圆的有关计算与证明综合问题（上海真题10道模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用）【解析版】

2023中考数学重难题型押题培优导练案(上海专用)

专题07圆的有关计算与证明综合问题(上海真题10道+模拟30道)

【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢

考点考查年份考查频率

圆的有关计算与证明综合问题2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大题)

圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在上海市的2011-2022年12年中考中出现了10次，常见的

圆的基础知识和解题技巧如下：

1、圆中的重要定理：

(1)圆的定义：主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.

(2)垂径定理：主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理：主要用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等.

(4)圆周角性质定理及其推论：主要用来证明——直角、角相等、弧相等.

(5)切线的性质定理：主要用来证明垂直关系.

(6)切线的判断定理：主要用来证明直线是圆的切线.

(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个要点元素之间的相互转变：弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变.这在圆

中的证明和计算中常常用到.

3.判断切线的方法：

(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、

勾股定理证垂直；

(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；

4、考题形式剖析：

主要以解答题的形式出现，第1问主要判断切线、证明角或线段相等；第2问主要与圆有关的计算：

①求线段长(或面积)：②求线段比；③求角度的三角函数值(本质仍是求线段比)

【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分

[例I](2020•上海)如图，△4BC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，80的延长线交边AC于点力.

(1)求证：NBAC=2NABD：

(2)当△BCZ)是等腰三角形时，求/BCD的大小;

(3)当AO=2,CC=3时，求边BC的长.

【分析】(1)连接04利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

(2)分三种情形：①若BD=CB,则/C=/8CC=NABO+N8AC=3NABO.②若C£)=C8,则/CBO

=NCDB=3NABD.③若。8=DC,则。与A重合，这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构

建方程求解即可.

(3)如图3中，作AE〃8c交8。的延长线于E.则处=胆=2,推出至=£&=§,设。8=。4=

BCDC3OHBH3

4a,0H=3>a,根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,构建方程求出a即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接04.

图1

\"AB=AC,

/.AB=AC-

：.OAYBC,

：.ZBAO=ZCAO,

'：OA=OB,

：.ZABD=ZBAO,

：.NBAC=2NABD.

(2)解：如图2中，延长AO交8C于〃.

*:AB=AC9

：.ZABC=ZC,

:./DBC=2/ABD,

VZDfiC+ZC+Z^DC=180°,

A8ZABD=180°,

.\ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,则NC8O=NCO8=3N48。，

：.ZC=4ZABDf

ZDBC+ZC+ZCDB=180°,

J10/48。=180°,

ZBCD=4ZABD=72°.

③若Q3=QC,则。与4重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或720♦

(3)如图3中，作AE〃3C交的延长线于E.

图3

则，挹=仙二2,

'BCDC3

AAO=AE=4(设。8=。4=4“，OH=3a,

OHBH3

VBH2^AB2-AH'OB2-OH2,

.,.25-49a2=16a2-9a2,

—

56

：.BH2=la2=^-,

8

4_

：.BC=2BH=^^.

2

【例2】(2021•上海)如图，在圆。中，弦AB等于弦CQ,且相交于点尸，其中E、F为AB、CD中点.

(1)证明：OP工EF：

(2)连接4F、AC,CE,若A尸〃OP,证明：四边形ABEC为矩形.

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明OE=OF,PE=PF,可得结论.

(2)连接4C,设EF交OP于J,想办法证明尸E=PF=«4=尸C,可得结论.

【解答】(1)证明：连接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

,:AE=EB,CF=FD,AB=CD,

：.OELAB,OFVCD,BE=DF,

.•./OEB=/OFO=9(T,

•:OB=OD,

.,.RtAOEB^RtAOFD(HL),

：.OE=OF,

；NOEP=NOFP=W,OP=OP,

ARtAOPE^RtAOPF(HL),

PE=PF,

,:OE=OFf

：.OP±EF,

(2)证明：连接AC,设£尸交。尸于人

,:AB=CD,AE=EB,CF=DF,

:.AE=CF,BE=DF,

・：PE=PF,

ABA=PC,

■:PE=PF,OE=OF,

JOP垂直平分线段ER

：.EJ=JFf

•：OP〃AF,

：,EP=PA,

:.PC=PF,PA=PEf

・♦・四边形AFEC是平行四边形，

'：EA=CF,

・•・四边形AFEC是矩形.

【例3】(2022•上海)如图，在EL4BC。中，P是线段3c中点，联结8。交AP于点E,联结CE.

(1)如果AE=CE.

i.求证：团ABC。为菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求线段3。的长；

(2)分别以AE,8E为半径，点A,8为圆心作圆，两圆交于点E,凡点尸恰好在射线CE上，如果

CE=®AE,求姻■的值.

【分析】(l)i.证明：如图，连接AC交8。于点。，证明△AOE丝△COE(SSS),由全等三角形的性

质得出/AOE=/COE,证出AC1.BD,由菱形的判定可得出结论；

ii.由重心的性质得出BE=20E,设OE=x,则BE=2x,由勾股定理得出9-?=25-9?,求出x的值，

则可得出答案；

(2)由相交两圆的性质得出由(1)②知点E是AABC的重心，由重心的性质及勾股定理得

出答案.

•.•西边形ABCO是平行四边形,

：.OA=OC,

•:AE=CE,OE=OE,

:.AAOESE(SSS),

ZAOE=ZCOE,

VZAOE+ZCOE=\SO°,

，/COE=90°,

.".ACA-BD,

•.•四边形A8C£＞是平行四边形,

二团A8CZ)为菱形；

ii.解：'：OA=OC,

：.OB是△ABC的中线，

•尸为BC的中点，

是△ABC的中线，

...点E是△A8C的重心,

：.BE=20E,

设OE=x,则8E=2r,

在RtaAOE中，由勾股定理得，0解=45-。辟=32-f=9-

在RCAOB中，由勾股定理得，OA2=AF-0^2=52-（3x）2=25-9/,

.•.9-7=25-9/,

解得x=&（负值舍去），

OB=3x=3近,

:.BD=2OB=6瓜

（2）解：如图，

与08相交于E,F,

：.AB±EF,

由（1）②知点E是△ABC的重心，

又在直线CE上，

；.CG是△A8C的中线，

：.AG^BG=^AB,EG=±CE,

22

,:CE=®AE,

：.GE=^-AE,CG=CE+EG=^^-AE,

22

：.AG2=AE2-EG2^AE2-（除AE）2=yAE2'

：.AG=^AE,

2

：.AB=2AG^-/2AE,

：.BC2=BG2+CG2--1-AE2+AE）2=5盘,

:.BC=4SAE,

...ABMAE>/io

【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心

1.(2011•上海)如图，点C、。分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且0A=3,AC=2,CQ平

行于A8,并与弧A3相交于点M、N.

(1)求线段00的长；

长；

(2)过。作OE_LCO,连接OM,由垂径定理可知再根据tan/C=-^可求出OE的长,

22

利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.

【解析】(1)'：CD//AB,

：.ZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

.0A=0B

"ocOD'

ppOA_OB

'OA+ACOD'

又0A=3,AC=2,

；.O8=3,

.3,3

"3^2OD"

；.OO=5；

(2)过。作OE_LCQ,连接0M,则ME=LMN,

2

VtanZC=A,即幽=▲

2CE2

.,.设OE=x,则CE=2r,

在RtZ\OEC中，OC2=O£2+CE2.即5?=/+(2X)2,解得》=遍,

在RtZ\OME中，OM2=OE1+ME1,即32=(A/5)2+A/E2,解得ME=2.

:.MN=4,

2.(2012•上海)如图，在半径为2的扇形AO8中，/AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、

B重合)OO_LBC,OE1AC,垂足分别为C、E.

(1)当8c=1时，求线段OD的长；

(2)在△。0£中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理

由；

(3)设BD=x,△OOE的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.

【分析】(1)根据OD_L3c可得出5。=工8。=工，在RtaBO。中利用勾股定理即可求出。。的长；

22

(2)连接A8,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据。和E是中点可得出DE=&；

(3)由BD=x,可知OD=qd_乂2,由于Nl=/2,Z3=Z4,所以N2+/3=45°,过。作。凡LOE,

2后产=返》即可得出结论.

DFV4-X；

=V22

【解析】(1)如图(1),'.'ODLBC,

.•.8£)=LC=2，

22

00=VoB2-BD2=-^p-;

(2)如图(2),存在，是不变的.

连接A8,则48=近2+0人2=2料,

二•。和E分别是线段BC和AC的中点,

.•.£)E=/AB=&；

(3)如图(3),连接0C,

'：BD=x,

OD-yj4-x2，

VZ1=Z2,Z3=Z4,

；./2+/3=45°,

过。作DFLOE,

,由⑵已知OE=&,

.•.在RtZ\O£F中，EF-DF

/.OE=OF+EF=

：.y=XDF-OE=^-

22

二广+出”(0<x<V2).

B

x

(3)

3.（2014•上海）如图1,已知在平行四边形48C£＞中，AB=5,8C=8,cosB=±点P是边BC上的动点,

5

以CP为半径的圆C与边AO交于点E、F（点尸在点£的右侧），射线CE与射线8A交于点G.

度2

(1)当圆C经过点4时，求CP的长;

连接AP,当4P〃CG时，求弦E尸的长;

(3)当aAGE是等腰三角形时，求圆C的半径长.

【分析】（1）当点4在。C上时，点E和点A重合，过点A作AH,8c于”，直接利用勾股定理求出

AC进而得出答案;

(2)首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF

的长；

(3)NGAE/NBGC,只能N4GE=NAEG,利用AO〃8C,得出△GAEs^GBC,进而求出即可.

【解析】(1)如图1,设。。的半径为一，

当点A在。C上时，点E和点A重合，过点A作AH,8c于H,

.•.B”=A8・cos8=4,

：.AH=3,CH=4,

•••40=办口2礼口2=5,

,此时CP=r=5；

(2)如图2,若4P〃CE,APCE为平行四边形，

:CE=CP,

四边形APCE是菱形，

连接AC、EP,则AC_LEP,

：.AM=CM=^-,

2

由(1)知，AB=AC,则/4C8=/8,

CP=CE=—————=空，

cos/ACB8

*=2｛翁)2-32='

(3)如图3：连接AC,过点C作CN_LA。于点M设AQJ_8C,

,.--52-=COSB,AB—5,

AB

；.8Q=4,AN=QC=BC-BQ=4.

VcosB=-i,

5

VZBCG<90°,

：.ZBGC>45a,

:.NBGC>NB=NGAE,即Z8GC/NGAE,

又NAEG=NBCG2ZACB^NB=ZGAE,

...当NAEG=/GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在.

即NAEGWNGAE

只能NAGE=/AEG,

,JAD//BC,

:AGAEs&jBC,

•AE_AG即AE_AE

,■CB-BG"'AE+5，

解得：AE=3,EN=AN-AE=l,

二C£=VEN2+CN2=V32+I2=^Q-

图3

4.（2015•上海）已知，如图，AB是半圆。的直径，弦CO〃A8,动点P,。分别在线段OC,CD上，且

DQ=OP,4尸的延长线与射线。。相交于点E,与弦CD相交于点F（点F与点C,。不重合），48=20,

cosZAC>C=-1,设。P=x,Z\CP尸的面积为y.

(1)求证：AP=OQ；

(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域;

【分析】(1)连接0。，证得△AOP也△OOQ后即可证得AP=。。；

(2)作根据cos/AOC=且得到0H=三尸。=生一从而得到S_MOP=24O・P，=3X,利用△

5552

PFCs△必。得当对应边的比相等即可得到函数解析式；

(3)分当/POE=90°时、当N0PE=9(T时，当NOEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.

【解答】(1)证明：连接0D,

在△A。尸和△OOQ中，

'A0=0D

<ZA0C=ZC=Z0DQ-

0P=DQ

.♦.△AOPdO。。，

：.AP=OQ-.

(2)作PHLOA,

cosZAOC——,

5

/.OH——PO=—x,

55

SMOP=—AO*PH=3X,

2

又,：XPFCSXPAO,

：L=卢)2=2,

2AAOP「°*

整理得：3X2-60X+300

x

'：AP延长线与CD相交于点F,

:.CFWCD=T6,易知△CPFs4。网,

•.•—CP二CF,

xAO

当尸与。重合时，x=弛，

13

的定义域为：—<x<10；

13

（3）当NPOE=90°时，CQ=——^4——=至，PO=DQ=CD-CQ=—（舍）；

cosZQCO22

当/OPE=90°时，PO=AO«cosZCOA=8；

当/OEP=90°时，如图，由（1）知△AOPg/XO力Q,

NAPO=NOQD,

：.ZAOQ=ZOQD=AAPO,

'：ZAOQ<90°,ZAPO>90°（矛盾），

,此种情况不存在，

线段OP的长为8.

5.（2016•上海）已知：如图，0。是△ABC的外接圆，AB=AC.点。在边8c上，AE//BC,AE=BD.

（1）求证：AD=CE；

（2）如果点G在线段OC上（不与点。重合），且AG=AZ）,求证：四边形AGCE是平行四边形.

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出乙8=/48,再根据全等三角形的判定得

即可得出AD=CE；

(2)连接AO并延长，交边BC于点H,由等腰三角形的性质和外心的性质得出A//_L3C,再由垂径定

理得8”=。〃，得出CG与AE平行且相等.

【解答】证明：(1)在00中，

VAB=AC，

.'.AB=AC,

:・/B=/ACB,

YAE//BC、

：.ZEAC=NACB,

：.ZB=ZEAC,

'AB=CA

在△A3。和△C4E中，＜/B=NEAC，

BD=AE

/./\ABD^ACAE(SAS),

：.AD=CE,

(2)连接A。并延长，交边BC于点H,

・・•篇=众，0A为半径，

:.AHLBC9

:・BH=CH,

9：AD=AG,

:,DH=HG,

：.BH-DH=CH-GH,即BD=CG,

9：BD=AE,

:・CG=AE,

*：CG//AEf

・・・四边形AGCE是平行四边形.

6.（2017•上海）如图，己知。。的半径长为1,AB、AC是。0的两条弦，且AB=4C,8。的延长线交AC

于点。，联结OA、OC.

（1）求证：

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AO8、△AO。、△C。。的面积分别为Si、S2、S3,如果S2是Si和S3的比例中项，求。力的

长.

【分析】（1）由△AOB丝△4OC,推出NC=N8,由0A=OC,推出N04C=NC=N8,由NAOO=N

ADB,即可证明△OAOS/^ABQ；

（2）如图2中，当△OCZ）是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；

（3）如图3中，作O”_LAC于”，设。。=工想办法用x表示A。、AB.CD,再证明AQ2=AC・CO,

列出方程即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

在△408和中,

'OA=OA

-AB=AC>

OB=OC

.•.△408丝△AOC,

.,.ZC=ZB,

,：OA=OC,

.•./0AC=NC=/8,

ZADO=ZADB,

：./\OAD^/\ABD.

(2)如图2中，①当/OOC=9()°时,

：.AD=^DC,

：.BA^BC^AC,

...△ABC是等边三角形，

在RtZ\OAZ)中，'：OA=l,N040=30。，

：.OD=—OA=—,

22

,，MP=VoA2-OD2="y"

：.BC=AC=2AD=43-

②/COQ=90°,NBOC=90。，BC=Q0+i2=瓜

③NOCQ显然W90°,不需要讨论.

综上所述，8c=百或加.

(3)如图3中，作0/7_LAC于H,设。。=工

B

。

A\~HTyC

图3

"：ADAO^/\DBA,

•AD=OD=OA

''DBAD而’

.AD_x_1

"74ADAB"

:.AD=Nx（x+1），AB=2/^13+.1）_,

x

：S2是51和S3的比例中项,

2

.•.52=SrS3,

,：S2=—AD*OH,S}^S^OAC^—•AC-OH,S3=LCD・OH,

222

：.C-^AD'OH）2=^AC'OH^'CD'OH,

222

:.AD2=AC-CD,

'：AC^AB.CD^AC-AD=S但+1）-八（x+1），

X

（VHTHJ）2=4X（X+I）.（七g■一百万）,

XX

整理得/+x-1=0,

解得x=N5一1或.75-],

22

经检验：x=返二1是原方程的根，且符合题意，

_2

：.OD=^T.

2

（也可以利用角平分线的性质定理：AD=AD=DO（黄金分割点的性质解决这个问题）

ACABOB

方法2、设OO=x,设△A08的边上的高为人，则△40。的边。。边上的高也为儿

c-BOXh

•dAA0BJ2._________BQ_1

，SD0X

AAODlD0Xh

设S/\AOB=a,

S^AOD=dXf

・.,△AOB9/\AOC,

S^AOC=SMOB=a

SMOC=SMOD+S^COD»

^•S^C0D=a-ax—a(1-x),

VS2M51和S3的比例中项，

.■.522=Sl*S3，

/.(ar)2=aXa(1-x)>

.“一-1±V5

••A—“,

2

VOD>0,

0£)=近二1.

2

7.(2018•上海)已知。。的直径A8=2,弦AC与弦8。交于点E.且OQLAC,垂足为点尸.

(1)如图1,如果AC=8。，求弦AC的长；

(2)如图2,如果E为弦B力的中点，求NAB。的余切值；

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是。。的内接正〃边形的一边，CQ是。。的内接正(〃+4)边形的

一边，求△A8的面积.

【分析】(1)由AC=8O知箴而=而+前，得标=血，根据4c知俞=而，从而得益=而=

BC>即可知/40力=/。0。=/80。=60°,利用AF=AOsin/AOF可得答案；

(2)连接BC,设OF=t,证OF为△ABC中位线及△。砂0△BEC得BC=DF=2t,由DF=1-t可得

f=工，即可知8C=O尸=2,继而求得£尸=工4?=亚，由余切函数定义可得答案；

3343

（3）先求出BC、CD.AZ）所对圆心角度数，从而求得8c=AO=J，、OF;号,从而根据三角形面积

公式计算可得.

【解析】（1）YOOLAC,

AD=CD.ZAFO=90°,

又•；AC=8。，

AAC=BD-即俞+而=而+征，

••-AD=BC-

AD=CD=BC-

/.乙4。。=4D0C=N8OC=60",

'：AB=2,

：.AO=BO^\,

：.AF=40sinNAOF=1X返=近,

22

则AC=2AF=愿；

；AB为直径，OC_LAC,

AZAFO=ZC=90°,

：.OD//BC,

:.ND=NEBC,

•；DE=BE、NDEF=NBEC,

.♦.△。£尸丝△BEC(ASA)，

:.BC=DF、EC=EF,

又：AO=OB,

尸是△48C的中位线，

设OF=f,则BC=DF=2t,

"：DF^DO-OF^l-t,

1-/=2r,

解得：尸工

3

则OF=8C=2、4C={AB2_B)2=

3

£F=」LFC=工人C=亚，

243

'：OB=OD,

NABD=ND,

2_

则cot/4B£)=cotN£)=更=二-=我；

EF：72_

3

(3)如图2,

：8C是OO的内接正“边形的-边，C£>是。。的内接正(〃+4)边形的一边,

：.ZBOC=-^->ZAOD=ZCOD=^-,

nn+4

则迦_+2X逊-=180,

nn+4

解得：〃=4或-2,-2舍去.

.•.N8OC=90°、NAOO=NCOD=45°,

：.BC=AC=近,

；NAFO=90°,

：.OF=AOcosZAOF=y-^~,

2

则DF=OD-OF=1-亚，

•,.5A4CD=—AC»DF=AXV2X(1-返):近一、.

2222

1模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优

一、解答题

1.(2022・上海杨浦•二模)已知在扇形40B中，点C、£＞是AB上的两点，且C©=2AC,/.AOB=130°,OA=10.

(1)如图1,当0DJL04时，求弦CD的长；

(2)如图2,联结4D,交半径OC于点E,当0D//4C时，求经的值；

ED

(3)当四边形BOCD是梯形时，试判断线段AC能否成为。0内接正多边形的边？如果能，请求出这个正多边

形的边数；如果不能，请说明理由.

【答案】(DC。=10

⑵9=Vs-i

DE2

(3)线段4C能成为。。的内接正多边形的边，边数为18

【解析】

【分析】

(1)取第的中点E,连接OE,根据圆的有关性质可得NCOE=4EOD=乙40。=a,然后由余角的性质及

等边三角形的判定与性质可得答案；

(2)由平行线的性质及三角形内角和定理可得440。=108°.然后根据相似三角形的判定与性质可得答案;

(3)根据圆内接多边形的性质及三角形的内角和定理分两种情况进行解答：®BD//OC；®CD//OB.

(1)

解：设NAOC=a,取6的中点E,连接OE,

E

D

AB

O

：.CD=2CE=2ETE,

XVCD=2AC,

•*.CE==AC,

/-Z-COE=乙EOD=Z.AOC=a,

•；0D10Af

，乙AOD=90°,

：.Z.AOC+(COE+乙EOD=90°,

a4-a4-a=90°,

：.a=30°,

二人COD=60°,

VOC=OD,

...AC。。是等边三角形，

:.CD=OC=OA,

又。4=10,

：.CD=10；

(2)

解：

o

VOD||AC,

••/.OCA=(COD=2a,

'：0A=OC,

•\Z-OCA=Z.OAC=2a,

在△40C中，

'：/.OAC+Z.OCA+Z.AOC=180°,

:・2a+2a+a=180°,

：.a=36°,

：.Z.AOC=36°,/.COD=72°,

：.Z.AOD=108°,

在△4。。中，

*：OA=OD,

Z.OAD=4ODA,

*：Z.OAD+乙ODA+Z.AOD=180°,

：.Z.OAD=Z.ODA=36°,

：.Z.OED=Z.OAD+Z.AOC=36°+36°=72°,

：.Z.OED=乙COD,

/•ED=OD=10,

*：Z-OAE=^OAD,Z.AOE=Z.ADOf

*••△AOEADO,

・OAAE

••—=—,

ADOA

设AE=x,则4。=10+x,

...言/余解之得x=5通-5，

.AE__5遍-5_V5-1

,・OE-10-2

(3)

解：当四边形BOCD是梯形时，①BDIIOC,

Z.ODB=乙COD=2a,

VOB=OD,

:•乙OBD—Z-ODB-2a,

LAOB=乙AOC+乙COD+乙DOB=130%

J.Z.BOD=130°-3a,

在△BOD中，

VLOBD+乙ODB+乙BOD=180°,

・・・2a+2a+130°-3a=180°,

•'•a=50°.

当a=50。时，/-BOD=130°-3a<0,不合题意，舍去.

@CD||OB,

:,乙ODC=乙BOD=130°-3a,

VOC=OD,

：.z.OCD=Z.ODC=130°-3a,

在仆COD中，

■:乙OCD+（ODC+乙COD=180°,

A130-3a+130°-3a+2a=180°,

：.a=20°,

・3600[

•.n=--=1o8.

20°

.•.线段AC能成为。。的内接正多边形的边，边数为18.

【点睛】

本题考查的是圆的弧、弦、角之间的关系、三角形的内角和定理、圆内接多边形的性质等知识，正确作出

辅助线是解决此题的关键.

2.（2022•上海普陀•二模）如图，已知矩形ABCD中，AD=5,以力D上的一点E为圆心，EA为半径的圆，

经过点C,并交边BC于点F（点F不与点C重合）.

(1)当4E=4时，求矩形对角线4c的长；

(2)设边4B=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)设点G是尤的中点，且4GEF=45。，求边4B的长.

【答案】⑴AC=2V10

(2)y=^Z^.(o<x<5)

(3)10-5V3

【解析】

【分析】

(1)联结CE,AC,由勾股定理可求出答案：

(2)过点E作于点儿连接CE,由矩形的性质得出A8==AE=5方,由勾股定理可求出答

案；

(3)当点G在弧CF上时，设EF与AC的交点为M,连接CE,求出NZ)EC=3O。，由直角三角形的性质可

得出答案；当点G在弧A尸上时，则点尸与点C重合，不合题意.

(1)

解：联结EC,AC.

ACE=4,ED=1.

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD?=CE2_DE2=42-/=15.

在RM4CD中，同理得，

：.AC=y/AD2+CD2=,25+15=2710

(2)

过点E作EHIBC,垂足为点儿

图2

由径定理可得C”=[CF=[y.那么BH=5-]y.

由四边形48HE为矩形，得EH=x,4E=5-：y.

那么EC=5-1y.

在RtACHE中，由股定理得：

/+("2=(5一初。

化简得y=(0<%<5)；

(3)

①当点G在弧CF上时，设EF与4c的交点为M.

G

图3

丁点G是4c的中点，

：.EGLAC.由4GEF=45。，

得乙EMC=45°.

9：EA=EC

・"EAC=LECA.

同理得4EFC=乙ECF.

9：AD||BC,

：.^LEAC=乙ACF.

：.^LECA=4ACF.

•:乙EMC=乙EFC+乙ACF,

."EMC=3/.ACF,

：.Z-EFC=2/.ACF=30°.

9：AD||BC,Z.DEC=30°.

・・・CE=2CD

：.5--y=2x,

2）

解得Xi=10—5V3,X2=10+5V3（不合题意，舍去）

即边48的长为10-5b.

②当点G在弧4尸上时，则点尸与点C重合，不符合题意.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三

角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键.

3.（2022・上海松江•二模）如图，已知。。是△ABC的外接圆，AB=AC=8,OA=5.

（1）求4BA。的正弦值；

（2）求弦BC的长.

【答案】⑴|

⑵g

【解析】

【分析】

（1）过点。作0。•LAB,垂足为点。；根据圆的性质，即可求NB4。的正弦值；

（2）过点。作OF_L4C,垂足为点F；由圆的性质得4B4。=4。4。，延长4。交BC于点E,4。1BC,BC=2BE,

根据sin/BA。=|即可求弦BC的长；

（1）

解：（1）过点。作。。14B,垂足为点。.

v0D1AB,AB=8,

AD=-AB=4,

•・•OA=5,

・•・OD=3,

在R£ZM。。中，

3

AsinZ-BAO=[

(2)

过点。作。FlAC,垂足为点F.

-AB=AC,

.・.OD—OFr

Z.BAO=Z.CAO

延长4。交BC于点E.

:,AO±BC,BC=2BE,

在RtUBE中，

3

vAB=8,s\nz.BAO=-

BcEl=—24,

:.BcCc=y48.

【点睛】

本题主要考查圆的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题的关

键.

4.（2022•上海虹口•二模）已知：如图，AB.4c是。。的两条弦，4B=4C,点M、N分别在弦48、4c上,

且4M=CN,AM<AN,联结OM、ON.

⑴求证：0M=ON；

(2)当4BAC为锐角时，tin^AO2=AM-AC,求证：四边形AMON为等腰梯形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)证明△AOM=△CON即可；

(2)由4。2=4M•?!(?可得△A。"~Zk4C。，可得0M=0N=4M,再证明OM〃4C即可.

(1)

'：AB.4c是。0的两条弦，AB=AC,

."(MB=Z.OAC=/.OCA

在△4。时和小CON中

OA=OC

Z.OAM=Z.OCN

.AM=CN

：.^AOMMACON(SAS)

：.OM=ON；

(2)

"：AO2=AM-AC

.・.-A-O-=—AC

AMAO

VZ.OAB=乙OAC

•MAOM〜△AC。

.'.Z.AOM=/.ACO

'：WAB=AOAC=乙OCA

：.^OAB="AC=/.OCA^AOM

.'.AM=MO,OM//AC

：.AM=MO=ON

二四边形AMON为等腰梯形.

【点睛】

本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由弦4B=

4C得至JI/L04B=/.OAC=Z.OCA.

5.(2022・上海金山•二模)如图，已知：RM4BC中，乙4cB=90。，AB=10,sin^BAC=|,。是边4c上

一点，以点。为圆心，。4为半径的圆。与边AC的另一个交点是点D,与边4B的另一个交点是点E,过点。作

AB的平行线与圆。相交于点P,与BC相交于点Q,DP的延长线交于点F,连接FQ.

(1)求证：DP=EP；

(2)设OA=x,的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(3)如果AFPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求力。的长.

【答案】⑴见解析

27o

(2)y=——x24-3x(0<%<4)

(3)如果AFPQ是以FQ为腰的等腰三角形，40的长为工，詈

【解析】

【分析】

(1)连接0E,根据“心8,可得4。。2=乙4,Z.POE=LOEA,从而得到/COP="0E,即可求证；

(2)作。Ml48,FNLPQ,垂足分别为M、N,则0M=FN,再由锐角三角函数可得BC=6,AC=8,

FN=|x,再证得△COQs/\C48,可得0Q=10从而得到PQ=0Q-OP=10-3x,即可求解；

(3)分两种情况讨论：若FQ=PQ,若FQ=/P,即可求解.

(1)

证明：连接。E,

9：OPnAB,

；•乙DOP=ZJ1,乙POE=Z-OEA,

V0A=0E,

/.Z.A=乙OEA,

・"DOP=乙POE,

：.DP=EP.

(2)

解：作OM_LAB,FN上PQ,垂足分别为M、N,

c

TOQllgOMLAB,FN1PQ,

：.OM=FN,

♦.•在RM4BC中，44cB=90。，AB=10,sin/BAC==,

：.BC~6,AC=8,

在AAMO中，Z.AMO=90°,

3

：.OM=OAsin^BAC

：.FN=|x,

・・・OQ||g

:.XCOQs*c\B,

.OQ_CO

••=f

ABCA

•..-O-Q-=--8-—--X,

108

：.OQ=10-1x,

：.PQOQ-OP=10--x-x=10--x,

44

y=：(i°一2.凯

根据题意得：2烂8,

・X4,

Ay=-^%2+3x(0<%<4).

(3)

解：若FQ=PQ,

:•乙QPF=(QFP=40Po=乙0DP,

：.QFnAC,

丁OQ//AB,

・•・四边形4R?。是平行四边形，NOPD=NAFD,

：.AF=QO,

：.Z.ADF=Z.OPD=4力尸0,

•\AF=AD=2%,

**.OQ=2%,

：.2x=10--X,

4

・40

••X—.

若FQ=FP,作。MlAB,FN1PQ,垂足分别为M、N,则PN=QN,

c

a

八、〃j/rB

'：OQ//AB,

：.NMOgNONF=NMFN=90°,

.,•四边形OMFN是矩形，

在△AM。中，44Mo=90。，OM=-x,AM=-x,

55

•?OQ//AB,

：.ZOPD=ZAFD,

,:OD=OP,

：・/ODP=/OPD,

：.^ADF=Z.OPD=UFD,

：.AF=AD=2%,

：,MF=ON=2x-lx=lx,

：.PN=0N-OP=^xt

2

：.PQ=1x,

7

：.OQ=-x,

W=10一7，

解得：x=等.

综上所述，如果△"（?是以FQ为腰的等腰三角形，4。的长为工，等.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，解

直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

6.（2022・上海静安•二模）如图，已知AABC外接圆的圆心。在高A。上，点E在BC延长线上，EC=AB.

A

(2)当OA=2,COSNBAO=当时，求DE的长.

【答案】(1)见解析

(2)373

【解析】

【分析】

(1)先根据题意得到4。垂直平分BC,得至ljA8=AC,则再证明EC=AC,得至ljNAEC=NCAE,

即可利用三角形外角的性质证明结论；

(2)先求出N8AO=30。，从而求出/8OZ)=60。，然后解直角三角形求出B。，AB的长即可得到答案.

(1)

解：:△ABC的外接圆圆心在高AO上，

.♦.AO垂直平分BC,

：.AB^AC,

,ZB=ZACB,

'：EC=AB,

：.EC=AC,

：.NAEC=NCAE,

VZACB=ZAEC+ZCAE,

：.ZB=ZAEC+ZCAE=2ZAEC；

(2)

解：连接03,

'-'cosz.BAO=—,

2

：.ZBAO=30°,

OB=OA,

...NOAB=/OA8=30°,

:.ZBOD=ZOBA+ZOA8=60°,

"-BD=OB-sinzBOD=V3.

'：AB=AC,ADIBC,

：.BD=CD,

DEDC+CEBD+AC=3聒.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，根据特殊角三角函数值求度数，解直角三角形，三角形外角的

性质，线段垂直平分线的性质等等，确定AB=AC是解题的关键.

7.(2022•上海黄浦•二模)如图，已知A、B、C是圆。上的三点，AB=AC,M、N分别是AB、AC的中点，

E、F分别是OM、ON上的点.

(1)求证：ZAOM—ZAON^

(2)如果A*ON,AF^OM,求证：0后.。用="。2.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理的推论，得出0M148,ONA.AC,再证RAAOM丝RAAON(HL),即可得出结论;

（2）连接EF,交AO于点P.先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性

质得EF14。，PO=\AO.然后证△EPOSAAM。.得穿=亮，代入即可得出结论.

2AOOM

(1)

证明：,:M、N分别是A3、AC的中点,OM.ON过圆心，

：.OMLAB,ON1AC.

又・・・48=4C,

：.AM=AN.

V在Rt^AOM和RdAON中,

(AM=AN

lOA=OA'

:・Rt&AOM9Rt&AON(HL),

：.Z.AOM=乙AON.

(2)

解：连接EF，交AO于点P.

•明。N,%0M,

・・・四边形AEO厂是平行四边形.

V/1F||O/V,

：.Z.EAO=乙AON,

:tAOM="ON,

・"AOM=Z.EAO.

：.AE=EO,

・・・四边形AEO厂是菱形.

：.EFA.AO,PO=-AO.

2

・；0M1AB,

：.Z.EPO=^AMO=90°.

9：Z.AOM=乙AOM,

:・>EPO〜bAMO.

・OEOP

••--=---，

AOOM

：.OE-OM=AO-OP=\AO2,即。E-OM=|/1O2.

【点睛】

本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱

形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键.

8.(2022•上海宝山•二模)如图，在半径为3的圆。中，。4、OB都是圆。的半径，且乙4OB=90。，点C是劣

弧脑上的一个动点(点C不与点4、B重合)，延长4c交射线OB于点D.

(1)当点C为线段A