相似三角形篇（解析版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题28相似三角形

考点一：比例

知识回顾

1.比例的性质:

①基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若a/=c:d,则从=4。

本X人"MH什。CC+d

②合比性质：若:=1，则］一=—―o

bdbcl

八fii/ice什。cp.,1ct—bc-d

③分比性质：若：=［，则］一二——o

bdbd

④合分比性质：若q=£,则史史=*

bda-bc-d

Z=XA-A..,=e-H-«cma+c+...+macm

⑤等比।性质：若一=-=i=—,则------------=一=一=

bdnb+d+...+nbdn

2.比例线段:

若四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等,

如a:b=c:d（即匕c=ad）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

3.平行线分线段成比例:

三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。

即如图：有空=匹

BCEF

ABDE

~AC~~DF

BCEF

~AC~~DF

推论:

①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边。

③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三

边与原三角形的三边对应成比例。

微专题

jJ

1.（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆.衡

杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物，可以把被称物与祛码放

在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个祛码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜

衡杆的使用示意图，此时被称物重量是祛码重量的倍.

被称物磋码

【分析】根据比例的性质解决此题.

【解答】解：由题意得，5〃？被称物=6m硅码.

被称物：加码=6：5=1.2.

故答案为：1.2.

2.（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为03的04边上一点，AC：OC=1：2,过C作CO

【分析】根据CO〃O8得出组J1，根据AC：0c=1：2,得出空■小，根据C、〃两点纵坐标分别

AOOBA03

为1、3,得出08=6,即可得出答案.

【解答】解.：：C£）〃OB,

.ACCD

AOOB

VAC：0C=\：2,

.AC1

AO3

VC,。两点纵坐标分别为1、3,

：.CD=3-1=2,

•.•--2--1t

OB3

解得：08=6,

点的纵坐标为6,故选：C.

A£)2

3.(2022•临沂)如图，在△ABC中，DE//BC,——=-,若AC=6,则EC=()

DB3

【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可.

【解答】解：•••OE〃8C,

.ADAE=2

"DB"EC3"

•..-A-C---E-C--2r

EC3

•.•-6---E-C--2f

EC3

：,EC=—.故选：C.

5

4.（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,

C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是（）

32

【分析】过点4作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于。，交点C所在的平行横线于E,根据平

行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于。，交点C所在的平行横线于E,

则坐=期.，即a=2,

BCDEBC

解得：8c=旦，

2

5.（2022•襄阳）如图，在△ABC中，。是AC的中点，△A8C的角平分线AE交8力于点尸，若8F：FD

=3：1,AB+BE=36，则△ABC的周长为

【分析】如图，过点尸作尸于点M,FNLAC于点、N,过点。作。T〃AE交8c于点T.证明A8

=3AZ),设AD=CC=a,证明E7=C7,设ET=CT=b,则BE=36,求出a+6可得结论.

【解答】解：如图，过点尸作于点M,FNLAC于点N,过点。作OT〃AE交8c于点7.

平分NBAC,FM1AB,FNLAC,

：.FM=FN,

eAWK

b卜

>..AABF——_1B11F■■_21________—QD

SAADFdfy-AD-FN

.•.A8=3AQ,

设AO=DC=〃，则A6=3a,

•；AD=DC,DT//AE.

：.ET=CT,

・BEBF_a

ETDF

设ET=CT=b,贝ijBE=3b,

；48+8E=3后

，3a+36=3愿，

.'.a+b—^/3^

：./\ABC的周长=4B+AC+8C=5a+5b=5遥，

故答案为：5e.

6.（2022•哈尔滨）如图，AB//CD,AC,BQ相交于点E,AE=\,EC=2,DE=3,则8。的长为（

【解答】解：：A8〃C£>,

△ABEsACDE,

.1AE_BEnn1-BE

••—―一■，up,一一一,

CEDE23

:.BE=L5,

：.BD=BE+DE=4.5.

故选：C.

An2DF

7.（2022•雅安）如图，在△ABC中，D,E分别是A8和AC上的点，DE//BC,若——那么——

BD1BC

）

A

【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.

【解答】解：•：DE〃BC,

:.△ADEs/\ABC,

.DE=AD

,"BCAB'

..AD=2

,BDT

•.•AD_2,

AB3

.DEAD2

"BC=AB=3"

故选：D.

AO2

8.（2022•凉山州）如图，在△48C中，点£）、E分别在边A8、AC上，若DE〃BC,——=一，DE=6cm,

BD3

则BC的长为（）

【分析】根据坦=2,得到坦=2,根据DE〃8C,得至NAED=NC,得到△AOEs

DB3AB5

△ABC,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.

【解答】解：♦.•迪•=2,

DB3

•..AD_2-,

AB5

,:DE〃BC,

：.NADE=NB,ZAED=ZCf

：./\ADE^AABC9

.DE=AD

"BCAB'

.6_2

BC5

：.BC=\5(an)，

故选：C.

9.(2022•鞍山)如图，ABHCD,AD,8c相交于点E,若AE：DE=1：2,AB=2.5,则CD的长为

【分析】由平行线的性质求出/8=/C,其对应角相等得△EABS^EDC,再由相似三角形

的性质求出线段C。即可.

【解答】解：,••A8〃CC,

:.NB=/C,ZA^ZD,

:AEABsAEDC,

：.AB：CD=AE：DE=\：2,

又：A8=2.5,

：.CD=5.故答案为：5.

AnDE

10.（2022•上海）如图，在△ABC中，NA=30°,NB=90°，。为A8中点，E在线段AC上，——=——，

ABBC

【分析】利用平行线截线段成比例解答.

【解答】解：为AB中点，

.AD=2

"AB~2'

当。£〃BC时，^ADE^/XABC,则他=匹=迫=-1

ABBCAC2

当OE与2C不平行时，DE=DE',迪一=>1

AC4

故答案是：工或工.

11.（2022•宜宾）如图，△ABC中，点E、F分别在边A3、AC上，Z1-Z2.若BC=4,AF=2,CF=3,

则EF=

/A=N4,得出再由相似三角形的性质即可得出E/的长度.

【解答】解：=

•.•-E-F--A-F-,

BCAC

VBC=4,AF=2,CF=3,

•.•EF―2*

42+3

；.EF=—,

5

故答案为：1

5

考点二：相似三角形的性质

知识回顾

1.相似图形的概念:

把形状相同的图形称为相似图形。

2.相似三角形的概念:

如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。

3.相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中

线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。

/----------------\

微专题

AB1

12.（2022♦兰州）已知——=_,若8c=2,则EF=（）

DE2

A.4B.6C.8D.16

【分析】利用相似三角形的性质可得包_注，代入即可得出的长.

DEEF

【解答】解：V/\ABC^^DEF,

.ABBC

DEEF

•.•--2-二1,

EF2

：.EF=4,

故选：A.

13.(2022•贺州)如图，在△ABC中,DE//BC,DE=2,BC=5,则S&WE：S“BC的值是()

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

【解答】解：-DE//BC,

:S\ADEsS入ABC，

•:DE=2,BC=5,

SAADE：SMBC的值为,

25

故选：B.

14.（2022•甘肃）若△ABCsaoEF,BC=6,EF=4,则——=（）

DF

4923

A.-B.-C.—D.一

9432

【分析】根据可以得到叫然后根据BC=6,EF=4,即可得到3s的值.

EFDFDF

【解答】解：,:△ABCs&DEF,

•.•BC-AC,

EFDF

,:BC=6,M=4,

••.AC=6—_3f

DF42

故选：D.

15.（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，

再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片

ABCD,其中/A=90°,A8=9,BC=1,CD=6,A£>=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是

（）

【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个

直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意.

【解答】解：如右图1所示，

由已知可得，ADFEsAECB,

ECCBEB

设。尸=x,CE=y,

则三兽生，

y72+x

（27

x=^T-

.•.CE=CD+CE=6+2L=至，故选项8不符合题意;

44

EB=DF+AD=^-+2=—,故选项。不符合题意；

44

如图2所示，

由已知可得，△DCFsXFEB,

则匹

FEEBFB

设FC=〃?，FD=",

则旦=私=n,

9n+2m+7

解得M,

ln=10

：.FD^IO,故选项C不符合题意；

BF=FC+BC=S+1=\5t

如图3所示：

此时两个直角三角形的斜边长为6和7：

故选：A.

16.（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形其最长边为12,

则△QEF的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

【分析】（1）方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边的比相等列等式,

解出即可；

方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算.

【解答】解：方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,

,:△ABCsXDEF,

•.•.2_.3_..4,

xy12

・.x=6,y=9,

••.△QEF的周长是27；

方式二：,:△ABCSXDEF,

./△ABC_4

,△DEF12

.2+3+4_1

••,

,△DEF3

:，CADEF=27；

故选：C.

考点三：相似三角形的判定：

f------------------、

知识回顾

V________________>

1.相似三角形的判定：

①平行线法判定：

平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相

似。

②对应边判定：

三组对应边的比相等的两个三角形相似。

③两边及其夹角判定法：

两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。

④两角判定：

有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。

微专题

17.（2022•邵阳）如图，在△4BC中，点。在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件

使△A£>Es/\ABC.

A

【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可.

【解答】解：•••NA=NA,

当NADE=NB或NA£»=ZC或坦=幽时，/\ADE^^ABC,

ABAC

故答案为:/A。七=/8或/4瓦＞=/。或坦=胆（答案不唯一）.

ABAC

18.（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为（）

【分析】证明求得4氏CE,再根据三角形的面积关系求得结果.

【解答】解：；CO〃AB,

:AABEs^CDE,

•..-A--E-=AB=-4-=yc,

CECD2

，$阴影《S/kABC=fxfx4x4卷,

故选：C.

19.（2022•东营）如图，点。为△ABC边AB上任一点，DE"BC交AC于点E,连接BE、CQ相交于点

F,则下列等式中不成立的是（)

A

-A---D--..A...E..B-D---E----D--F--DEAE.E...F..---A--E--

DB~ECBC~FC"BC~EC'BF~AC

【分析】由。E〃8c根据平行线分线段成比例定理得2D=迪，可判断A正确：

DBEC

由△££＞尸尸根据相似三角形的对应边成比例得迈=工工，可判断B正确；

BCFC

由△ADEs△48C得工些=胆会鲤，可判断C错误；

BCACEC

由更=JE,M=DE,得里；E&,可判断。正确.

BFBCACBCBFAC

【解答】解：

.AD=AE

,,DBEC"

故A正确：

,:XEDFsABCF,

.DE=DF

*'BC而’

故8正确；

VAADE^AAfiC,

.DE=_^_^AE

*'BCACEC'

故C错误；

..EF=DEAE=DE

"BFBC'AC而'

.EF=AE

"BFAC'

故。正确，

故选：c.

20.（2022•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，A5=6,AO=4,点E、尸分别为3C、CD的中点，BF、DE

相交于点G,过点E作EH〃CD,交BF于点、H,则线段G”的长度是（)

AB

555

A.—B.1C.-D.一

643

【分析】根据矩形的性质得出DC=A8=6,8c=4。=4,NC=90°,求出。F=CF=2OC=3,CE=

2

BE=LBC=2,求出FH=BH,根据勾股定理求出BF,求出FH=BH="根据三角形的中位线求出

22

EH,根据相似三角形的判定得出△EHGSADFG,根据相似三角形的性质得出里乌，再求出答案即

DFFG

可.

【解答】解：...四边形A8CQ是矩形，AB=6,AD=4,

.•.〃C=48=6,BC=AO=4,NC=90°,

•.•点E、尸分别为8C、CO的中点，

：.DF^CF^—DC^3,CE=BE=±BC=2,

22

'：EH//CD,

：.FH=BH,

:BE=CE,

.-.EH=^CF'=—,

22

由勾股定理得：BF=VBC24CF2=V42+32=5,

：.BH=FH=-^BF=^-,

22

,JEH//CD,

:./\EHGS/\DFG,

.EHGH

.•一'一二一,

DFFG

3,

kpr

解得：GH=上，

6

故选：A.

21.（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2

的位置，从矩的一端A（人眼）望点E,使视线通过点C,记人站立的位置为点8,量出BG长，即可算

得物高EG.令BG=xCm),EG=y(zn),若a=30c/w,b—6Gcm,1.6m,则y关于x的函数表达

式为（）

图1图2

11

A.y-----xB.y=—x+1.6

22

「c/18000

C.y=2x+1.6D.y=--------+1.6

X

【分析】根据题意和图形，可以得到A尸=8G=w?,EF=EG-FG,FG=AB=1.6m,EG=ym,然后根

据相似三角形的性质，可以得到y与x的函数关系式.

【解答】解：由图2可得，

AF=BG=xm,EF—EG-FG,FG=AB=1.6m,EG—ym,

：.EF=(y-1.6)m,

'：CD±AF,EF±AF,

J.CD//EF,

：./\ADC^/\AFE,

•.C*'D'A:=-D,

EFAF

即迎犁，

EFAF

•3060

y-1.6x

化简，得)，=工方+1.6,

2

故选：B.

22.（2022•贵阳）如图，在△ABC中，。是AB边上的点，ZB=ZACD,AC：AB=1：2,则△4。（7与4

A.1：V2B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题.

【解答】解：'：ZB=ZACD,ZCAD=ZBAC,

：.^ACD<^/\ABC,

•CAACDAC1

,△ABC蛆2

故选：B.

23.（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,£>四个点均在格点上，AC与

8。相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CQE的周长比为（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

【分析】利用网格图,勾股定理求得A8,C4的长，利用直角三角形的边角关系定理得出

进而得到/8AC=NDCA,则A3〃CD,再利用相似三角形的判定与性质解答即可.

【解答】解：如图所示，

B

厂1

AF

G斗1=7

HA7

D

由网格图可知:BF=2,AF=4,CH=2,DH=\,

•••AB='AF2+BF2,

CD=VCH2+DH2=V5.

"FA//CG,

AZFAC=ZACG.

在RtZXABF中,

3山吁祭=|亭

在RtZXCDH中,

tanN”CD=m」，

CH2

tanZBAF=tanZHCD,

：.ZBAF=ZHCD,

'：NBAC=NBAF+NCAF,ZACD^ZDCH+ZGCA,

：.ZBAC-ZDCA,

：.AB//CD,

△ABEs△COE,

...△4BE与△（；£）£的周长比=旭=2先=2：1.故选：D.

CDV5

24.（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CQ的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF：

CE=1：2,EF=5,则菱形ABC。的边长是（）

A.3B.4C.5D.-77

5

【分析】过点D作DH±AB于点H,则四边形DHFE为平行四边形，可得HF=DE,DH=EF=R

设8F=x,则CE=2%,可得AH=3x,利用勾股定理列出方程，解方程即可求解.

【解答】解：过点D作DHLAB丁点H,如图，

•.•四边形A8CC是菱形,

：.AD=AB=CI）,AB//CD.

'：EF±AB,DH1AB,

：.DH//EF,

四边形DHFE为平行四边形，

：.HF=DE,DH=EF=41.

:点E是边CO的中点，

：.DE=—CD,

2

：.HF=-^CD^—AB.

22

'：BF：CE=1：2,

.•.设8F=x,则CE=2x,

：.CD=4x,DE=HF=2x,

AD=AB=4x,

：.AF=AB+BF^5x.

：.AH=AF-HF=3x.

在RIYADH中，

\'DH2+AH2=AD2,

■（W产+（3x）2=⑷产

解得：x=±l（负数不合题意，舍去），

；.x=l.

；.A8=4x=4.

即菱形ABC。的边长是4,

故选：B.

25.（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AO中点，点产在8C上，把该纸片沿EF折叠,

BF2

点A,3的对应点分别为A',"，A'E与BC相交于点G,B'A1的延长线过点C.若——=—,

GC3

An

则邦的值为（）

AB

8

D.

3

【分析】连接FG,CA',过点G作G兀LA。于点T.设AB=x,AD^y.设8尸=2匕CG=3k.则AE

=D£=A,由翻折的性质可知E4=£A'=A,BF=FB'=2k,ZAEF=ZGEF,因为C,A',B'

2V2y

共线，GA'//FB',推出竺=堕推出一^_=：及2了,可得J-12外+32/=0,推出）=8k或

CFFB'y-2k2k

y=4k（舍去），推出AE=OE=4k,再利用勾股定理求出GT,可得结论.

【解答】解：连接FG,CA',过点G作GTLAZ）于点T.设48=x,AD^y.

.,.可以假设8尸=2攵，CG=3k.

'：AE^DE=^y,

由翻折的性质可知E4=E4'=」)，，BF=FB'=2k,NAEF=NGEF,

2

'JAD//CB,

ZAEF=ZEFG,

：.NGEF=4GFE,

；.EG=FG=y-5k,

：.GA'=—y-(y-5A:)=5k"y,

2-2

VC,A1,B1共线，GA'//FB',

.CG_GAy

"CFFB，，

.3k=5等

y-2k2k

]26+323=0,

.,.y=8Z或y=4*（舍去），

：.AE=DE=4k,

：四边形CDTG是矩形，

:.CG=DT=3k,

：.ET=k,

'：EG=Sk-5k=3k,

：.AB=-（3k）2_k2=2扬，

.•.他='=2&.

AB2V2k

解法二；不妨设8尸=2,CG=3,连接CE,则RtZXCA'EgRtZXCOE,推出#C=C0=4B=AE,丝=

GF

卬=],推出GF=CG=3,BC=8,在RlZkCB'尸，勾股得C8=4弧则AB'=2近，

A，B

故选：A.

26.（2022•遂宁）如图，正方形ABC。与正方形8EFG有公共顶点8,连接EC、GA,交于点O,GA与

BC交于点P,连接0£＞、OB,则下列结论一定正确的是（）

①EC_LAG；©/XOBP^/XCAP-,③OB平分NCBG；®ZAOD=45°；

【分析】由四边形A8C。、四边形8EFG是正方形，可得aASG岭△C8E(SAS),即得N8AG=/8CE,

即可证明/POC=90°,可判断①正确；取AC的中点K,可得AK=CK=OK=BK,即可得NBOA=/

BCA,从而AOBPsACAP,判断②正确，由NAOC=/ADC=90°,可得4、0、C、。四点共圆，而

AD=CD,故NAOO=/OOC=45°,判断④正确，不能证明08平分/CBG,即可得答案.

【解答】解：•.•四边形A8C。、四边形8EFG是正方形，

：.AB=BC,BG=BE,NABC=90°=AGBE,

NABC+NCBG=NGBE+NCBG,即NABG=NEBC,

:.丛ABG9/\CBE(SAS),

：.NBAG=/BCE,

"：^BAG+ZAPB=90°,

：.ZBCE+ZAPB=W0,

：.ZBCE+ZOPC=90Q,

AZPOC=90",

：.ECLAG,故①正确；

取AC的中点K,如图：

E

•MK=CK=OK,

在RlZVlBC中，K为斜边AC上的中点,

:.AK=CK=BK,

：.AK=CK=OK=BK,

；.A、B、0、C四点共圆，

：.ZBOA=ZBCA,

"：ZBPO=ZCPA,

：./\OBP^/\CAP,故②正确，

VZAOC^ZADC=90°,

...NAOC+NADC=180°,

.•.4、。、C、力四点共圆，

'：AD=CD,

：.ZAOD^ZDOC^45°,故④正确，

由已知不能证明08平分NC8G,故③错误,

故正确的有：①②④,

故选：D.

27.（2022•淮安）如图，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,点。是AC边上的一点，过点。

DE

作。尸〃AB,交BC于点F,作N8AC的平分线交。F于点E,连接BE.若△A8E的面积是2,则——的

EF

值是.

【分析】首先由勾股定理求出A3的长，由面积法得点C到OF的距离为反，点E到A8的距离为自，从

55

而得出CQ=2,再根据角平分线的定义和平行线的性质得AD=OE=1,从而解决问题.

【解答】解：在RtZVIBC中，由勾股定理得，48=5,

「△ABE的面积是2,

.•.点E到的距离为❷，

5

在RtAABC中，点C到AB的距离为蛆'里J2,

AB5

...点C到。尸的距离为反,

5

\'DF//AB,

：./\CDF^/\CAB,

.CD2=DF

"CK"3AB'

:.CD=2,。尸=也,

3

平分NCAB,

：.^BAE^ZCAE,

'：DF//AB,

：.ZAED=ZBAE,

：.ZDAE=ZDEA,

；.ZM=£)E=1,

:.EF=DF-。£=也-1=工，

33

.DE3

EF7

故答案为：—.

7

28.（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是A。边上一点，且AE=2£>E,BQ与CE相交于点尸，若^

QEF的面积是3,则△8CF的面积是.

【分析】根据矩形ABC。的性质，很容易证明△力EFsaBCF,相似三角形之比等于对应边比的平方，

即可求出△BC尸的面积.

【解答】解：..•四边形A8C。是矩形，

:.ADJLBC,

：.NEDF=ZCBF,

ZEFD^ZCFB,

：.2DEFs丛BCF,

"：AE=2DE,AD=BC,

:.DE：BC=1：3,

1

.'.SADEF：SABCF=DE1：BC,即3：SABCF=1：9,

:，S&BCF=27.

故答案为：27.

29.（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角NBAC的大小为0,点。为边8C上的动点（与8、C不

重合），将4。绕点A沿顺时针方向旋转。角度时点。落在处，连接8力’.给出下列结论：

①△AC£）空△AB。'；

®/^ACB<^/\ADD'；

③当BO=CQ时，△AQ。’的面积取得最小值.

其中正确的结论有（填结论对应的应号）.

c

4

D'

【分析】由题意可知AC=A8,AD=AD',ZCAD=ZBAD',即可根据SAS判断△4C£＞刍：

根据N2AC=N。'AD=Q,—=-^-,即可判断△ACBS/XA。。'；由△ACBS/\AD。'，得出

ADAD'

S△陋=（触/，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD=CD,则AC8c时，最小，△A。。'

S&ICBAC

的面积取得最小值.

【解答】解：由题意可知AC=A8,AD=AD',ZCAD=ZBAD',

：.^ACD^Z\ABD',故①正确；

'：AC^AB,AD=AD',ZBAC^ZD'A£＞=0,

•AC_AB

"ADAD，，

：./\ACB^/\ADD',故②正确；

.SAADDZ（AD）2,

AC

：当AD_L8C时，A£＞最小，△A。。’的面积取得最小值.

而AB=AC,

:.BD=CD,

.•.当BC=C£＞时，的面积取得最小值，故③正确；

故答案为：①②③.

30.（2022•东营）如图，已知菱形ABC。的边长为2,对角线AC、8。相交于点。，点M,N分别是边BC、

CD上的动点，N8AC=NMAN=60°,连接MMOM.以下四个结论正确的是（）

①△AMN是等边三角形；

②MN的最小值是百：

③当MN最小时S^CMN=-S菱形ABC。；

④当OM_LBC时，O斛=DN・AB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】由四边形A8C。是菱形得A8=C8=AD=C。，AB//CD,ACA.BD,OA=OC,而ZBAC=/ACO

=60°,则△A8C和△AOC都是等边三角形，再证明△BAM四△CAN,得而/MAN=60°,

则是等边三角形，可判断①正确；

当AM_LBC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由NAMB=90°,乙48M=60°,A8=2可求得

可判断②正确；

当MN的值最小，则BM=CM,可证明DV=CM根据三角形的中位线定理得则△CMNs4

CBD,S^CMN——S^CBD——S^ABCD,可判断③正确；

48'

由CB=CD,BM=CN得CM=DN,再证明△0CMs/\8C0,得生=匹，所以OC2=CAf・C8,即。4?

0CCB

=DN-AB,可判断④正确.

【解答】解：：四边形A8CO是菱形，

：.AB=CB=AD^CD,AB//CD,ACLBD,OA=OC,

.•./8AC=/ACO=60",

/./\AHC和△4OC都是等边三角形，

.,./A3M=/ACN=60°,AB=AC,

；/M4V=60°,

/54M=/C4N=600-ZCAM,

.•.△8AM丝△CAN(ASA),

'：AM=AN,

...△AMN是等边三角形，

故①正确；

当AMJ_8C时，AM的值最小，此时的值也最小，

ZAMB=90°,ZABM=60°,AB=2,

.•.MN=4M=A8・sin60°=2义追=«,

2

...MN的最小值是

故②正确；

：AM_L8C时，MN的值最小，此时BM=CM,

:.CN=BM=LCB=LCD,

22

:.DN=CN,

:.MN〃BD,

:.△CMNsXCBD,

S

.ACMN（CM）2=2=工

••S^CMN~--S/\CBDt

4

S^CHD^—S变形ABC。，

2

SACMN——X—5^n-ABCD——S差彩A8CD,

428

故③正确；

:CB=CD,BM=CN,

:.CB-BM=CD-CN,

：.CM=DN,

：OM_LBC,

：.ZCMO=ZCOB=90°,

'：ZOCM^ZBCO,

.♦.△OCMS/XBCO,

.CM=OC

"ocCB'

：.OC2=CM'CB,

：.O^=DN'AB,

故④正确，

故选：D.

31.（2022•黑龙江）如图，正方形A5CO的对角线AC,8。相交于点。，点尸是CD上一点，OELO尸交

BC于点E,连接AE,BF交于点P,连接。P.则下列结论：®AE±BF；②/。出=45°；③AP-6P

=4i0P；④若BE：CE=2：3,则tan/C4E=±；⑤四边形OECF的面积是正方形ABC。面积的L其

74

中正确的结论是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每

个选项的结论进行判断即可得出结论.

【解答】解：①：四边形48CO是正方形，

：.AB=BC=CD,AC±BD,ZABD=ZDBC=ZACD=45°.

:.NBOE+NEOC=90°,

,：OEVOF,

：.ZFOC+ZEOC=90°.

：.ZBOE=ACOF.

在aBOE和△COF中，

2OBE=/OCF=45°

'OB=OC，

ZB0E=ZC0F

:.ABOEWACOF(ASA),

:.BE=CF.

在△84E和△CBF中，

'AB=BC

<ZABC=ZBCF=90°-

BE=CF

.•.△BAE丝△C8F(SAS),

:.NBAE=NCBF.

VZABP+ZCBF=90°,

:.NABP+NBAE=9Q°，

：.ZAPB=90Q.

：.AEYBF.

.•.①的结论正确；

②；乙4尸8=90°,408=90°,

...点A,B,P,。四点共圆，

2480=45°,

.•.②的结论正确；

③过点。作OHJ-OP,交4P于点，，如图,

：.HP=y/2OP.

'：OH±OP,

：.ZPOB+ZHOB=9Q0,

,：OAVOB,

：.ZAOH+ZHOB=90°.

ZAOH=ZBOP.

'：ZOAH+BAE=^45°,ZOBP+ZCBF^45°,NBAE=NCBF,

：.ZOAH=ZOBP.

在△AO”和△80P中，

<ZOAH=ZOBP

<OA=OB，

ZAOH=ZBOP

:.AAOHdBOP(4SA),

：.AH=BP.

：.AP-BP=AP-AH=HP=®OP.

...③的结论正确；

@'：BE：CE=2：3,

.,.设8E=2x,则CE=3x,

.\AB=BC=5xf

•，M£=VAB2+BE2=V29-'--

过点E作EG,AC于点G,如图,

VZACB=45°,

EG=GC=亚EC=

22

.*.AG=A/AE2_GE2=2^.V,

在RtAAfiG中，

；tanNC4E=殷，

AG

372

2X3

•.tunNCAE=~