第10页，共21页

®^c>a>d>b9则0+0+|。-4<人+1+忸一4可化为°〈4,矛盾，

@^c>d>a>b9则〃+0+|。一。|<匕+6/+忸一《可化为°〈4，矛盾，

(2)若aNb,c<d则，不等式〃+b—.<c+t/—卜―

可化为人<。，所以d>c>b,

①若aNd>c>hf则〃+。+|。一。|vb+d+忸一d|可化为a<d，矛盾,

d>a>c>h1则a+c+k—d<人+4+忸一《可化为avd,满足,

b+c—区一c|va+d+|a-d|可化为bvd,满足，

®^d>c>a>b,则a+c+|a—c|vh+d+|"—d|可化为cvd,满足，

力+c—区一c|VQ+d+|a-d|可化为Ovd,满足,

(3)若avb,c<d则，不等式Q+A—,一百VC+d—卜一d|

可化为〃<c,所以d>c>〃

®y^b>d>c>a,则a+c+|q—c|vb+d+M-d|可化为c<Z;,满足，

b+c-\b-(\<a+d+\a-d\'^\^^c<d,满足，

®^d>b>c>a,则a+c+|a—c|<6+4+M一切可化为cvd,满足，

人+(:—|。一d<a+d+|a-d|可化为cvd,满足，

③若d>c>b>a,则a+c+|a-dv匕+〃+|8一"|可化为cvd,满足，

人+。一|。一c|va+d+|a-d|可化为Ovd,满足，

(4)若"Acid则，不等式4+/?—,一4<c+d—卜一d|

可化为。<d,所以cNd>a,

®^b>c>d>a,则a+c+|a-c|<Z?+d+|〃-d|可化为cvh,满足,

人+0-|/?一c|<a+d+|a-d|可化为cvd,矛盾，

@^c>b>d>a,贝!Ja+c+|a-cJ<Z?+d+M—4可化为cv/7,矛盾，

@^c>d>b>a,则a+c+|a—cjv〃+d+|/?-d|可化为c・vd,矛盾，

答案第11页，共21页

综上，b>d>c>a^d>b>c>a^d>c>b>a^d>a>c>h^d>c>a>b,

由知，A错误；

由。知，B错误；

当时，bAc=b+c-\h-c^=b+c-c+b=2hf

取d=7,。=6,c=2,6=1可得，满足条件但〃Ac=2<〃，

C错误；

当/22”>00时:cNc=d-\-c+\d-c\=2d>a,

当d>/?2c>a时，cNc-d-st-c+\d-(\=2d>a

当d>c>Z?>a时，d^c=d+c-{-\d-(\=2d>a,

当d>〃2c>力时、cNc=d+c+\d-(\=2d>a,

当时，cNc=d^-c+\d-(\=2d>a,

故选：D.

【点睛】"新定义''主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义

的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定

是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

17.(1)单调递增，证明见解析；

(2)2>e+l

【分析】(1)由题意解出。的值，再利用单调性的定义证明即可；

(2)转化问题为e、+x-独=0在(0,+向上有解，则之=史+1有解，利用导函数求《+1的

XX

单调性，进而求得取值范围即可.

【详解】(1)由题意可得〃l)=a+l=e+l,解得”=e,所以f(x)=e'+x,

〃x)在R上单调递增，证明如下：

任取芭>x2eR,则/(xj_/(w)=e&+%一炉=e*'―炉+用一天，

因为y=e*在R上单调递增，且用>£,

答案第12页，共21页

所以e*-e*>0，-x2>0,

所以9)>0,即/&)>/(引，

所以/(x)在R上单调递增.

(2)由(1)得g(x)=e*+x-/lx,

g(x)在(0,+8)上有零点，即e'+x-2x=0在(。,+8)上有解，则2=《+1有解，

X

令尸(力=f+1,则尸，(力=犬=£=叫:T)，

XXX

令9(x)>0解得x>l,令F(x)<0解得0<犬<1,

所以尸(x)在(0,1)单调递减，在(1,”)单调递增，

所以F(xL.=F(l)=e+l，没有最大值，

所以4之e+1.

18.(1)|

2

(2)存在侧棱尸B上一点N,使面CWN与面ABCO所成角的正切值为夜，此时=尸或

BN=-BP

1

【分析】(1)连接AC,BD交于点0,过加作MQJ.OP于点Q,根据M位置可得MQ,

以△P4C为底，M。为高可得四面体体积；

(2)以。为坐标原点，OC,OD,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用

坐标法，结合二面角确定点N位置.

如图所示，连接AC,8。交于点。，过M作于点。,

由四棱锥P-"CZ)为正四棱锥，且。为底面中心，

答案第13页，共21页

得AC=BD=26,DO=；BD=&,P01平面ABC。，BD1AC,

：.POLBD,

又「01AC=A,PO,ACu平面PAC,

二8£>1.平面PAC,

又MQJ.PO,则MQ//B。,

因为M为PO上靠近P的三等分点，

则加。=；。。=也，且平面PAC,

111।1BO

所以心•MQ=13AC，O-MQ=nx2应x3xW=“

设平面CMN与平面ABC£）所成角为。，则tan6=>/^，cos0=—，

3

如图所示，以。为坐标原点，0C,OD,0P分别为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,B（0,-夜,0）,C（拒,0,0）,尸（0,0,3）,

因为〃为PD上靠近P的三等分点，

<◎、Inuiuiur(^2\uu.、

则M0,^-,2,且OP=(0,0,3),CM=%,2,8P=(0,应,3),

\/\7

uuaiuuuum(厂、

^B/V=2BP(O<A<1),BN=(0,j2Z32),

则N(O,VIl—0,32),沆=-0,3/1),

设平面CMN的法向量为n^（x,y,z）,

_^X+与y+2z=0

CM-/?=0

则，即

CNn=0-x/2x+(V2/l-V2)y+32z=0

令y=9/1-6,则。=(92-10,94-6,3&T1—40),

又由（1）得尸01平面ABCD,

答案第14页，共21页

LllIU

则平面ABC。的法向量为OP=(O,0,3),

3(3&-4&)

所以cos0=Icos(OP,n

3.“9/1-10)2+(94-6)2+(3&-4A/2)23

解得4=|或又=9，

2

所以存在侧棱PB上一点N，使面CMN与面ABC。所成角的正切值为应，此时BN'BP或

BN=-BP.

7

19.(1)18个

(2)715.625万元

【分析】(1)先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到AC的长，再计算得出AD,结合

每30m放置一个桥墩，

即可求出需要建造的个数.

(2)可设最左边的桥墩到E的距离为x米，为从左往由第〃个桥墩的高度，写出xe[0,18J

和xw(18,30)

对应的桥墩高度4,的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的

最小值即可得

出答案.

752412

【详解】(1)由tan®=Y，lane=；^,可得cos。=—,cos^=—,过点B向AC作垂线，

24122513

垂足为"，则

AM=ABcos8=240,CM=BCcos^=168,AD^AM+CM+CD^540,

故修建桥墩个数为54瑞0=18个.

(2)设最左边的桥墩到E的距离为x米，为从左往由第〃个桥墩的高度，

由生祟竺=13.6,AC之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时，

04x4240+168-13x30=18,当18Vx<30时,AC之间可以建行个桥墩，而篝=需=8,

7

即AM之间可以建8个桥墩，在xw[0/8]时，当14〃W8,a,=80-tan^=80-—x,

答案第15页，共21页

777

a、—80---(.¥+30)%=80----(x+30x2),,•,?a-80----(x+30H—30)；

2492424

当9K=tan^>[168-(x+30H-30-240)]=

80--(438-x-30n);当15V〃<18,4=80；同理写出xe[18,30],

。“表达式总结如下:

①当xe[0,18]时：

7

80—J+3。〃-30),1V〃48

解得a“=’80—j^(438-x-30n),9<n<14

80,15<n<18

求和后得至U的高度总和++

212

30X6X^+14)]+80X4=962.5+1X

②当xw(18,30)时：

7

80--(x+30n-30),l<n<8

■80-^(438-X-30/J),9</7<13

80,14<n<18

求和后得到的高度总和

/J(X)=80X8--[8X+30X^-^-30X8J+80X5--[438x5-5%-

24212

30X5X(^+13)]+80X5=970-^-X

所以当xw[0,18],A(0)mi„=962.5,当xs(18,30),962.5<〃(x)v965.5,

即桥墩高度总和最小为962.5,成本最小值为0.65x962.5+5x18=715.625万元.

【点睛】方法点睛：利用数列求解最值问题一般有三种方法:

（1）数列也是特殊的函数，其定义域为正整数，因此可以利用函数单调性判断数列的单调

答案第16页，共21页

性，从而确定数列的最值.

（2）结合基本不等式求最值，将通项或者前〃项和转化为基本不等式的形式求最值.

（3）利用相邻项比较，判断数列的单调性，求最大值只需要满足，得出最值.

I*。,-

20.⑴士

（2）证明见解析

⑶y=±2&x

【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求点。（2,±2五），进而求得直线/的方程，联立方程

求点E;

（2）由。F=PE整理可得1“一"+“一1,结合韦达定理可得，x=4w2+2n-1,,…一

n,,代入抛物

%=X+M%=4，"

线方程即可得结果；

4y

（3）由题意可得四边形。PFE为平行四边形，结合向量和韦达定理分析可得];°Q,

[2y；

再根据面积可求得％=±&,即可得结果.

【详解】（1）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点尸（1,0）,

设E（芍,3），

f|DF|=x+l=3k=2,厂\

贝心」4；，解得.±2汇即*±2闾，

故直线/的斜率a=±2^~°=±2正，即直线/的方程为y=±2V2（x-l）,

联立方程卜;±2夜GT）,消去y得2X2-5X+2=0,解得X=2或X=1,

/=4x2

即=；，由%=i2&（4-1）=土血，

故E点坐标（!，士

答案第17页，共21页

(2)设直线/：%=阳+〃,£>(%,%),夙毛,%),P®,%),

x=my+n、

{yj]，消去y得y-4吟4〃=0,

则A=(-4〃7y+16〃=16(1+〃)〉o,%+%=4H?,yy2=—4n,

UllIUuu

丁DF=(l-xp-yI),P£=(x2-x0,y2-y0),

^DF=PE，可得［1产々7。，解得,"+5=g+%）+2〃T=4/+2〃」

|-y=>2-%〔%=x+%=4〃？

即P（4苏+2〃-1,4相）在抛物线丁=4》上，则（4加『=4（4源+2〃-1）,解得〃=g,

故直线/：x=/«y+g过定点（g，。］.

（3）设直线/：*=冲+”,。停,总,以"多为，可得

uunC2-2>wnCa

密%v％v2一%,PF=1母v一%

由题意可得：四边形。尸/芯为平行四边形，则/）£=/>尸,

,4

货-犬一邸％+%=%-二

故44,可得/°

,%一%=-%y,y2=-2+—

4"?=%-----

,,0r/曰%4%

由(2)可得J4BP

11

-4w=—2H--n---------

%2%

点尸（1,0）到直线/“-租）」"=0的距离为4=上比

Jl+川

故四边形OPEE的面积为

2

SDpFE=25AD£f=2xlx|DE|xJ=yj]+m|^-y2|x^==1=1%+-!-=0

2，1+6~2X)