专题01第一章空间向量与立体几何典型例题讲解（一）

专题01第一章空间向量与立体几何典型例题讲解（一）目录TOC\o"13"\h\u一、基本概念回归 1二、重点例题（高频考点） 2高频考点一：空间向量的基底 2高频考点二：用基底表示向量 4高频考点三：空间向量平行与垂直 7高频考点四：空间向量模的计算 9高频考点五：空间向量夹角的计算 12高频考点六：空间向量的投影（投影向量） 15高频考点七：距离问题 17角度1：利用空间向量求点线距 17角度2：利用空间向量求点面距 20角度3：等体积法求点面距 29一、基本概念回归知识回顾1：空间向量的数乘运算1.1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．1.2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的知识回顾2：共线向量与共面向量2.1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．2.2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．2.3拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中2.4、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2.5共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使2.6拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．知识回顾3：空间向量的数量积定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.知识回顾4：两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）知识回顾5：向量长度的坐标计算公式若，则，即知识回顾6：两个向量夹角的坐标计算公式设，则二、重点例题（高频考点）高频考点一：空间向量的基底1．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底；对于B中，假设共面，则存在，使得，即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底；对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底；对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；对于C，假设向量共面，则，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；故选：C.3．（2023·全国·高二专题练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设，所以，解得，所以向量在基底下的坐标为.故选：A.4．（多选）（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）是空间的一个基底，与､构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由于，所以、、共面，不能构成基底，B选项错误.由于，所以、､共面，不能构成基底，D选项错误.假设，则，但此方程组无解，所以、､不共面，可以构成基底，A选项正确.假设，则，但此方程组无解，所以、､不共面，可以构成基底，C选项正确.故选：AC高频考点二：用基底表示向量1．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考开学考试）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得：.故选：D.2．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，所以,故选：B3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C4．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）在四面体中，是的中点，是的中点．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意.故选：D高频考点三：空间向量平行与垂直1．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）已知向量，若与平行，则实数k的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】因为，所以，，因为与平行，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，故选：C2．（2023秋·高二课时练习），若，则m＝．【答案】6【详解】∵，∴.故答案为：6.3．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知向量，，且与互相垂直，则的值是.【答案】/【详解】，，因为与互相垂直，所以,即，解得：.故答案为：4．（2023秋·高二课时练习）已知空间三点.设，，若向量与互相平行，求k的值．【答案】±1【详解】根据题意可得：，∴.∵向量与互相平行，，∴，即.∴，∴或.∴k的值为1或1．5．（2023秋·全国·高二阶段练习）已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【详解】（1）、，，，且，设，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又与垂直，，解得或．高频考点四：空间向量模的计算1．（2023·上海·高二专题练习）设空间向量，，若，则．【答案】9【详解】解：因为空间向量，，且，所以，即，可得，解得，，所以，则，所以．故答案为：92．（2023秋·高二单元测试）设空间向量，，若，则．【答案】9【详解】因为空间向量，，由，即，可得，解得：，，所以，，则，所以．故答案为：．3．（2023·全国·高二专题练习）已知、、为空间中两两互相垂直的单位向量，，且，则的最小值为．【答案】【详解】由题意可设，，,由，得，，，所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值为.故答案为：.4．（2023春·湖南永州·高二永州市第一中学校考开学考试）向量，且，则．【答案】【详解】解：因为，且，所以，，解得，所以，，所以，，故答案为：5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是.【答案】【详解】设，0，，，，，，0，，，1，，，，，，即．，．（当时取最小值）故答案为：6．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点，，，．(1)求以为边的平行四边形的面积；(2)若，且，点是的中点，求的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1），，，，.（2）点是的中点，，，.高频考点五：空间向量夹角的计算1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知得，所以,因为空间向量的夹角范围是，所以向量与的夹角为，故选：D.2．（2023·全国·高二专题练习）已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，，所以，，所以.故选：C3．（2023秋·高二单元测试）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，，，，又，，又为单位向量，，联立，得或，，，.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知，，，，，求：(1)；(2)与所成角的余弦值．【答案】(1)，，(2)【详解】（1）因为，，，所以不满足要求，故，解得，所以，，又因为，所以，即，解得，因此.（2）由（1）得，同理，所以，，；因此.5．（2023秋·高二课时练习），，，，若与的夹角为钝角，求的取值范围．【答案】【详解】依题意得，，，又与的夹角为钝角，根据夹角公式，，即，故，当共线时，，解得，此时，，的夹角是，虽满足但不是钝角，故，于是与的夹角为钝角时，6．（2023·全国·高二专题练习）已知空间中的三点，，.(1)求的面积；(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，，则，所以，故在中，故的面积为.（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，所以，即，所以，可得，当它们反向共线，即且时，有，无解，综上，.高频考点六：空间向量的投影（投影向量）1．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】空间向量所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.2．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐标是，故选：D.3．（2023秋·湖北宜昌·高二长阳土家族自治县第一高级中学校考阶段练习）若，，则在上的投影向量的坐标为.【答案】【详解】，，，且，则与方向相同的单位向量为，设与的夹角为，则在上的投影向量为.故答案为：.高频考点七：距离问题角度1：利用空间向量求点线距1．（2023秋·高二课时练习）已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（

）A． B．C． D．3【答案】B【详解】由题意，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知，所以，，，设点在上的投影为,则在直角三角形中，点到直线的距离为:故选：B.2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【详解】根据题意，直线的方程为，即，则直线的方向向量为，又因为过点，，，则，故在上的射影为：，故点到直线的距离为：.故选：D.3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是．【答案】/【详解】因为平面，底面为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、，，，，所以，，所以，的中点到直线的距离.故答案为：.4．（2023·全国·高二课堂例题）已知正方体的棱长为1，求点到直线的距离．【答案】【详解】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因此．法一：设E满足且，则，即，所以．又因为，所以，即，解得，因此，从而可知点到直线的距离为．法二：取，则，所以点到直线的距离为.角度2：利用空间向量求点面距1．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选：D.2．（2023秋·全国·高二随堂练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则即，令，则，，∴点到平面的距离为．故选：A.解法二

底面，，又，且平面，平面，平面，，，，在中，，令点到平面的距离为，，，．故选：A.3．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，点是棱的中点，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设点，，设平面的法向量，，，令，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值，化简可得，即，所以或（舍），即点，由可得，，，所以点到平面的距离．4．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.(1)证明：平面；(2)若，试确定的值，使得到平面的距离为.【答案】(1)答案见解析；(2)或．【详解】（1）在三棱柱中，，，，在中，由余弦定理得，即有，于是，又侧面，侧面，则，而，平面，所以平面．（2）由（1）知，两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，点到平面的距离，解得或，所以当或时，C到平面的距离为．5．（2023·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．(1)求直线\到直线的距离；(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)(2)【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以，即，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，，，，，所以直线到直线的距离为；（2）因为，平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，,，设平面的一个法向量为，则，即，取，可得，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.6．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)若，，求点到平面距离的范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以.取的中点，连接、，因为是棱的中点，所以，且，因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接.因为是正三角形，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为，，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，设，其中，则，设平面的法向量，所以，令，得，设点到平面距离为，.当时，；当时，，则，当且仅当时等号成立.综上，点到平面距离的取值范围是.7．（2023·全国·高二专题练习）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.【答案】(1)(2)M为PC的中点.【详解】（1）连接AC交BD于O，过O作PD的平行线，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则则，，设平面BDT的一个法向量则，则，∴平面BDT的一个法向量为又PD⊥平面是平面BDC的一个法向量∴，又由图可知二面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为；（2）设，则∴，则点M到平面TBD的距离为，解得故点M的坐标为，即M为PC的中点.角度3：等体积法求点面距1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.(1)证明：；(2)若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，E为PD中点，所以.又，平面平面ABCD，平面平面，所以平面PAD.又平面PAD，所以.因为、平面PCD，，所以平面PCD，又平面PCD，所以.（2）因为ABCD是边长为2的正方形，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，故，同理可得.因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，因为E为PD的中点，所以.因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，所以点F和点B到平面ACE的距离相等.又，由（1）知，易得，，所以.设点B到平面ACE的距离为d，则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.2．（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）如图，在四棱锥中，平面分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，如图，由，得四边形是菱形，且，因为分别为的中点，则，，于是四边形是平行四边形，有，而平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，，平面，平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，