2024届河北省保定市唐县第一中学数学高二第二学期期末检测试题含解析

2024届河北省保定市唐县第一中学数学高二第二学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．2021年起，新高考科目设置采用“”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论：①样本中的女生更倾向于选历史；②样本中的男生更倾向于选物理；③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6，则他及格的概率为（）A． B． C． D．4．倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），，则的值是（）A． B． C． D．5．随机变量，且，则（）A．64 B．128 C．256 D．326．在极坐标系中,已知点,则过点且平行于极轴的直线的方程是()A．B．C．D．7．已知为虚数单位，若复数的实部为-2，则（）A．5 B． C． D．138．若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（）A．4B．C．2D．9．已知集合，，则集合中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．510．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．11．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A． B． C． D．12．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_______株树木的底部周长大于110.14．在复平面上，复数、分别对应点、，为坐标原点，则______．15．已知幂函数的图象经过点，则实数α的值是_______.16．除以9的余数为_______；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围18．（12分）已知平面直角坐标系xOy，直线l过点P0,3，且倾斜角为α，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若PM-PN=2，求直线19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线，交曲线于两点，求.20．（12分）已知函数．（1）若在为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，函数在的最小值为，求的值域．21．（12分）已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．22．（10分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到的取值范围详解：令，则，令，在单调增，在单调减的取值范围为故选点睛：本题主要考查的是函数的零点问题，解决问题的关键是导数判断函数的单调性，然后通过数形结合的方法得到关于的范围2、B【解题分析】

分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少，【题目详解】由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确，故选：B.【题目点拨】本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别．3、C【解题分析】

由题，得他及格的情况包含答对4题和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得他及格的情况包括答对4题和5题，所以对应的概率.故选：C【题目点拨】本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.4、D【解题分析】

设，则，由抛物线的定义，得，，进而可求BE、AE，最后由可求解.【题目详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E..故选：D【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.5、A【解题分析】

根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【题目详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.【题目点拨】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.6、A【解题分析】

将点化为直角坐标的点，求出过点且平行于轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。【题目详解】因为点的直角坐标为，此点到轴的距离是，则过点且平行于轴的直线的方程是，化为极坐标方程是故选A.【题目点拨】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。7、C【解题分析】分析：利用复数的除法运算得到，进的得到.详解：由题复数的实部为-2，则故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.8、D【解题分析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.9、D【解题分析】由题意得，根据，可得的值可以是：，共有5个值，所以集合中共有5个元素，故选D.考点：集合的概念及集合的表示.10、D【解题分析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【题目详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．【题目点拨】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11、C【解题分析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.12、C【解题分析】

先求出直线和圆相交时的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可．【题目详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，直线方程即为，所以圆心到直线的距离，又直线与圆相交，所以，解得．所以在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选C．【题目点拨】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解题分析】

根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部，求出周长大于110的频率，再根据频数样本容量频率求出对应的频数.【题目详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为，所以底部周长大于110的频数为（株），故答案是：18.【题目点拨】该题考查的是有关频率分布直方图的应用，在解题的过程中，注意小矩形的面积表示的是对应范围内的频率，属于简单题目.14、【解题分析】

由复数、分别对应点,,可得,即可计算.【题目详解】复数、分别对应点,,可得:,故答案为:.【题目点拨】本题考查复平面和数量积,主要考查复数的几何意义.掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键,属于基础题.15、【解题分析】

由幂函数的定义，把代入可求解.【题目详解】点在幂函数的图象上，，，故答案为：【题目点拨】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质:(1)幂函数在上都有定义；(2)幂函数的图象过定点；(3)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；(4)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；(5)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．16、【解题分析】

将变为，利用二项式定理展开可知余数因不含因数的项而产生，从而可知余数为.【题目详解】由题意得：除以的余数为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。【题目详解】(1)由得，∴∴不等式的解集为(2)令则，∴∵存在x使不等式成立，∴【题目点拨】在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。18、（1）直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα（t为参数），圆C【解题分析】

（1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线l的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出α．【题目详解】（1）因为直线l过点P(0,3)，且倾斜角为所以直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα因为圆C的极坐标方程为ρ2所以ρ2所以圆C的普通方程为：x2圆C的标准方程为：(x-1)2（2）直线l的参数方程为x=tcosαy=3+tsinα，代入圆C整理得t2设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则△>0恒成立，t1所以|PM|-|PN|=t1因为0≤α<π，所以α=π4或【题目点拨】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．19、（1），；（2）16【解题分析】

（1）消去参数可得普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）可所作直线的参数方程为，代入抛物线方程，由的几何意义易求得.【题目详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，消去参数可得，曲线的极坐标方程为，即，化为.（2）过点与直线垂直的直线的参数方程为(为参数)，代入，可得，∴，故.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。(1)直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.20、(1).(2).【解题分析】分析：（1）原问题等价于在上恒成立，据此可得实数的取值范围是；（2）由函数的解析式二次求导可得在上是增函数，则存在唯一实数，使得，据此可得的最小值构造函数，讨论可得其值域为.详解：（1）在上恒成立，设则在为增函数，.（2），可得在上是增函数，又，，则存在唯一实数，使得即,则有在上递减；在上递增；故当时，有最小值则的最小值，又，令，求导得，故在上递增，而，故可等价转化为,故求的最小值的值域，可转化为：求在上的值域.易得在上为减函数，则其值域为.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．21、(1)的递增区间为，递减区间为．(2)最大值，最小值．【解题分析】分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区