2024届广东省广州市荔湾区高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届广东省广州市荔湾区高二数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8042．已知复数，为的共轭复数，则的值为（）A． B． C． D．3．已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附，，）A． B． C． D．4．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．5．函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（）A．两个分类变量关系较强B．两个分类变量关系较弱C．两个分类变量无关系^D．两个分类变量关系难以判断7．函数的值域是A． B． C． D．8．已知函数在处的导数为l，则（）A．1 B． C．3 D．9．直线y=a分别与直线y=2x+2，曲线y=x+lnx交于点A、A．3 B．2 C．32410．已知，则A． B． C． D．11．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(N*)展开式中不含的项的系数和为________.14．若函数为偶函数，则的值为______．15．已知函数，若，则m的取值范围是___________.16．函数在区间的最大值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设（I）若的极小值为1，求实数的值；（II）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.18．（12分）已知四边形是矩形，平面，，点在线段上（不为端点），且满足，其中.（1）若，求直线与平面所成的角的大小；（2）是否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明理由.19．（12分）某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值．（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）①②③评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为，求的分布列与数学期望．20．（12分）设等差数列的前项和为，是等比数列，且，，，，是否存在，使，且？若存在，求的值．若不存在，则说明理由．21．（12分）已知函数当时，求函数在处的切线方程；当时，求函数的最大值。22．（10分）已知函数，(1)若，证明：函数是上的减函数；(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；(3)若，证明：(其中…是自然对数的底数)．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故选C．考点：二项分布的期望与方差．2、D【解题分析】试题分析：,故选D.考点：1.复数的运算；2.复数相关概念.3、C【解题分析】分析：先求出u,,再根据和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,因为，所以.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.4、A【解题分析】

作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【题目详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.5、B【解题分析】

由函数存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，画出与的大致图象，根据使得函数与函数只有唯一一个交点，得到，即可求解.【题目详解】由题意，函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，因为，所以函数与函数唯一交点为，又因为，且，所以，即函数在上单调递减函数，又因为是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，所以可得与函数的大致图象，如图所示，所以要使得函数与函数只有唯一一个焦点，则，因为，则，，所以，解得，又因为，所以实数的范围为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、A【解题分析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在中的比重明显大于中的比重，所以两个分类变量的关系较强.故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.7、A【解题分析】分析：由于函数在上是减函数，且，利用单调性求得函数的值域详解：函数在上是减函数，且，当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故函数的值域为故选点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。8、B【解题分析】

根据导数的定义可得到，，然后把原式等价变形可得结果.【题目详解】因为，且函数在处的导数为l，所以，故选B.【题目点拨】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.9、D【解题分析】试题分析：设A(x1,a),B(x2,a)，则2(x1+1)=x2+lnx2考点：导数的应用.10、C【解题分析】

根据已知求出，再求.【题目详解】因为，故，从而.故选C【题目点拨】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11、B【解题分析】

对复数进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【题目详解】复数，所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.12、D【解题分析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强．考点：线性相关关系的判断．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．【题目详解】要求(n∈N∗)展开式中不含y的项，只需令y=0，(N*)展开式中不含的项的系数和即为展开式的系数和，令x=1得展开式的各项系数和为；故答案为：1.【题目点拨】因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．14、2.【解题分析】分析：因为函数是偶函数，先根据得出第二段函数表达式，然后再计算即可.详解：由题可得：当时，-x>0，故所以=0+2=2，故答案为2.点睛：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题.15、【解题分析】

求导得到，利用均值不等式判断，得到函数单调递增，故，解得答案.【题目详解】，函数在R上单调递增，又，，可得，解得或.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性解不等式，均值不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16、【解题分析】

利用导数，以及二倍角的正弦公式，判断函数的单调性，可得结果【题目详解】由，所以又，所以所以，故在单调递增所以故答案为：【题目点拨】本题考查函数在定区间的最值，关键在于利用导数判断函数的单调性，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）【解题分析】

（I）求出的定义域以及导数，讨论的范围，求出单调区间，再结合的极小值为1，即可求得实数的值；（II）求出的定义域以及导数，利用导数研究最小值的范围，即可求出。【题目详解】（I）①时，，故在上单增，故无极小值。②时，故在上单减，在上单增，故.故（II）当时，由于在上单增，且故唯一存在使得，即故在上单减，在上单增，故又且在上单增，故，即依题意：有解，故，又，故【题目点拨】本题考查已知极值求参数，利用导数研究函数单调区间以及最值，综合性强，属于中档题。18、(1)；(2)不存在满足条件，理由见详解.【解题分析】

(1)建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值得到线面角的正弦值，从而计算出线面角的大小；(2)假设存在满足，根据表示出的坐标，即可求解出的坐标表示，根据、求解出的值.【题目详解】(1)建立空间直角坐标系如图所示：当时，为中点，因为，所以，所以，取平面一个法向量，设直线与平面所成的角的大小为，所以，所以，所以，所以直线与平面所成的角的大小为；(2)设存在满足条件，因为，所以，所以，又因为，当是的公垂线时，所以，所以无解即假设不成立，所以不存在满足条件.【题目点拨】本题考查利用空间向量求解线面角、公垂线问题，难度一般.(1)利用直线的方向向量以及平面的法向量求解线面角时，要注意求出的直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值即为线面角的正弦；(2)公垂线的存在性问题可先假设成立，然后根据垂直关系得到向量的数量积为零，由此判断存在性是否成立.19、(1)不满足至少两个不等式，该生产线需检修;(2)见解析.【解题分析】分析：（1）根据频率分布直方图得出X落在上的概率，从而得出结论；（2）根据题意，的可能值为：0,1,2，分别求出对应的概率即可.详解：（1）由题意知，由频率分布直方图得：不满足至少两个不等式，该生产线需检修．（2）由（1）知：任取一件是次品的概率为：任取两件产品得到次品数的可能值为：0,1,2则的分布列为：012（或）点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，属于中档题.20、存在，．【解题分析】

由已知条件，可求出数列和通项公式，由，化简即可得出的值.【题目详解】由，得，，由，得，由，所以且为等差数列，则是公差，由所以，即得，所以，且.所以．【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列前项和的定义.21、（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）当时，，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；（2）求函数的导数，讨论，，三种情况函数的单调性，得到函数的最大值.【题目详解】解：当时，，，所以切线方程为，即当时，当，，单调递增，此时，当时，当，，单调递减，当，，单调递增，此时,又，所以当时，当时，.当时，当，，单调递减，此时综上，当时，，当时，.【题目点拨】本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当时，根据函数的单调性可知函数的最大值是或，需做差讨论得到和的大小关系.22、（I）详见解析；（II）；（III）详见解析.【解题分析】试题