2024届浙江省杭州市杭州二中高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届浙江省杭州市杭州二中高二数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足，则（）A．1 B． C．2 D．32．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2 B．2 C．-1 D．13．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.设随机变量为该射手在次射击中击中目标的次数，若，，则和的值分别为（）A．5， B．5， C．6， D．6，4．已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程是（）A． B．或C． D．或5．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，直线过点，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知，∈C．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（）4681012122.956.1A． B． C． D．无法确定9．设，由不等式，，，…，类比推广到，则()A． B． C． D．10．函数图象的大致形状是（）A． B． C． D．11．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．1212．某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式.14．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为___________.15．展开式中项的系数为__________．16．若指数函数的图象过点，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占.一次购物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顾客数（人）272010结算时间（/人）0.511.522.5（1）确定，的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）从收集的结算时间不超过的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为的概率.（注：将频率视为概率）18．（12分）已知函数.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若,对任意都有恒成立,求实数的取值范围.19．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角为的直线经过焦点，且与抛物线交于两点、.（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若为锐角，作线段的中垂线交轴于点.证明：为定值，并求出该定值.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）21．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.22．（10分）已知函数.（1）当时，若方程的有1个实根，求的值；（2）当时，若在上为增函数，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：利用复数的除法求出，进而得到.详解：由题故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.2、B【解题分析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.3、B【解题分析】

通过二项分布公式及可得答案.【题目详解】根据题意，，因此，，解得，故选B.【题目点拨】本题主要考查二项分布的相关公式，难度不大.4、B【解题分析】

根据题意，有，根据斜率公式求出的值，进而联立组成方程组求出，的值，将其代入双曲线的标准方程即可得出结果.【题目详解】解：根据题意双曲线的焦距为，则双曲线的一个焦点为，则①，双曲线的两条渐近线的夹角为，一条渐近线的斜率为或则或②，联立①、②可得或.则双曲线的标准方程是或.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.5、A【解题分析】

首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.【题目详解】，，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【题目点拨】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.6、A【解题分析】

先得a+3b=1，再与相乘后，用基本不等式即可得出结果.【题目详解】依题意得，，所以，当且仅当时取等号；故选A【题目点拨】本题考查了基本不等式及其应用，熟记基本不等式即可，属于基础题．7、A【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义分析可得答案.【题目详解】显然“”是“”的充分条件，当时，满足，但是不满足，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【题目点拨】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.8、B【解题分析】

求出样本的中心点，计算出，从而求出回归直线方程，个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。【题目详解】由题可得，因为线性回归方程过样本中心点，所以，所以，所以，故个点中落在回归直线上方有，，，共个，所以概率为.故选B.【题目点拨】本题考查线性回归方程和古典概型，解题的关键是求出线性回归方程，属于一般题。9、D【解题分析】由已知中不等式：归纳可得：不等式左边第一项为，第二项为，右边为，故第个不等式为：，故，故选D.【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10、B【解题分析】

利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.【题目详解】，，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.【题目点拨】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.11、C【解题分析】

由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【题目详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.【题目点拨】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．12、A【解题分析】该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【题目详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式.故答案为：.【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】

则,因为平面，所以所在位置均使该三棱锥的高为；而不论在上的那一个位置，均为，所以【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度.15、1【解题分析】分析：根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．详解：展开式中x项的系数：二项式（1+x）5由通项公式当（1﹣x）提供常数项时：r=1，此时x项的系数是=2018，当（1﹣x）提供一个x时：r=0，此时x项的系数是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数为1．故答案为：1．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.16、【解题分析】

设指数函数为，代入点的坐标求出的值，再求的值.【题目详解】设指数函数为，所以.所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，；（2）【解题分析】

（1）由条件可得，从而可求出，的值，再计算顾客一次购物的结算时间的平均值

（2）结算时间不超过的顾客有45人，则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取2人，从结算时间为的人中抽取3人，列举出基本事件数，再列举出至少有1人结算时间为所包含基本事件数，用古典概率可求解.【题目详解】解：（1）由已知得，∴，，∴.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，

所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，

顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，

其估计值为.（2）结算时间不超过共有45人，其中结算时间为的有18人，

结算时间为的有27人，

结算时间为的人数：结算时间为的人数，

则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取人，

从结算时间为的人中抽取人.记抽取结算时间为的2人分别为，，

抽取结算时间为的3人分别为，，，

表示抽取的两人为，，基本事件共有10个：，，，，，，

，，，.记至少有1人结算时间为为事件，包含基本事件共有7个：，，，，，，，∴，故至少有1人结算时间为的概率.【题目点拨】本题考查统计中求平均数和分层抽样以及用古典概率公式计算概率,属于基础题.18、(Ⅰ)(−∞,−5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]【解题分析】

(Ⅰ)由题知当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义能求出不等式的解集．

(Ⅱ)由,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，转化成函数最值问题建立不等关系式，由此能求出a的取值范围．【题目详解】(Ⅰ)∵函数，∴当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义：|x+3|+|x+1|>6可以看作数轴上的点x到点−3和点−1的距离之和大于6，则点x到点−3和点−1的中点O的距离大于3即可，∴点x在−5或其左边及1或其右边，即x<−5或x>1.∴不等式的解集为(−∞,−5)∪（1,+∞).(Ⅱ)∵,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得，，设，根据二次函数性质，，∴，解得，又，∴∴a的取值范围是(0,6].【题目点拨】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.19、（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）为定值，证明见解析.【解题分析】

（1）利用抛物线的定义结合条件，可得出，于是可得出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值，于此可得出抛物线的方程及其准线方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，列出韦达定理，计算出线段的中点的坐标，由此得出直线的方程，并得出点的坐标，计算出和的表达式，可得出，然后利用二倍角公式可计算出为定值，进而证明题中结论成立.【题目详解】（1）由抛物线的定义知，，.将点代入，得，得.抛物线的方程为，准线方程为；（2）设点、，设直线的方程为，由，消去得：，则，，.设直线中垂线的方程为：，令，得：，则点，，.，故为定值.【题目点拨】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，以及直线与抛物线的综合问题，常将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行计算，