2024届四川省泸县五中数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2024届四川省泸县五中数学高二第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为第三象限角，，则（）A． B． C． D．2．如图，在三棱锥中，面，是上两个三等分点，记二面角的平面角为，则（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值3．设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）A． B． C． D．4．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．45．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上取三个不同的点，均存在为三边长的三角形，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．如图，已知函数，则它在区间上的图象大致为（）A． B． C． D．7．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升8．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．9．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如图所示是的图象的一段，它的一个解析式是（）A． B．C． D．11．已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是()A．众数为7 B．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为6412．已知集合，集合，则集合的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线的焦点为F，点是抛物线C上的一点满足，则抛物线C的方程为________.14．已知，且，则，中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．15．已知向量满足，则______.16．设为虚数单位，若，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．18．（12分）从某地区随机抽测120名成年女子的血清总蛋白含量（单位：），由测量结果得如图频数分布表：（1）①仔细观察表中数据，算出该样本平均数______；②由表格可以认为，该地区成年女子的血清总蛋白含量Z服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s.经计算，该样本标准差.医学上，Z过高或过低都为异常，Z的正常值范围通常取关于对称的区间，且Z位于该区间的概率为，试用该样本估计该地区血清总蛋白正常值范围.120名成年女人的血清总蛋白含量的频数分布表分组频数f区间中点值x265130867536126982815711065257318252475180016771232107979078156718383合计1208856（2）结合（1）中的正常值范围，若该地区有5名成年女子检测血清总蛋白含量，测得数据分别为83.2，80，73，59.5，77，从中随机抽取2名女子，设血清总蛋白含量不在正常值范围的人数为X，求X的分布列和数学期望.附：若，则.19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线（为参数），曲线（为参数）．(1)设与相交于两点，求；(2)曲线为（为参数），点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．21．（12分）如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.22．（10分）已知命题方程表示双曲线，命题点在圆的内部.若为假命题，也为假命题，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．2、B【解题分析】

将三棱锥放入长方体中，设，，，计算，，则，得到答案.【题目详解】将三棱锥放入长方体中，设，，，如图所示：过作平面与，与，连接，则为二面角的平面角，设为，则，，故.同理可得：设二面角的平面角为，.，当，即时等号成立.故选：.【题目点拨】本题考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力.3、A【解题分析】

利用二项展开式，当时，对应项即为含的项.【题目详解】因为，当时，.【题目点拨】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意，防止出现符号错误.4、C【解题分析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.5、A【解题分析】

由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出结论．【题目详解】易知，所以，在上的最小值为.由题意可知，当，∴或，，故选A.【题目点拨】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．6、D【解题分析】

首先根据函数的奇偶性排除A，根据排除B，再根据时，，故排除C，即可得到答案.【题目详解】因为的定义域为，，所以为奇函数，故排除A.，故排除B.当时，，故排除C.故选：D【题目点拨】本题主要考查根据函数图象选取解析式，熟练掌握函数的奇偶性和利用函数的特值检验为解题的关键，属于中档题.7、B【解题分析】

由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．【题目详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8、A【解题分析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【题目详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【题目点拨】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.9、A【解题分析】

先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.【题目详解】因为复数，其共轭复数为，对应的点是，所以位于第一象限.故选：A【题目点拨】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、D【解题分析】

根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T求ω，图象过（），代入求，即可求函数f（x）的解析式；【题目详解】由图象的最高点，最低点，可得A，周期Tπ，∴．图象过（），∴，可得：，则解析式为ysin（2）故选D．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．11、C【解题分析】

根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数．【题目详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；极差是75﹣57＝18，B错误；中位数是64.5，C正确；平均数为60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D错误．故选C．【题目点拨】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题．12、D【解题分析】

因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有个.【题目详解】由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由在抛物线C上,结合抛物线的定义,即可求抛物线C的方程.【题目详解】当时,,解得,则抛物线C的方程为:;当时,,解得,则抛物线C的方程为:;故答案为:.【题目点拨】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的标准方程,难度较易.14、，均不大于1（或者且）【解题分析】

假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【题目详解】∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【题目点拨】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．15、3【解题分析】

利用平面向量得数量积运算，则，将，带入即可出答案【题目详解】【题目点拨】本题考察平面向量数量积得基本运算16、【解题分析】由，得，则，故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．试题解析：若命题为真命题，则，即整理得，解得4分若命题为真命题，则，解得8分因为命题为假命题，为真命题，所以中一真一假，10分若真假，则;若假真，则，所以实数的取值范围为．12分考点：1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．18、（1）①73.8；②.（2）见解析，【解题分析】

（1）①直接由合计中的得均值；②根据所给数据解不等式即得；（2）5名成年女子中血清总蛋白含量异常的人数有2人，所以X的可能取值为0，1，2.这样可计算出各个概率，得分布列，再个分布列计算期望．【题目详解】（1）①.②，即.（2）依题有5名成年女子中血清总蛋白含量异常的人数有2人，所以X的可能取值为0，1，2.因为，，，所以随机变量X的分布列为：X012P【题目点拨】本题考查正态分布及其应用，超几何分布概率模型，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学建模、数据处理、数学运算等核心素养的关注.19、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20、（1）1；（2）．【解题分析】分析：(1)由题意，，求得直线的普通方程，联立方程组，求得两点的坐标，即可求得的长；(2)根据曲线的方程，设点的坐标是，利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，再利用三角函数的性质，即可求解结果．详解：(1)直线的普通方程为，的普通方程为．联立方程组，解得与的交点为，则．………5分(2)曲线为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最小值，且最小值为．…10分点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，把直线和曲线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．21、（1）（2）开发区域的面积为【解题分析】分析：(1)先根据直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形区域周长的函数解析式;(2)令，化简，再根据三角函数有界性确定t范围，解得最小值，同时求出开发区域的面积.详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以时，取得最小值.此时，，的面积答：开发区域的面