计算机控制系统 课件 第3章 Z变换与脉冲传递函数

《计算机控制系统》第3章Z变换与脉冲传递函数2023年5月问题的提出在线性连续系统中，系统用线性微分方程组来描述。而为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性微分方程转换成传递函数模型。其中关键的数学原理是拉普拉斯变换。在计算机控制系统作为线性离散系统或者近似线性离散系统，建立的数学模型是线性差分方程组。同样，为了便于对线性离散系统进行分析与设计，多使用Ｚ变换将线性差分方程转换成脉冲传递函数模型。1计算机控制系统第3章Z变换与脉冲传递函数本课教学目的掌握Z变换的定义，会用Z变换定义求解常用函数的Z变换；掌握Z变换的性质和定理，会应用其求解复杂函数的Z变换；理解Z反变换的定义；掌握脉冲传递函数的推导方法本课重点Z变换的定义、性质及其应用2第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统本课难点Z变换性质和定理的理解，Z反变换求法，脉冲传递函数的推导方法。教学思路对照《自动控制原理》连续系统的相应定理来理解离散系统：

微分方程

差分方程

传递函数

Z传递函数

拉氏变换Z变换

S平面

Z平面3第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统线性连续时间控制系统微分方程代数方程计算机控制系统—线性离散时间控制系统：

差分方程代数方程4第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统Laplace变换Z变换数学模型对比5第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统数学模型连续系统离散系统微分方程差分方程传递函数脉冲传递函数状态空间表达式离散状态空间表达式Continuous-timesystem-------Discrete-timesystemLaplace变换的定义如果有一个时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域是，那么拉氏变换就是如下运算式：

式中的s为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：（1）在时，；（2）在时的任意有限区间内，是分段连续的；（3）6Laplace变换（复习）计算机控制系统象函数原函数如果已知象函数，则拉氏变换的反变换为：式中c为实数，并且大于任意奇点的实数部分。为工程应用方便，常把和的对应关系编成表格—拉氏变换表。7计算机控制系统Laplace变换（复习）应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程进行拉氏变换，使时域的微分方程变换为复数域s的代数变换方程；方程中的初始值应取系统

时的对应值。（2）求解代数变换方程，得到输出变量在复数域s的象函数表达式。（3）将s域的输出象函数表达式展成部分分式。（4）对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程在时域的全解。8第3章Z变换与脉冲传递函数Laplace变换（复习）例题：RC无源网络动态微分方程式为求输入为单位阶跃电压时的时域解。设电容C上的初始电压为解:对网络微分方程式进行拉氏变换，得输入单位阶跃电压为，将其拉氏变换式

代入上式并整理，得电容端电压的拉氏变换式为9计算机控制系统Laplace变换（复习）将输出的象函数展成部分分式：对等式两边进行拉氏反变换，得：10计算机控制系统Laplace变换（复习）第3章Z变换与脉冲传递函数计算机控制系统11第3章Z变换与脉冲传递函数123.1线性离散系统和差分方程3.2Z变换及其性质3.3脉冲传递函数计算机控制系统在线性连续系统中，系统用线性微分方程组来描述。而为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性微分方程转换成（S）传递函数模型。其中关键的数学原理是拉普拉斯变换。相对应的，计算机控制系统作为线性离散系统或者近似线性离散系统，建立的数学模型是线性差分方程组，为了便于对连续系统进行分析与设计，多将线性差分方程转换成脉冲传递函数（Z传递函数），关键的数学原理Z变换。133.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统

在离散系统中，则用差分方程、脉冲（Z）传递函数、单位脉冲响应序列和离散状态空间表达式等方式来描述。如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系，满足比例、叠加原理，那么该系统就称为线性离散系统。若不满足比例、叠加原理，就是非线性离散系统。143.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统离散系统（计算机控制系统）是输入和输出信号均为离散信号的物理系统。在数学上，离散系统可以抽象为一种系统的离散输入信号x(k)

到系统的离散输出信号y(k)之间的数学变换或映射。离散系统y(k)x(k)3.1线性离散系统和差分方程对于线性连续系统，一般用微分方程描述为：并将该连续系统的传递函数定义为初始条件为零时的输出输入的拉普拉斯变换的比值：计算机控制系统3.1.1线性连续系统和线性离散系统153.1线性离散系统和差分方程对于一个单输入单输出线性定常离散系统，在某一个采样时刻的输出值不仅与这一时刻的输入值x(k)有关，而且与过去时刻的输入值，x(k-1)，x(k-2)…有关,该（第一种，后向差分）线性离散系统的差分方程一般式为：第二种形式（前向差分）：称为(n，m)阶差分方程，其中m≤n，是在输入输出的最低阶上统一。计算机控制系统3.1.2线性离散系统和差分方程163.1线性离散系统和差分方程①差分方程的经典解法：差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。②差分方程的迭代解法：如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一时刻的待求值。计算机控制系统3.1.3差分方程的求解173.1线性离散系统和差分方程③利用Z变换求解差分方程：采用Z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似.具体在3.2.4节介绍。3.1.3差分方程的求解计算机控制系统183.1线性离散系统和差分方程例题：连续时间的比例-积分（PI）控制器用微分方程描述为：其中，是控制器的输入信号，是控制器的输出信号，和是控制器的常量增益参数。当采用下图中的采样方式时，根据矩形法则，曲线下方的面积由矩形面积之和近似求得。可以得到：计算机控制系统19T为数值算法的步长。上式为一个一阶线性差分方程。因此，比例-积分（PI）控制器可表示为：线性离散系统输出y(kT)输入x(kT)（1）物理可实现性要求是什么？后向差分：（2）前向与后向差分的关系是什么？前向差分：《计算机控制技术》\\第3章计算机控制系统的描述3.1线性离散系统和差分方程计算机控制系统3.1.4线性离散系统和差分方程总结203.1Z变换和Z反变换f(t)f*(t)f(t)STf*(t)F(s)F*(s)?3.2Z变换及其性质计算机控制系统21223.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义Z变换是拉普拉斯变换的特殊形式，可以从拉氏变换中直接推导出来。在线性离散系统中，对采样信号作拉普拉斯变换，可得到：

令，则：定义函数的Z变换，记为：计算机控制系统（1）定义的理解:

物理意义是什么？表示时间序列的强度z-k表示时间序列出现的时刻，相对时间起点延迟k个周期F(z)既包含幅值信息，又包含时间信息。3.1Z变换和Z反变换3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.1Z变换的定义23（1）定义的理解:

只能表征采样函数的z变换,即

在采样时刻上的特性，而不能表征采样点之间的特性；习惯称F(z)是的z变换。

思考:

与

是否是一一对应关系？

3.1Z变换和Z反变换3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.1Z变换的定义24将序列简记为，则单边Z变换：双边Z变换：253.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义计算机控制系统3.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解:计算机控制系统求函数f（t）的Z变换263.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解计算机控制系统

273.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法例题：解计算机控制系统

283.1Z变换和Z反变换3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质Z变换求法（略）例题：解:计算机控制系统求函数f（t）的Z变换29Z变换求法（略）根据Z变换的定义例题：求单位阶跃函数1(t)的Z变换。解303.2Z变换及其性质3.2.1Z变换的定义symsn;symsz;fn=1;FZ=simple(ztrans(fn,n,z));%%输出disp('FZ=');MATLAB求Z变换计算机控制系统3.2.1Z变换的定义3.2Z变换及其性质计算机控制系统31

323.2Z变换及其性质3.2.1常用函数的Z变换汇总如下表

计算机控制系统333.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质线性

设

，且a,b为常数，则：计算机控制系统343.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：已知序列

，其中

是单位阶跃序列，求该序列的Z变换解：由Z变换的线性性质可得：计算机控制系统3.2.2Z变换的性质3.2Z变换及其性质时移性

计算机控制系统35363.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：试求延迟4个时间单位的单位阶跃函数

的Z变换解：由时移性可知：计算机控制系统时域扩展性对于序列，为不为零的常数,则：3.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统373.2Z变换及其性质Z域尺度变换性对于序列的，Z变换为：有:3.2.2Z变换的性质计算机控制系统383.2Z变换及其性质时域共轭性3.2.2Z变换的性质计算机控制系统39卷积性质对于两个序列:3.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统403.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质计算机控制系统Z域微分性设序列x(n)的Z变换为：41423.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：已知单位阶跃序列

的Z变换为

试求单位斜坡序列

的Z变换解：由Z域微分性质，知：计算机控制系统3.2Z变换及其性质初值与终值定理(1)初值定理已知是因果序列，，当z趋向于无穷大时，若X（z）的极限存在，则：(2)终值定理已知是因果序列，，则：3.2.2Z变换的性质计算机控制系统43443.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的性质例题：对于差分方程

其中

为单位阶跃序列当

时，。求

的初值及终值解：由Z变换理论知：对上述方程进行变化得：根据初值定理，则：根据终值定理，则：计算机控制系统453.2Z变换及其性质3.2.2Z变换的典型性质汇总如下表（均要求掌握）：

计算机控制系统463.2Z变换及其性质3.2.3Z反变换由求解序列的过程称为Z反变换，表示为：Z反变换得到的只是在采样点的时间序列，而不是序列。在进行反变换时，常用的方法有三种：

长除法、部分分式展开法、留数计算法计算机控制系统3.2Z变换及其性质长除法长除法又称为直接除法或者幂级数法，把X(z)展开为的无穷级数的形式，然后逐项求取Z反变换。在确定反变换闭合表达式比较困难的情况下或者只求前几项时，此法效率最高。

项前面的系数值就是时刻的值，上式可以用长除法得到，即：3.2.3Z反变换计算机控制系统47483.2Z变换及其性质例题：求的Z反变换解：

由上式知：所以3.2.3Z反变换计算机控制系统3.2Z变换及其性质部分分式展开法对于给出的变换其形式为：3.2.3Z反变换计算机控制系统49当分母为零时含有共轭复数极点或者重根时，将展开成部分分式，查变换表即可求得。3.2Z变换及其性质部分分式展开法当的分母为零时，如果只有单实极点，且分子在处有一零点，则用除去的两边，然后将展开成部分分式，其形式如下：其反变换为：3.2.3Z反变换计算机控制系统50513.2Z变换及其性质例题：已知

试求反变换:解：

首先将其

展开为部分分式如下：于是我们得到：3.2.3Z反变换所以：计算机控制系统

在

处为单根，在

处为重根，将

部分分式展开：523.2Z变换及其性质例题：已知

试求反变换：解：

3.2.3Z反变换系数

，和分别从以下式子中求得：计算机控制系统533.2Z变换及其性质所以，部分分式展开为：

3.2.3Z反变换由Z变换表可知：计算机控制系统3.2Z变换及其性质留数计算法（略）长除法和部分分式展开两种方法对于超越函数很难处理，留数计算法则对有理分式和非有理分式都适用。留数计算法求取Z反变换的计算公式如下：为的全部的个极点，是极点的重根数。3.2.3Z反变换计算机控制系统54553.2Z变换及其性质例题：已知

，利用留数法求其反变换。解：

由题知，有两个极点分别为

和，根据留数计算法有：3.2.3Z反变换symsz;FZ=z^2/(z-2)/(z-3);fn=iztrans(FZ,z,n);%%输出disp('fn');MATLAB求Z反变换计算机控制系统3.2Z变换及其性质计算机控制系统3.2.3Z反变换56573.2Z变换及其性质例题：已知

利用留数法求其反变换。解：

由题知，有一个单根，一个二重根，根据留数计算法有：3.2.3Z反变换计算机控制系统和用拉普拉斯变换求解连续系统一样，可以用Z变换来求解由差分方程描述的离散系统。在离散系统中，用Z变换来解差分方程，使得求解运算转换成代数运算，大大简化了离散系统的分析过程。其中用到的主要原理是Z变换的时移特性，即：3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程3.2Z变换及其性质计算机控制系统58593.2Z变换及其性质例题：已知差分方程为

，初始条件为

，

求解该方程。解：对方程的两端求Z变换，利用时移性，得:

把代入上式并用部分分式展开得：

化简得:对各项求其Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统603.2Z变换及其性质例题：用Z变换求解差分方程

，初始条件为：解：对方程的两端求Z变换得:

即：把初始条件

代入，则得：对其求Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统613.2Z变换及其性质例题：已知差分方程为

，其中

，

当

时

，当

时，求其反变换。解：对方程的两端求Z变换得:

将初始条件代入，有：取上式的Z反变换，则:3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程计算机控制系统求解差分方程的一般方法可以归结如下：1）对差分方程两端同时取Z变换；2）利用初始条件化简Z变换式；3）将Z变换式改写成如下形式：3.2.4使用Z变换求解离散系统的差分方程3.2Z变换及其性质计算机控制系统623.3脉冲传递函数计算机控制系统633.3.1脉冲传递函数推导脉冲传递函数定义：线性离散系统中，一个系统（或环节）输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，被定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数，或Z传递函数。G(z)输入U(z)输出Y(z)如何建立被控对象的脉冲传递函数模型G(Z)?3.3脉冲传递函数计算机控制系统3.3.1脉冲传递函数推导如何建立被控对象的脉冲传递函数模型G(Z)：

（1）由差分方程求取脉冲传递函数（2）由S传递函数求脉冲传递函数（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数G(z)差分方程单位脉冲响应G(s)3.3脉冲传递函数已知前向差分方程，其形式为：定义该离散系统的传递函数为：初始条件为零时，利用超前定理，系统输出输入序列的Z变换的比值：通常将离散系统的传递函数称为Z传递函数，又叫脉冲传递函数。计算机控制系统65（1）由差分方程求取脉冲传递函数3.3脉冲传递函数计算机控制系统66（1）由差分方程求取脉冲传递函数已知后向差分方程：令对象的初始值为零，利用滞后定理，得到：整理，得：

3.3脉冲传递函数计算机控制系统67（1）由差分方程求取脉冲传递函数前向式：后向式（常用）：3.3脉冲传递函数计算机控制系统68（2）由S传递函数求脉冲传递函数G(s)u(t)y(t)u*(t)如果只考虑采样时刻的y值，可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统69（2）由S传递函数求脉冲传递函数z变换，得：由可以看出这是u和g的离散卷积，即：其中：推导1：因为：所以：3.3脉冲传递函数计算机控制系统70（2）由S传递函数求脉冲传递函数推导2：输出的拉氏变换为：上式两端取星号变换：根据星号变换的周期性，于是即：，其中：G(s)u(t)y(t)u*(t)y*(t)3.3脉冲传递函数计算机控制系统71由G(s)求G(z)，具体有什么手段可以实现?（2）由S传递函数求脉冲传递函数Z变换的部分分式法留数计算法3.3脉冲传递函数计算机控制系统72（2）由S传递函数求脉冲传递函数部分分式法设，将分解成如下形式：其中，为极点，为极点的个数，由于，所以使用范围：适合没有重极点的情况。3.3脉冲传递函数计算机控制系统73（2）由S传递函数求脉冲传递函数于是有：例：已知，求。解：极点可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统74（2）由S传递函数求脉冲传递函数设全部极点已知，则其中：-----不同极点个数

-----的阶数

-----采样周期留数计算法3.3脉冲传递函数计算机控制系统75（2）由S传递函数求脉冲传递函数解：由题可知例：已知，求。代入可得：3.3脉冲传递函数计算机控制系统76（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数当离散系统的输入为单位脉冲时，系统的单位脉冲响应序列为，其对应的z变换为，则：输入测得Z变换3.3脉冲传递函数计算机控制系统77（3）由单位脉冲响应求脉冲传递函数是的幂级数形式，很难写成闭合函数