《微积分学教程》

《微积分学教程》汇报人：AA2024-01-24绪论极限与连续导数与微分积分学多元函数微积分学无穷级数微分方程初步目录01绪论古代微积分思想的萌芽早在古希腊时期，阿基米德、欧几里得等数学家就开始研究图形的面积和体积，这些研究为后来的微积分学奠定了基础。17世纪微积分学的创立17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学。牛顿从物理学的角度出发，提出了“流数术”（即微分法），而莱布尼茨则从几何学的角度出发，发明了微积分符号，并建立了微积分的基本定理。18-19世纪微积分学的发展18-19世纪，数学家们对微积分学进行了深入的研究和拓展，包括欧拉、拉格朗日、柯西、魏尔斯特拉斯等在内的众多数学家都为微积分学的发展做出了重要贡献。微积分学的历史与发展微积分学的基本思想微分学的基本思想微分学主要研究函数在某一点的局部性质，通过求导数来描述函数在该点的变化率。微分学的基本思想包括极限思想、导数概念和微分中值定理等。积分学的基本思想积分学主要研究函数在一定区间上的整体性质，通过求原函数来描述函数在该区间的累积效应。积分学的基本思想包括定积分概念、积分中值定理和微积分基本定理等。本书共分为三大部分：微分学、积分学和微分方程。其中微分学部分包括极限、连续、导数和微分等内容；积分学部分包括定积分、不定积分、重积分和曲线积分等内容；微分方程部分包括常微分方程和偏微分方程等内容。本书在内容安排上注重系统性、逻辑性和实用性。在介绍基本概念和定理时，力求严谨、准确；在阐述解题方法时，注重思路的启发和方法的多样性；在选取例题和习题时，注重典型性、代表性和难度适中。同时，本书还配备了大量的图表和注解，以帮助读者更好地理解和掌握微积分学的知识。本书的结构与安排02极限与连续极限的定义描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。极限存在的条件左右极限存在且相等。极限的性质唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则等。极限的概念与性质03一致连续与连续的区别与联系一致连续是更强的连续性条件，要求函数在整个区间上都具有“均匀”的连续性。01连续函数的定义函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数值。02连续函数的性质局部有界性、介值性、反函数的连续性等。连续函数的概念与性质求函数的极限值01利用极限的性质和运算法则，可以求出函数在某一点或无穷远处的极限值。判断函数的连续性02通过求函数在某一点的左右极限，可以判断函数在该点是否连续。解决实际问题03在经济学、物理学等领域中，很多问题可以通过建立数学模型，利用极限和连续的理论进行求解。例如，求某个经济指标的增长趋势、求物理量的瞬时变化率等。极限与连续的应用03导数与微分导数的定义导数的概念与性质导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。导数的性质包括可导性、导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。通过导数可以判断函数的单调性，找到函数的极值点。导数与函数单调性、极值的关系微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即函数的微小变化量。微分的定义包括基本初等函数的微分公式、微分的四则运算法则、复合函数的微分法则等。微分的基本公式与运算法则通过微分可以近似计算函数的微小变化量，如误差估计、精度分析等。微分在近似计算中的应用微分法及其应用01高阶导数描述了函数在某一点处的更高阶变化率，反映了函数形状的复杂程度。高阶导数的定义与性质02通过高阶导数可以判断函数的凹凸性，找到函数的拐点。高阶导数与函数凹凸性、拐点的关系03高阶微分是函数在某一点处的更高阶局部线性逼近，可以通过逐次微分得到。高阶微分的定义与计算高阶导数及微分04积分学原函数与不定积分不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数与不定积分之间通过微分和积分互逆。不定积分的性质不定积分具有线性性、可加性和常数倍性质，这些性质使得在求解复杂的不定积分时可以采用分步积分的方法。不定积分的求解方法求解不定积分的方法包括凑微分法、换元法和分部积分法，这些方法的选择取决于被积函数的类型和特点。不定积分的概念与性质定积分的定义定积分具有可加性、保号性、绝对值不等式和估值定理等性质，这些性质为定积分的计算和应用提供了基础。定积分的性质定积分的求解方法求解定积分的方法包括牛顿-莱布尼兹公式、换元法、分部积分法和数值方法等，其中牛顿-莱布尼兹公式是求解定积分的基本方法。定积分是求一个函数在闭区间上的面积或平均值的过程，其结果是一个确定的数值。定积分的概念与性质利用定积分可以求解平面图形和立体图形的面积和体积，如圆的面积、球的体积等。面积与体积物理学中的应用工程学中的应用经济学中的应用积分在物理学中有广泛的应用，如求解物体的质心、转动惯量、引力势能等。在工程学中，积分被用于求解曲线的长度、曲面的面积、流体的流量等问题。在经济学中，积分被用于计算总收益、总成本、消费者剩余和生产者剩余等经济指标。积分的应用05多元函数微积分学设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的定义多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如连续性、可微性、可积性等。同时，多元函数也有一些特殊的性质，如方向导数和梯度等。多元函数的性质多元函数的概念与性质VS设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么此极限值称为函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。全微分的定义如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x,y$有关，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^{frac{1}{2}}$，此时称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。偏导数的定义偏导数与全微分多元函数的积分二重积分的定义：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，将闭区域$D$任意分成$n$个子域$\Delta\sigma_i(i=1,2,…,n)$，并以$\Delta\sigmai$的直径作和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i)$。记$\lambda=\max{\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,…,\Delta\sigma_n}$，如果不论对闭区域D如何划分及点($\xi_i,\etai$)如何选取，只要当$\lambda\to0$时，和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$的极限存在，且极限值与闭区域D的划分及点($\xi_i,\eta_i$)的选取无关，那么称此极限为函数在闭区域上的二重积分。三重积分的定义：设三元函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上具有一阶连续偏导数，将$\Omega$任意分割为$n$个小区域，每个小区域的直径记为$\rho_i(i=1,2,...,n)$，体积记为$\DeltaV_i(i=1,2,...,n)$，在每个小区域内取点$(\xi_i,\eta_i,\zetai)$，作和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cdot\DeltaV_i$，若该和式当各小区域的直径中的最大值趋于零时的极限存在且唯一(即与区域$\Omega$的分割和点的取法无关)，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上的三重积分。06无穷级数无穷多个常数按照一定顺序排列的数列。常数项级数的定义常数项级数前n项和序列的极限存在，则称该级数收敛。收敛性定义包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等，用于判断常数项级数的收敛性。收敛性判别法常数项级数及其收敛性幂级数的定义形如∑an(x-a)ⁿ的级数，其中an为常数，x为自变量，a为常数项。收敛半径与收敛区间幂级数在某一区间内收敛，该区间称为收敛区间，其半径称为收敛半径。幂级数的性质包括和函数的连续性、可微性、可积性等。幂级数及其收敛性函数展开成幂级数及其应用包括近似计算、函数逼近、微分方程求解等。例如，利用幂级数展开式可以近似计算某些复杂函数的值，或者将某些难以求解的微分方程转化为幂级数形式进行求解。幂级数的应用函数在某一点处具有各阶导数，且其泰勒级数在该点处收敛。函数展开成幂级数的条件泰勒级数是将函数展开成幂级数的形式，而麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处的特殊情况。泰勒级数与麦克劳林级数07微分方程初步微分方程的定义含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程的解使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解。微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。微分方程的基本概念一阶微分方程的解法通过变量分离法、常数变易法等方法求解一阶微分方程。一阶微分方程的应用在物理、化学、工程等领域中，一阶微分方程有着广泛的应用，如求解物体的运动规律、化学反应速率等问题。一阶微分方程的形式形如$y'+p(x)y=q(x)$的一阶微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。一阶微分方