椭圆的简单几何性质

3.1.2椭圆的简单几何性质

知识梳理

一、椭圆的简单几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

yi

zv

图形

A\Fi-or^F2)A2'xBAbO152x

FiI

k

y2x2

标准方程二+二=1(。>b>0)^+—=\(a>h>0)

abab

范围-a<x<a,-b<y<b-b<x<bt-a<y<a

对称性关于x，y轴、原点对称

轴长长轴长：2a；短轴长：2b长轴长：2a；短轴长：2b

顶点(±6z,0)(O,±Z?)（0,±a）（土瓦0）

C1~V

e=—=Jly(0<e<l)e=—=.1--^z-(0<e<1)

a\a\a

离心率

离心率越接近1,则椭圆越扁；离心率越接近0,则椭圆越圆

通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长

通径

通径的大小：—

a

二、点尸（X。，儿）与椭圆的位置关系

焦点在X轴上焦点在y轴上

点P在椭圆内4+2vl(〃>b>0)

abab"

4+4=i（«>^>o）

点P在椭圆上与+誓=1（。＞3＞0）

aba2b2

点P在椭圆外用+与>1（。>8>0）

ah-a~hz

三、直线与椭圆的位置关系

22

1、直线＞'="+机与椭圆会+方=1(。＞6＞0)的位置关系：

y=kx-\-m,

联立X?/।消去)，得一个关于X的一元二次方程.

ILF5

位置关系解的个数△的取值

相交两解A>0

相切—解A=0

相离A<0

2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

(1)得出直线方程,设交点为A6,yJ,矶々,8);

(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；

(3)写出根与系数的关系；

(4)将所求问题或题中关系转化为关于N+电，x内的形式；

(5)代入求解.

四、直线与椭圆相交的弦长公式

1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.

2、求弦长的方法

(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离

公式来求.

(2)根与系数的关系法:

如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦A3两端点坐标分别为8,y),⑴，刈，

则弦长公式为：\AB\=\ll+k2J(石+/『一々iJ(%+%)2-4%%

五、解决椭圆中点弦问题的两种方法：

1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次

方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;

2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差,

22

构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线/（不平行于］，轴）过椭圆方+%=1（。＞人＞0）上

•.必->2%+必2y0一)1一%治:/:.kgkopb2

22

%)-x2x]+x2x}-x22x0%]-x2x0aa

2,2

特殊的：直线/（存在斜率）过椭圆三+%=1（。＞6＞0）上两点A、B，线段A8中点为P（x0，%），

2

则有kAB-kOP=-p-

‘学常考题型

'嬖题型精析

题型一由椭圆方程研究其几何性质

【例1】求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：

（1）x2+9y2=9；（2）4/+2/=16.

【答案】（1）长轴长为6,短轴长为2,离心率为半，

焦点坐标为12&,0）与（2&,0）,顶点坐标为（3,0）,（-3,0）,（0,1）,（0,-1）

（2）长轴长为4a,短轴长为4,离心率为日,

焦点坐标为（0,2）,（0,-2），顶点坐标为（0,2夜）,（0,-2夜）,（2,0）,（-2,0）.

22

【解析】（1）炉+9），2=9整理为：^-+/=1,焦点在x轴上，贝!]〃=3,b=l,c=Ja-b=272,

所以长轴长为2。=6,短轴长为幼=2,离心率£=平,

a3

焦点为卜2a,0）与（2&,0）,顶点坐标为（3,0）,（-3,0）,（0,1）,（0,-1）

（2）4x2+2y2=16,整理为：y+^-=l,焦点在『轴上,

贝!ja=20,b=2,c2=a2-&2=8-4=4,

所以c=2,长轴长为2a=4夜,短轴长为"=4,离心率:亚=等，

焦点为（。，2）,（。，-2）,顶点坐标为（0,20b（0,-2a）,（2,0）,（-2,0）

【变式M]已知椭圆E,焦点/到长轴的两个顶点的距离分别为1和9,则椭圆E的短轴长

等于（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】D

【解析】设椭圆的半长轴为。，半短轴为b,半焦距为c.

由题意可得：，二;，解得：忆.

所以.=五2_/=^5。一不=3.

故椭圆E的短轴长为2%=6.故选：D

【变式1-2】已知椭圆点+方=1（。＞万＞0）的短轴长为8，且一个焦点是圆f+y2-6x+8=0的圆心,

则该椭圆的左顶点为（）

A.（-2,0）B.（TO）C.（-4,0）D,（-5,0）

【答案】D

【解析】圆/+/_6工+8=0的圆心是（3,0）,

2o

所以椭圆点+==1（"八0）的一个焦点是（3,0），即-3,

22

又椭圆点+方=1（〃>8>0）的短轴长为8,即。=4,

所以椭圆的长半轴长为。=>/^77=5,

所以椭圆的左顶点为（-5,0）,故选：D

2222

【变式1-3】若椭圆?+卷=1与椭圆心+"三=1/<9,心0），则两椭圆必定（）.

ND^7NDKK

A.有相等的长轴长B.有相等的焦距

C.有相等的短轴长D.长轴长与焦距之比相等

【答案】B

【解析：椭圆总+卷=1,可知。=5,b=3,c=4,

••长轴长是10,短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是（±4,0）；离心率是：y.

椭圆心+£=1（%<9,%工0）中，

ND—KV—K

q=，25-«,b、=5工,J=4,

4

••长轴长是2后口，短轴长是2月；焦距是8；焦点坐标是（±4,0）漓心率是而才.

2222

••椭圆鼻+看=1与椭圆乏+占=1（%<9,%0）关系为有相等的焦距.故选：B.

NDVZD-Ky~K

题型二由椭圆几何性质求标准方程

［例2］焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程

是（）

>>■>o2）

A.一+—=lB.一+y-=lC.一+v-=ID.x+—=I

43424

【答案】A

【解析】因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2,到左顶点的距离为3

所以”=2M+C=3,即a=2,c=l,

所以b=\/a2-c2=G,

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程是4+4=1.故选：A

43

【变式2-1]焦点在.v轴上，长轴长为10,离心率为|的椭圆的标准方程为()

x2y2n>2Jx2y2x2y2

AA.----1—=1B.----1——1C.—1+—­=1D.—i—=

100641006425161625

【答案】D

【解析】因为长轴长为10,故长半轴长4=5,因为e=£1,所以半焦距c=3,

a5

故力2=/—d=25-9=16,

又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为<+卷=1,故选：D

ZDlo

【变式2-2】求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)长轴在x轴上，长轴长为12,离心率为|；

(2)椭圆过点(3,0),离心率e邛;

(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；

(4)与椭圆9/+4/=36有相同的焦点，且短轴长为2.

【答案】(1)鸟+三=1;(2)《+$=1或区+片=1;(3)—+^=1；(4)x2+^=l.

v7v

L口木/''3620'，9327932166

c2

【解析】(1)由题意,可知2。=12,e=-=3，得。=6,c=4,从而从=」_/=20,

又长轴在X轴上，故所求椭圆的标准方程为:+〈=1.

JoZU

(2)若焦点在x轴上，贝!]〃=3,由，得。=戈,所以6—=3,

a3

此时椭圆的标准方程为9+?=1,

若焦点在y轴上，则。=3,由e==，得/=27,

止匕时椭圆的标准方程为（+1=1，故椭圆的标准方程为1+4=1或（+1=1

22

（3）分析知c=6=4,标=/+/=32,故椭圆的标准方程为2+2=1.

3216

（4）椭圆9f+4y2=36可化为9+卷=1,可知焦点在y轴上，焦点坐标为（。，±&）,

22

故可设所求椭圆的方程为，+疝=is＞匕＞°），

则。=石,又3=2,即匕=1,所以。2=〃+。2=6,

2

贝师求椭圆的标准方程为9+卷=1.

0

【变式2-3］过点（2,1）,焦点在X轴上且与椭圆］+?=।有相同的离心率的椭圆方程为（

A上+J=1x2y2x2y2A+=1

BR+=1rNT-

A.16g-HTC.而+1rlD.与4

【答案】D

【解析】因为所求椭圆与椭圆］+：=l有相同的离心率，

可设所求椭圆的方程为'=几。＞0）,

72I24

又由椭圆过点（2』），代入椭圆的方程，可得?+1=4,解得,

433

2

，24y-1

即所求椭圆的方程为:+，即访+彳）故选：D.

433-

题型三求椭圆离心率的值

【例3】椭圆4+W=l（QO）的离心率为（）

Z.KOK

A.迈B.正C.如D.y

3262

【答案】A

【解析】由题意知椭圆中，a=J或,b=41k,c=＞j6k-2k=2y［k,

故离心率0=£=等=乎.故选：A.

ayj6k3

【变式3-1】已知椭圆捺+彘=1（。＞6＞0）的左右焦点分别,左顶点为A,上顶点为8,点

P为椭圆上一点，且也，眼，若ABHPF、,则椭圆的离心率为（）

A.—B.|C.立D.—

5232

【答案】A

【解析】由题知：小，.），因为A8//PE,

b2

所以旦=2,整理得。=2c,

2ca

所以02=4/=。­，得，e*.古嬷:A

【变式3-2】过椭圆的右焦点巴作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A,8两点，片为椭圆的左焦点,

若KA?为正三角形，则该椭圆的离心率为（）

A.@B.1C.走D.

332

【答案】A

【解析】图所示，易知M用=2同，内用=2c=6"|.

由椭圆的定义可得为=女耳|+|整|=3|整|,

则该椭圆的离心率可=谭＜*.故选：A.

,2

【变式3-3】已知耳，尸2分别为椭圆C:£+方=l（稣b>0）的左、右焦点，过K的直线与C交于P,Q

两点，若归用=2|*=5|加|,则C的离心率是（）

A.立B.走C.旦D.好

5443

【答案】D

【解析】由已知，可根据条件做出下图：

因为附1=2附i=5|耳@,令忸a』,

所以附|=%，俨周=（L由椭圆的定义可知冏|+|P段=2a=5f+|f=*,

449444?4

所以/=百。，所以|叫=铲，归周=铲,\^Q\=—a,\PQ\=\PFt\+\FiQ\^-a+—a^—a,

由椭圆的定义可知|Q用+依闾=2。=研|=II

在尸”中，|。闾叶+|明2,所以“Pg、，

在△尸百人中,陪|=2c,所以|£闾2=闺呼+阀.

所以3/=4c2=：=*ne=£=虫.

99a29a3

所以C的离心率是乎.故选：D.

题型四求椭圆离心率的范围

22

【例4】已知椭圆方+方=1（"匕>0）上存在点P,使得|叫=引叫，其中£,鸟分别为椭圆的

左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A■（叫B.加C.8）D._；/）

【答案】D

【解析】由椭圆的定义得|「制+俨闾=方，又•••归周=3|明，.•.附1=5“,\PF2\=-a,

而|相|-|尸国4忻国=勿,当且仅当点尸在椭圆右顶点时等号成立，

即|"；a42c,即a42c,

C11

则0，4,即六e<l.故选：D.

a22

丫2v2

【变式4-1】已知椭圆C：?+卓=1（a>b>0）,椭圆的左、右焦点分别为「，尸2,P是椭圆C

上的任意一点，且满足砍•Pg>0,则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

【答案】B

【解析】由已知得耳（-60）,D（c,O）,设尸（%,%）,

贝"E=（-C—%,—%）,"=（<:一与,—%）,

因为因，£>0,所以（-C-玉，-%）•«-先，-%）>。,

gp-c2+xj+yj>0,即x；+y；>c2,

因为点P是椭圆上的任意一点，

所以X：+需表示椭圆上的点到原点的距离的平方，

因为（片+虬尸，所以一>，2,所以/—/>/,即f,

所以e=%[o,用，故选：B.

【变式4-2】已知椭圆G：，+/=l（a>6>0）与圆C2：x2+y2=,，若在椭圆G上存在点P,使

得由点P所作的圆C,的两条切线互相垂直，则椭圆C,的离心率的取值范围是（）

【答案】D

【解析】由题意，如图，

若在椭圆a上存在点P,使得由点P所作的圆G的两条切线互相垂直,

2b

则只需NAPBW90°,gpa=ZAPO<45°,sin<z=^<sin45o=^,即财45万,

a2

因为,解得：3a2<8c2.

“尾,即e邛,而0<evl,

o4

.•耳Vecl,即ee悴,1).故选：D.

2222

【变式4-3】设是椭圆G：三+2=l(q>4>0)与双曲线C2吞-£=13>0也>0)的公共焦

点，曲线GC在第一象限内交于点"耳姐=90,若椭圆的离心率qe忤1)，则双曲线的离

心率岭的范围是()

A.(1，忘]B.(1,73]C.[6,+8)D.[V2,+oo)

【答案】A

【解析】由题意可得，|M|+|g|=2《，|M用-1年|=2%，

解得：|峭|=4+%,阿闾=%-%,

22

因为ZF}MF2=90,所以|“用2+\MF^=4c,即a；+a；=2c

、2

亦即-+=2，所以.故选：A.

题型五点与椭圆的位置关系判断

[例5]已知点(3,2)在椭圆工+汇=1(〃?>0,〃>0)上，则点(-3,3)与椭圆的位置关系是_______

mn

【答案】点在椭圆外

【解析】因为点(3,2)在椭圆上,所以2o+34=1,

mn

9Q

又…n>0,所以N+N>1,故点(一3,3)在椭圆外.

mn

故答案为：点在椭圆外.

【变式5-1】点尸(4cosa,2后sina)(aWR)与椭圆C:亍+：=1的位置关系是()

A.点P在椭圆。上B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与a的取值有关

C.点P在椭圆。内D.点P在椭圆。外

【答案】D

【解析】把点PQcosa,Aina)(aWR)代入椭圆方程的左边为

(4c°s”)+(2瓜=4(cos2a+sin2a)-4>1,

43

因此点P在椭圆外.故选:D

22

【变式5-2】点4卬)在椭圆『与=1的外部，则a的取值范围是()

A.1-&■,6)B.夜)u(a,+°o)C.(-2,2)D.(T1)

【答案】B

【解析】因为点斗卬)在椭圆[+q=1的外部，

2.

所以彳+]>1,解得。£(-00,-3)(后,+8),故选：B.

【变式5-3]已知椭圆]+>』经过点P("?),则病+/的取值范围是()

A.(0,1]B.(0,4]C.[4,+oo)D.[1,4]

【答案】D

【解析】因为椭圆。+V=1经过点Mi)，所以%〃%]所以/

444

mil222i3f?l~

贝m-\-n=m----=----+1.

44

因为椭圆—+y2=l经过点P（小〃），所以-2M%M2,即OvW",

4

故疗+〃2的取值范围是[1,4].故选：D.

题型六直线与椭圆的位置关系判断

【例6］设直线y=x+m,椭圆9炉+16y=144.

(1)直线与椭圆有一个公共点，则〃?满足的条件是______.

(2)直线与椭圆有两个公共点，则〃?满足的条件是______.

(3)直线与椭圆没有公共点，则机满足的条件是______.

【答案】m=±5；-5<m<5；6>5或〃?<一5

v=x+in

{+16丁=144消去y井化简得25"+32mx+16m2-144=0,

△=1024病-10006，/-44)=—576府+144(X).

(1)当八=。,即加=±5时，直线与椭圆有一个公共点.

(2)当A>0,即-5<%<5时，直线与椭圆有两个公共点.

(3)当/<0,即心5或〃?<-5时,直线与椭圆没有公共点.

故答案为:m=±5；-5<m<5；加>5或机<-5

22

【变式6-1】直线/:(2w+l)x+(〃,+l)y_7吁4=0，椭圆C：2+2=1,直线与椭圆的位置关系是

1o12

()

A.相交B.相切C.相离D.不确定，与〃z的取值有关

【答案】A

2x+y-l=0x=3

【解析】（2m+l）x+（加+l）y-7加-4=0=m（2x+y-7）=-%->+4n

-x-y+4=0）=1，

所以直线/恒过(3,1),

?2i27

因为巳+1=《<1,所以点◎/)在椭圆内部,

1o121Z

因此直线与椭圆的位置关系是相交，故选：A

,>2

【变式6-2］（多选）已知椭圆C?+方=1（〃>0力>0）的焦点分别为耳，马，焦距为2c,过心的

直线与椭圆。交于A,8两点」你|刃叫，陷=|明=芈。,若A%的周长为20,则经过

点（竽，孚）的直线（）

A.与椭圆C可能相交B.与椭圆C可能相切

C.与椭圆C可能相离D.与椭圆C不可能相切

【答案】AB

【解析】由椭圆的定义知阿|+|网=2。,冈+网,设|网=%则|A闾=3网|=3%,

则忸制=2。-帆，|A用=2。-3加,而用，即有4m=2a-m,解得,

又/他的周长为20,则有IA8I+IA"+|%|=4"=20，解得。=5,m=2,

因为|A8|=|他卜半c,即哈=8,解得，则/=〃_/=19,

fV2（52Z719x25A府

椭圆C的方程为2+2=1,显然（拒2、）+（30,即点（孚，挈）在椭圆上，

2519卞-+—22

所以经过点（苧，乎）的直线与椭圆C相交或相切.

故选：AB

【变式6-3】如果直线/：尸及1+8）与椭圆C：提+/=1（«>1）总有公共点，求实数。的取

值范围.

【答案】［百，同

【解析】由题知直线/：片巾+⑹过定点（一后0），

因为直线/：y=M'+@与椭圆C：5+9=1（g）总有公共点，

所以点卜G，o）在椭圆上或椭圆内，

所以,由于,所以说百，

所以实数。的取值范围是［G,x）

题型七直线与椭圆相切应用

【例7】经过点P(l,g)且与椭圆工+>2=1相切的直线方程是()

24

A.》+2。-4=0B.x-2岛-4=0

C.x+2>/3y-2=0D.x-2\/3y+2=0

【答案】A

【解析】显然当x=l时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；

当存在斜率A时，直线方程设为：y_g=k(x_l),

y-4=&(1)

与椭圆的方程联立得，2，

"=1

14'

得至1」(1+4二)/+4区(6-2%)+46-4岛-1=0

直线与椭圆相切，故A=。，即［4k(G-2Z)］2-4x(l+4/)x(4/-4GZ-l)=0

解得』坐所以切线方程为x+2伤-4=。，故本题选A.

O

【变式7-1】过圆/+V=，上一定点外玉，券)的圆的切线方程为玉/+y,j=产.此结论可推广到圆

锥曲线上.过椭圆［+?=1上的点43,T)作椭圆的切线/.则过A点且与直线/垂直的直线方程

为()

A.x+y-2=0：B.x-y-3=0C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

【答案】A

【解析】过椭圆［+£=1上的点A(3,-l)的切线/的方程为,

即x-y-4=o,切线/的斜率为1,

与直线/垂直的直线的斜率为-1,

过A点且与直线/垂直的直线方程为y+i=-(L3),

即x+y-2=0.故选：A

【变式7-2】椭圆上的点尸到直线x+2y・9=0的最短距离为()

A.6B.拽C.^.D.当

555

【答案】A

【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x+2y+8=o,

x+2y+b=Qc,

,\(-2y=x+b..

则2=>《：，=>4x2+2bx+h2-12=0

人^?+1_=1[3X2+4/=12

所以△=(»)?-4x4(〃-12)=0nZ)=±4

所以椭圆上点P到直线x+2y-9=0的最短距离为d=*&3=石故选：A

Vl2+22

【变式7-3】直线/:3x+4y-12=0与椭圆]+4=1相交于A、8两点，点P是椭圆上的一点,

lo9

若三角形皿的面积为12,则满足条件的点P的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】由已知可得A40),8(0,3),AB=5,

i24

由12=5A8X/7,可得尸到AB的距离方=《.

作与A8平行的直线/,使/与椭圆。《=1相切,

loy

设直线/的方程为:+枭&,

把/的方程代入椭圆方程化简可得X2-%+弘、8=0,

由/\=163_32伏2_1)=0,:卡=0,或k=F,

故直线/的方程为：+1=&,或：+]=S-夜.

12(返-1)24

因为；+上及与A3的距离为-—，

12(72+1)24

------------>----

与AB的旦巨离为55.

故这样的点P共有2个，故选：B.

题型八直线与椭圆相交弦长问题

【例8】已知椭圆C：］+：=l的左、右焦点分别为6、8，过心且斜率为1的直线/交椭圆C于

A、B两点，则|明等于（)

A*CD•瘦

77

【答案】A

【解析】设直线AB方程为…7,联立椭圆方程》^I

整理可得：7X2-8A-8=0,设A（4，X）,矶々,％）,

则与+三4，％•"一,根据弦长公式有：

22

AB=yji+k-^（x,+x2）-4x,x2=y.故B,C,D错误.故选：A.

【变式8-1】斜率为1的直线/与椭圆］+丁=1相交于A,B两点，则IA8I的最大值为（）

A.2B.空C.侦D.迪

333

【答案】D

【解析】设AB两点的坐标分别为a，yj,⑸必）,直线/的方程为kX+%

y=x+m

由*21消去y得3V+4如+2(31)=0,

万+yt

则与+々=一普,用*2=网］辿.

2222

•'­|AB|=yj\+k|x,-x2|=J1+k-+A%)-4X,X2=0————-=2f-\j6-2m,

当机=0时/期取得最大值乎，故选:D.

22

【变式8-2】已知椭圆T：=1（。＞人＞0）的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点尸作倾斜角

为45。的直线交T于A,8两点，若|AB|=竽，则椭圆T的方程为.

【答案】《+[=1

OL

22z

【解析】••"=%,则。=麻，...椭圆T：卡+£=1,左焦点网一回,。)

设直线：y=x+^b,A(%，y),8(%,%)

y=x+y/3b

联立方程：X?丁消去v得：5犬+8折x+8〃=0

―7+一=1

[4b2b-

叱⑷-%＞哈=苧可得"=2

・,・椭圆7：[+]=1

故答案为：3+，=1.

OL

【变式8-3】已知动点M(x,y)到定点下(-1,0)的距离和M(x,y)到直线/:x=-2的距离的比是常数

旦

(1)求点加的轨迹C.

(2)点B为轨迹C与),轴正半轴交点，过点B的直线性交轨迹C于P、3两点，且弦心的长为

孚，求直线心的方程.

【答案】(l)[+y2=l；(2)PB-.y=±42x+\

【解析】(1)动点"(X，〉)到定点尸(TO)的距离和”(x,y)到直线/』=-2的距离的比是常数乎,

J(x+i『+y2—叵

''~'

化简得：y+/=l,即点知的轨迹C为1+y、l；

(2)易得5(0,1),当直线斜率不存在时，易得尸(0，-1),则|阳=2,不合题意；

当直线尸8的斜率存在时,设P8:y=H+1,

联立与+丁=1得：（2公+1*+4丘=0,设P（x，yJ,

易得寸言「则|P8|=g悬义=芈，解得』后,

乙R*1乙KT1D

则直线PB：y=±5/2x+l.

题型九椭圆的中点弦与点差法

［例9］已知双曲线方程/一q=1,则以4（2,1）为中点的弦所在直线/的方程是（）

A.6x+y-l1=0B.6x—y—11=0C.x—6y-11=0D.x+6y+l1=0

【答案】B

【解析】设直线/交双曲线Y-4=1于点"（XQJ、N（X2，%）,则J：：：］：,

3。1十%=2

2

2y

%-3一=

由已知得＜A，两式作差得I=町

考

-3=

所以，上二&=注切=6,即直线/的斜率为6,

王一工2%+必

故直线/的斜率为y-l=6（x-2）,即6x-y-ll=o.经检验满足题意故选：B.

【变式9-1】椭圆匚萩+"=［与直线尸］_氐交于加、汽两点，过原点与线段MN中点的直

线的斜率为:，则竺的值为（)

。77

A.叵B.辿C.迪D.竽

2272

【答案】D

A±A,o一

【解析】设点"GM、N（wM,由已知可得一=2L±A=|；褊=上^=一6,

人1十人2_0玉+超341一人2

2

上述两个等式相乘得主”=-¥,

由已知可得,两式作差得“储-石）+〃（弁-£）=°,

所以，J号军¥.故选：D.

nxx-Xj3

【变式9-2】过椭圆C：5+/=1（。>。>0）右焦点尸的直线/:x-k2=0交C于A,8两点，P

为A8的中点，且OP的斜率为彳，则椭圆C的方程为（）

22

A*y1

A.—十—=1B+=1

84-TTc-T+T=1D•历+不=1

【答案】A

【解析】依题意,焦点尸（2。，即椭圆C的半焦距。=2,设心,））8（々,必），P（x。,%）,

,922，”，、

„.,b~x7+ayr=a~b~bx+X

贝U有在八”2y2=“2/，两式相减得：'（<2）U1-x2）+a-（y,+y2）（y,->>2）=0,

而％+々=2%,乂+必=2%,且?=-；,即有-2〃（玉-%）+/（%-%）=。,

“o/

又直线/的斜率于瓷=1,因止匕有〃=2匕2,而标-62=。2=4,解得/=8,层=4,

人1一出

经验证符合题意，

22

所以椭圆c的方程为g+9=1.故选：A

o4

【变式9-3】已知双曲线C:，£=l（a>（U>0）与斜率为1的直线交于A,8两点，若线段AB的

中点为（4」），则。的离心率e=（）

A.V2B.巫C.3D.73

32

【答案】C

2222

【解析】法—：设A（%MW（孙为）,则与-*=12-普=i,

ab"crb

所以一+叫Wf）_（%+Xy2-X）=o,又AB的中点为（4,1）,

ab~

所以3+々=8,%+%=2,所以&口="，由