四川省广安、眉山、内江、遂宁2023学年高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=adx-2inx）（a>0）,D=pl若所有点（s,/。）），（sJe。）所构成的平面区域面积为

e?—1,则。=（）

1e

A.eB.-------C.1D.-------

e-2e-2

2.为了得到函数y=sin|2x-?J的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平移?个单位长度B.向右平移7个单位长度

OO

C.向左平移个单位长度D.向右平移3个单位长度

3.数列｛《,｝满足：。“+2+。"=%+1，4=1，%=2,s”为其前”项和，则$2019=（）

A.（）B.1C.3D.4

22

4.设双曲线C：=1（。〉0/>0）的左右焦点分别为£,工，点£（0"）（，>0）.已知动点P在双曲线C的右支

a'b~

上，且点RE,外不共线.若APE"的周长的最小值为48，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）

5.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速1004%/儿现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过90km/h

的频率分别为（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

6.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向

后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知复数二满足*与=2-,•（其中三为z的共物复数），则目的值为（）

1—1

A.1B.2C.73D.V5

8.函数〃力=1—4x+l）.e'的大致图象是（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,123,4}

11.如图，在四边形ABC。中，43=1,BC=3,ZABC=nO°,NACD=90°,ZCZM=60°,则3。的长度

为（）

B.2G

D.逋

3

12.三棱柱ABC-4与G中，底面边长和侧棱长都相等，ZBAA=ZCAA=60°,则异面直线AB】与所成角的

余弦值为()

A百»V6「6n73

A.B.C.D.

3646

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数〃力=5m(5+0)3>0,0<0<2%)满足：①是偶函数；②/(x)的图象关于点(三,01对称.则

同时满足①②的”,<P的一组值可以分别是.

14.在等比数列｛4｝中，a3a4a5=64,%=8,则%=.

15.定义在R上的偶函数/(x)满足/(e+x)=/(e-x),且“0)=0,当xe(0,e］时，/(X)=lnx.已知方程

“X)=；sin停x)在区间［-e,3e］上所有的实数根之和为3ea.将函数g(x)=3sin2(5)+1的图象向右平移.个

单位长度，得到函数〃(x)的图象，则。=，刈8)=.

16.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；

随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量却和。分别

表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则。(6)=，E(薮)-E(5)=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

丫221

17.(12分)已知椭圆C：W+2r=1(。＞人＞0)与X轴负半轴交于4(-2,0),离心率

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：y=丘+m与椭圆C交于〃(％,乂),"(％2，%)两点，连接AMAN并延长交直线x=4于

£(内,%),户(居，必)两点，若一+一=一+一，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,

y%为丫4

请说明理由.

18.(12分)已知函数/(x)=alnx+2的图象在％=1处的切线方程是y=(i-2)x+3一1.

exee

(1)求的值；

(2)若函数g(x)=j^(x),讨论g(x)的单调性与极值；

(3)证明：/(x)＞二.

e

19.(12分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定

当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每

个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：

日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日

元件A个数91512181218992412

日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日

元件4个数12241515151215151524

从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.

(I)求X的分布列与数学期望;

(II)若a,b&N*,且仇a=6,求尸(a<X最大值;

(UD目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少

需要增加几名维修工人？(只需写出结论)

2x白口

20.(12分)已知函数f(x)=xlnx-21nx+3%—5,^(x)=lnx+—~~-+

xr

(1)求证：/(X)在区间(1,40。)上有且仅有一个零点飞,且

(2)若当xNl时，不等式g(x)N0恒成立，求证：a<—,

4

x--+cosa

2

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a为参数).以原点。为极点，x轴

y=——+sin«

2

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

(1)设直线/的极坐标方程为夕=冬7F，若直线/与曲线C交于两点A.B,求A3的长;

7F

(2)设M、N是曲线C上的两点，若NM0N=—,求AOMN面积的最大值.

2

22.(10分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4,且成

绩分布在［0,60］的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取

40()人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中Ac构成以2为公比的等比数列.

(1)求",b,C的值;

(2)填写下面2x2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?

文科生理科生合计

获奖6

不获奖

合计400

(3)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X,

求X的分布列及数学期望.

n(ad-bc)2

其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

依题意，可得/'(x)>0,/(x)在上单调递增，于是可得f(x)在上的值域为[次+2)]〃],继而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【详解】

(2、a(e2x—2)「1

解：fr(x)=a/—=—--------,因为，a>0>

<X)xLe.

所以/'(x)>0,f(x)在-,1上单调递增，

e_

则/(X)在1,1上的值域为[a(e+2),e2q],

因为所有点Gv,/(O)(s,teD)所构成的平面区域面积为e2-l,

所以。-e-2)=

解得a——)

e-2

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到“(02-0-2)(1-3=62-1是关键，考查运算能力，属于中档题.

e

2.D

【解析】

通过变形/(x)=sin(2x-V)=sin2*-自，通过“左加右减唧可得到答案.

【详解】

根据题意f(x)=sin(2x-?j=sin2(x--^),故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移展个单位长度可得到函数y=sin的图象，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

3.D

【解析】

用〃+1去换4+2+q=4用中的n,得4+3+。“+|=4+2，相加即可找到数列｛4｝的周期，再利用

$2019=336s6+q+。2+。3计算.

【详解】

由已知，%+2+a,=an+l①，所以an+3+an+l=an+2②，①+②，得an+3=-an,

从而。“+6=。“，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以$6=0,

S，oi9=336(。]+<2,++。6)+01+。,+。3=。+1+2+1=4.

故选：D.

【点睛】

本题考查周期数列的应用，在求$2019时，先算出一个周期的和即S6,再将$2019表示成336s6+4+4+%即可，本题

是一道中档题.

4.A

【解析】

依题意可得CAPEF,=PE+PF]+EF2-PE+PF2+EFt>2PFt-2a=4b

即可得到2。+4。>2(a+c),从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFi

=PE+PFx+EFx-2a

N2尸耳—2a=4b

2PR=2a+48>2(a+c)

所以28>c

2

贝！14c之一4/>c

所以3c2>4/

所以/==>g

a23

、

所以e＞友，即ew

3

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

5.B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过9()切?/〃的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率为0.06x5=0.3,

...在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的车辆数为：0.3xl(XX)=3(X),

行驶速度超过90km/h的频率为：(0.05+0.02)x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.B

【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.

【详解】

“正面朝南”“正面朝北”分别用“八V”表示,

利用列举法，可得下表，

原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次数为4次.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.

7.D

【解析】

按照复数的运算法则先求出三,再写出］，进而求出忖.

【详解】

1+z(1+022Z.

口—(l-z)(l+z)-5-乙

-|,•c.

---z=2—z=>z'-^z=2—z=>z==—z(2—z)=—1—2z,

1-zi

r.z=-l+2in|z|=J(-1>+22=#>.

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共扼复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

8.A

【解析】

用x<0排除8,C；用x=2排除可得正确答案.

【详解】

解：当x<0时，X2-4jr+l>0,e*>0,

所以〃x)>0,故可排除5,C；

当x=2时，/(2)=-3e2<0,故可排除O.

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数图象，属基础题.

9.D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

1_V11

函数〃x)=ln[Q的定义域为{x|xr±l},当x=5时，/(-)=-ln3<0,排除B和C；

当％=-2时，/(-2)=ln3>0,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.

10.B

【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.

【详解】

集合A={x|log2(x-1)<2},解得A={x[l<x<5},

B=N,

由集合交集运算可得Ac8={x[l<x<5}cN={2,3,4},

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.

11.D

【解析】

设NACB=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=1()-6cosl20。=13,从而求得CO,再由由正弦定理得

--=.二。，求得sina，然后在ABC。中，用余弦定理求解・

sinasin120

【详解】

设NACB=a,在AABC中，由余弦定理得4^=]()_6cosl20°=13,

则AC=JW，从而CD=

由正弦定理得曲-=A。，即sina='g,

sinasin120°2J13

从而85/8。£）=85（90。+1）=-5由1=―=,

'72V13

1349

在ABCD中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3x

3T

则80=拽.

3

故选：D

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12.B

【解析】

设例=c,AB=a，AC=b，根据向量线性运算法则可表示出4线和BQ；分别求解出做・BG和卜丹|,忸(不，

根据向量夹角的求解方法求得cos<A4,8G>,即可得所求角的余弦值.

【详解】

设棱长为1,A4j—c9AB-ci，AC-h

由题意得：a-b=—b-c=-a-c=—

29292

AB、=a+c,BC、=BC+BB1=b—a+c

AB1,BC、=(a+c)•(Z?—a+cj=Q,Z7—ci^+a，c+b♦c—ci,c+c"—~—1H---F1=1

又M=JQ+C1=y]a2+26F-C+C2=△

|BC、|=J(1-a+c)~=J/+/+c2-2〃力+227・c-2a・c=>/2

”AB^BC.1V6

/.cos<AB.,BC>=i——y-j■―4=—j==——

|A闻.国|V66

即异面直线AB,与BC｝所成角的余弦值为：逅

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

371

13.—,一

22

【解析】

根据/(x)是偶函数和/(%)的图象关于点0〕对称，即可求出满足条件的0和9.

【详解】

由/(X)是偶函数及048<2兀，可取。=5，

贝U/(x)=sin(du+]]=coscwx,

由/(x)的图象关于点[W，o]对称，得/=A兀+],keZ,

33

即69=3kH--9Z£Z,可取CO=—.

22

371

故外，。的一组值可以分别是一，一.

22

故答案为：：，—.

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

14.1

【解析】

设等比数列｛4｝的公比为4,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得4=3=*=1即

可.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为4.由44%=64，得(包旷=64,解得q=4.又由%=8，得4="=2.则

=£1=±=1

（72221

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

15.2

【解析】

根据函数"同为偶函数且/(e+x)=/(e-x),所以“X)的周期为2e,〃x)=；sin土龙的实数根是函数

/(x)和函数)='1$足/x的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所

有实数根的和为6e,从而可得参数"的值，最后求出函数〃(x)的解析式，代入求值即可.

【详解】

解:因为/(X)为偶函数且〃e+x)=〃e-x),所以“X)的周期为2e.因为xe(O,e］时，〃x)=lnx,所以可作

出“X)在区间［-e,3e］上的图象，而方程/(x)=1sin的实数根是函数和函数N=；sin^x\的图象

的交点的横坐标，结合函数/(X)和函数y=gsin

在区间［-e,3e］上的简图，可知两个函数的图象在区间

［-e,3e］上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e,所以6e=3ea,故。=2.

371X5

因为g（x）=3sii?%+1——cos——+—,

222

35371工+1■•故6（8）=3cos（44）+』=4.

所以〃（X）=_]cos和-2)+—=—cos

22222

故答案为：2；8

【点睛】

本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

16.20.2

【解析】

分别求出随机变量酊和6的分布列，根据期望和方差公式计算得解.

【详解】

设a,be[l,2,1,4,5},则p=-.其部分布列为：

12145

212j_

P

55555

E(却)=|x(1+2+1+4+5)=1.

D(却)=1x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

。=1.4心-〃的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

P(^2=1.4)=1=§，尸(&=2.3)=£=历，尸($=4.2)=£=历，p(6=5.6)=£=历，可得分布列.

h1.42.34.25.6

2321

pToToTo

…2321

E(。2)=L4x—I-2.3x---F4.2x---1-5.6x—2.3.

5101010

：.E(却)-E(&)=0.2.

故答案为：2,0.2.

【点睛】

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(1)3+]=1(2)直线MN恒过定点(1,0),详见解析

【解析】

(1)依题意由椭圆的简单性质可求出。力，即得椭圆C的方程；

(2)设直线AM的方程为：x=t,y-2,联立直线AM的方程与椭圆方程可求得点M的坐标，同理可求出点N的坐

标，根据M,N的坐标可求出直线MN的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标.

【详解】

「1丫2^.2

(1)由题有。=2,e=-=K；.c=l,.•.〃=/一。2=3..•.椭圆方程为土+21=1.

a243

'x=tAy-l

(2)设直线AM的方程为：x=4〉—2,则/y2=>(3^+4)/-12^=0

---=1

[4----3

Ci_⑵c12%c6r,2-86A-8_⑵，

2=°或"即'.'・％='阴—2=4而-2=诉'同理当=诋，%=可

“6(6、(6)1111

当项=4时，由刍=4%-2有为=厂.工£4,一,同理尸4,—,又一+—=一+一

;(幻(q”

...3彳+4।3片+4/J,J+4)(3秘2+4)/+-

⑵112f266'⑵"26

当乙+/2。0时,柩2=-4直线MN的方程为y-y=2二&（%-为）

J_2r,12Z2

以3^―玄4(苗-8]

-3彳+46f-86K-813^2+4)广岛=4卜-舒J

3彳+431+4

4_46彳81244X4箫+4)

4(1)

2A+/2

4+，26+1?3t；+43彳+44+^2(3r,+4)(z,+r2)

...直线MN恒过定点（1,0）,当：+J=0时，此时也过定点（1,0）“

综上:直线MN恒过定点（1,0）.

【点睛】

本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考

查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.

18.（1）a=l,b=2；（2）g（x）单调递减区间为卜,/],单调递增区间为g，+8）,g（x）的极小值为:，无极大值;

（3）见解析.

【解析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可;

(2)先对g(x)=4\x)求导数，根据导数判断和求解即可.

217x2x

(3)把证明Inx+—>丁(x>0)转化为证明xlnx+—〉二(尤>0),然后证明xlnx+—极小值大于—(x>0)极大

exeeeee

值即可.

【详解】

解：(1)函数/(X)的定义域为(0,+8)

,|/(1)=2=2

/7npp

由已知得/'(幻=一一一7,贝U:解得"=13=2.

xex'，"八b2

Iee

2

(2)由题意得g(x)=x-/(x)=xlnx+-(x>0),则g'(x)=lnx+l.

e

当xe(0,L时，g'(x)<0,所以g(x)单调递减，

e

当xe(L+℃)时，g'(x)>0,所以g(x)单调递增，

e

所以，g(x)单调递减区间为(0」)，单调递增区间为(L”)，

ee

g(x)的极小值为g(3=无极大值.

ee

21

(3)要证InxH---->—(x>0)成立，

exe

RF、一i2x.八、q4

只需证xlnx+—>—(x>0)成立.

eex

令〃(x)=5，则，(x)=L^,

当xe(0,1)时，/(x)>O,/z(x)单调递增，

当xe(l,+o。)时，〃'(x)<0,/?(x)单调递减，

所以〃(x)的极大值为〃⑴，即〃*),,〃⑴=1

e

由(2)知，xe(0,+。。)时，g(x)..gd)=1,且g(x)的最小值点与〃(X)的最大值点不同，所以xlnx+2>三，

eeee

21

BnPnlnx+一>—.

exex

所以，

e

【点睛】

知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论

证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大.

3

19.(I)分布列见解析，E(X)=15；(II)-；(III)至少增加2人.

【解析】

(I)求出X的所有可能取值为9,12,15,18,24,求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可.

(H)当尸(aSX劭)取到最大值时，求出a,b的可能值，然后求解尸(aSX劭)的最大值即可.

(口1)利用前两问的结果，判断至少增加2人.

【详解】

（I）X的取值为：9,12,15,18,24；

357

P（X=9）=mP（X=12）=/P（X=15）=万

23

P（X=18）=-,P（X=24）=->

X的分布列为：

X912151824

35723

P

2020202020

35723

故X的数学期望E(x)=9x—+12x—+15x—+18x—+24x—=15；

2020202020

(II)当P(aWX2)取到最大值由r,

a=9a=12fa=18

〃力的值可能为：，或J或4

/?=15b=18'[b=24.

经计算P(9<X<15)=K，P(12<XK18)=K，P(18WX<24)=^,

153

所以P(aSX@)的最大值为一=：.

204

(ID)至少增加2人.

【点睛】

本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.

20.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)利用求导数，判断了(X)在区间(1,+8)上的单调性，然后再证/(|)"(1)异号，即可证明结论；

(2)当XN1时，不等式g(x)20恒成立，分离参数只需X>1时，a«：(lnx+2)恒成立,

X-1

设〃(x)=£l!”坦(%>1),需。〈必处而“(竺，根据(1)中的结论先求出〃(幻而…再构造函数结合导数法,

x-\4

49

证明〃(X)min<W即可・

【详解】

22

(1)/r(x)=l+lnx——+3=lnx——+4,

xx

1?

令f(x)=m(x),则加(幻=一+-7>0,

xx~

所以m(x)=f\x)在区间(1,+8)上是增函数,

则尸(x)>.1(1)=2,所以/(x)在区间(l,4w)上是增函数.

又因为/［巧］=

\乙J乙乙乙

1171If,,7A

f\—=——In—+—=—1-ln—>n0,

UJ4444(4J

所以/(元)在区间(1,+w)上有且仅有一个零点与，且/e(j

(2)由题意，g(x)=lnx+±~^•+=20在区间［l,+oo)上恒成立,

即(x-1)。4/(mx+2)在区间［1,欣)上恒成立,

当X=1时，<7GR;

W,x2(lnx+2)*一4一

当x>l时，a<-------^恒成立，

x-\

设心)二旦宇

(x>l),

x［(x-2)In%+3%—5］》/(幻

所以"(X)

dp(工一1)2

由(1)可知，于〃€(!■,()使/(加)=0,

所以，当xe(l,附时，h'(x)<0,当xe(〃2,+oo)时，h'(x)>0,

由此〃(x)在区间(1,〃?)上单调递减，在区间(利,+8)上单调递增,

所以h(x)min=h(m)=少(皿〃+2).

m-\

又因为f(m)—(m-2)Inm+37?7—5=0,

5—3/727772

所以In机=....-，从而%(x)min=h(tn)=­：—

m-22-m

所以心盘.令〃(g£r'TI3

-m~+4/7?

则h'(m)=>0,

(2-m)2

f37]

所以〃(附在区间不了上是增函数,

124；

⑺4949

所以/2(〃?)<川f=丁，ttca<h(m)<一.

<4；44

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键,

意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

21.(1)叵；(2)1.

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)”(月,。)，N(/72,6+£)，由(1)通过计算得到S=；月夕2sin]=sin(2e+?,即最大值为1.

【详解】

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为[x-g]=1'

即J+y2_元_6y=0；

再将Y+y2=p2,x=pcos01y=psin。代入上式,

得p2-pcos^->/3/7sin^=0,

故曲线c的极坐标方程为夕=2sin[e+1],