《函数的单调性》示范公开课教案高中数学北师大

《函数的单调性》示范公开课教案高中数学北师大12024/1/28CATALOGUE目录课程介绍与教学目标函数单调性概念及性质函数单调性判断方法函数单调性应用举例学生自主探究活动设计课堂小结与作业布置22024/1/2801课程介绍与教学目标32024/1/28函数的单调性是高中数学的重要概念之一，对于理解函数的性质、掌握函数图像的变化规律具有重要意义。通过学习函数的单调性，可以培养学生的数学思维能力，提高分析和解决问题的能力。函数的单调性在实际生活中有广泛的应用，如经济学、物理学等领域。课程背景及意义42024/1/28掌握函数单调性的定义和判断方法，能够运用导数等工具判断函数的单调性。知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过实例分析、探究学习等方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。培养学生严谨的数学态度，感受数学之美，增强数学学习的兴趣和信心。030201教学目标与要求52024/1/28本节课选自北师大版高中数学教材，主要内容包括函数单调性的定义、判断方法及其应用。教材注重从实际问题出发，引导学生探究函数的性质。教材分析在遵循教材的基础上，结合学生的认知特点和实际情况，对教学内容进行适当的调整和补充。通过引入实际例子、增加课堂互动等方式，激发学生的学习兴趣和积极性。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高学生的数学素养。处理方法教材分析与处理62024/1/2802函数单调性概念及性质72024/1/28增函数01对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内是增函数。减函数02对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)geqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内是减函数。单调函数03如果函数在其定义域的某个子区间内是增函数或减函数，则称该函数在该区间内具有单调性。函数单调性定义82024/1/28单调区间与单调性判定通过观察和分析函数的图像或解析式，可以确定函数在其定义域内的单调区间。通过求导并判断导数的正负来确定函数的单调性。通过比较函数在相邻两点的函数值差来确定函数的单调性。通过观察函数的图像来判断函数的单调性。单调区间的确定导数法差分法图像法92024/1/28一次函数一次函数$f(x)=ax+b$（$aneq0$）在其定义域内是单调的。当$a>0$时，函数是增函数；当$a<0$时，函数是减函数。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的单调性取决于系数$a$的符号和对称轴的位置。当$a>0$时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数；当$a<0$时，函数在对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。指数函数$f(x)=a^x$（$a>0,aneq1$）的单调性取决于底数$a$的大小。当$a>1$时，函数是增函数；当$0<a<1$时，函数是减函数。对数函数$f(x)=log_ax$（$a>0,aneq1$）的单调性取决于底数$a$的大小。当$a>1$时，函数是增函数；当$0<a<1$时，函数是减函数。二次函数指数函数对数函数常见函数单调性举例102024/1/2803函数单调性判断方法112024/1/28首先求出给定函数的导数$f'(x)$。求导数确定导数$f'(x)$在定义域内的符号，即判断$f'(x)>0$，$f'(x)<0$或$f'(x)=0$。判断导数符号根据导数的符号，确定原函数$f(x)$的单调增区间和单调减区间。确定单调区间导数法判断单调性122024/1/28

图像法判断单调性绘制函数图像通过描点法或利用函数性质绘制出给定函数的图像。观察图像走势通过观察函数图像的走势，判断函数在不同区间内的单调性。确定单调区间根据图像走势，确定函数的单调增区间和单调减区间。132024/1/28分解复合函数将给定的复合函数分解为若干个基本函数，并分析每个基本函数的单调性。利用复合函数单调性法则根据“同增异减”的原则，判断复合函数在定义域内的单调性。即当内外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；当内外层函数单调性相反时，复合函数为减函数。确定单调区间结合每个基本函数的单调区间，确定复合函数的单调增区间和单调减区间。复合函数单调性判断142024/1/2804函数单调性应用举例152024/1/28举例：求函数$f(x)=x^2-2x$在区间$[0,3]$上的最小值。解题思路：首先判断函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性确定函数的最值。解题步骤1.判断函数$f(x)=x^2-2x$在区间$[0,3]$上的单调性。通过求导$f'(x)=2x-2$，可知函数在$(0,1)$上单调递减，在$(1,3)$上单调递增。2.根据单调性，函数在$x=1$处取得最小值，即$f(1)=-1$。利用单调性求最值问题162024/1/28举例解不等式$x^2-2x-3<0$。解题思路将不等式转化为函数的形式，利用函数的单调性求解。利用单调性解决不等式问题172024/1/28解题步骤2.判断函数$f(x)$的单调性。通过求导$f'(x)=2x-2$，可知函数在$(-infty,1)$上单调递减，在$(1,+infty)$上单调递增。1.将不等式$x^2-2x-3<0$转化为函数形式，即$f(x)=x^2-2x-3$。3.根据单调性，解不等式$f(x)<0$，即求解$x^2-2x-3=0$的根，得到$x_1=-1,x_2=3$。因此，不等式的解集为$(-1,3)$。利用单调性解决不等式问题182024/1/28010405060302举例：研究函数$f(x)=frac{1}{x}$的单调性。解题思路：通过求导判断函数的单调性，并研究其性质。解题步骤1.求函数$f(x)=frac{1}{x}$的导数，得到$f'(x)=-frac{1}{x^2}$。2.判断函数的单调性。由于$f'(x)<0$当$xneq0$时，因此函数在其定义域内是单调递减的。3.根据单调性，可以进一步研究函数的性质，如值域、图像等。利用单调性研究函数性质192024/1/2805学生自主探究活动设计202024/1/28分析函数单调性的定义，理解单调递增和单调递减的概念，并能够判断函数的单调性。探究任务学生需要通过对函数图像的观察和分析，理解函数单调性的本质，掌握判断函数单调性的方法。要求说明探究任务布置与要求说明212024/1/28学生分成若干小组，每组选取一个代表函数进行深入研究，探讨其单调性特点，并与其他小组分享交流。每个小组将讨论结果以报告或PPT形式进行展示，包括函数图像、单调性判断和证明过程等。学生分组讨论和成果展示成果展示分组讨论222024/1/28教师针对学生的探究过程和成果进行点评，指出优点和不足，提出改进意见。教师点评教师引导学生对本次探究活动进行总结，归纳函数单调性的判断方法和技巧，加深对函数单调性的理解。同时，鼓励学生将所学知识应用到实际问题中，提高分析问题和解决问题的能力。总结提升教师点评和总结提升232024/1/2806课堂小结与作业布置242024/1/28010204课堂小结回顾本节课内容函数的单调性定义及性质判断函数单调性的方法利用导数判断函数单调性的步骤和注意事项典型例题的解析和讨论03252024/1/28思考题如何利用导数判断复合函数的单调性？拓展题证明函数$f(x)=x+frac{1}