4.6.1函数零点与方程的解(原卷版)

4.6.1函数零点与方程的解TOC\o"13"\h\z\u题型1求函数零点 3题型2判断函数零点所在区间 6题型3判断函数零点个数 7◆类型1直接法或方程法 8◆类型2零点存在性定理 8◆类型3图像法 9◆类型4利用奇偶性对称性判断函数零点个数 9题型4根据零点求参数取值范围 11◆类型1利用零点存在性定理 11◆类型2图像法 11题型5零点和差积商问题 12题型6二次函数零点问题 14题型7复合函数零点问题 14知识点一.函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．知识点二.二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点知识点三.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.知识点四.函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．知识点五.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．补充：1.平移变换2.对称变换①y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于x轴对称))y＝－f(x)的图像；②y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于y轴对称))y＝f(－x)的图像；③y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up10(关于原点对称))y＝－f(－x)的图像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像eq\o(→,\s\up10(关于直线y＝x对称))y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像．3.翻折变换①y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up11(x轴下方部分翻折到上方),\s\do4(x轴上方部分不变))y＝|f(x)|的图像；②y＝f(x)的图像eq\o(→,\s\up11(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图像题型1求函数零点【方法总结】判定函数fx（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令fx=0，将函数【例题1】（2021·高一课时练习）下列图象对应的函数中没有零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数零点的定义结合函数图象观察即可.【详解】函数图象与x轴交点的横坐标即函数的零点．故选:B．【变式11】1.（2018上·全国·高一专题练习）求下列函数的零点：（1）y=-x（2）y=x（3）y=1-log（4）y=x（5）f(x)=x【答案】（1）-5,4；（2）-2；（3）3；（4）-6；（5）0,1．【分析】(1)直接令y=0解方程即得函数的零点.(2)直接令y=0解方程即得函数的零点.(3)直接令y=0解方程即得函数的零点.(4)直接令y=0解方程即得函数的零点.(5)分x≤0和【详解】（1）令y=0，即-x2-x+20=0，解得x1=-5,（2）y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4)，令(x+2)(x（3）令1-log3x=0，解得x=3（4）y=x2+4x-12x-2=(x+6)(x-2)x-2．令(x+6)(x-2)（5）当x≤0时，令x3=0，得x=0，符合题意；当x>0时，令lnx=0，得x=1，符合题意，故所求函数f(x)=【点睛】（1）本题主要考查函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的零点常用解方程的方法.【变式11】2.（2023·高一课时练习）若函数f(x)=x2【答案】3【分析】根据零点的定义，求解方程的根即可.【详解】由f1=1+a+3=0⇒a=-4，所以令f(x)=x故答案为：3【变式11】3.（2020·全国·高一专题练习）已知函数fx=ax-b(a≠0)的零点为3，求函数【答案】0和－1【解析】根据f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3可得b＝3a.再代入函数g(x)＝bx2＋ax求解即可.【详解】由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13所以函数g(x)的零点为0和-1【点睛】本题主要考查了函数零点的计算,属于基础题.【变式11】4.（2023上·北京海淀·高一校考阶段练习）若m，n是二次函数y=x2+3x-6A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根据根与系数的关系即可求解.【详解】由m，n是二次函数y=xΔ=9+24=33>0，所以m，n是x2所以m+n=-3,mn=-6，故m2故选：C题型2判断函数零点所在区间【方法总结】零点存在定理：两端点值异号【例题2】（2023上·广东深圳·高一校考期末）函数fxA．-1,0 B．0,1 C．1,2 D．3,4【变式21】1.（2023上·重庆·高一重庆市潼南中学校校联考阶段练习）若m为函数fx=logA．12,1 B．(1,32【变式21】2.（2023上·安徽合肥·高一校考阶段练习）若x0是方程lnx+x-3=0的实数解，则A．1,1.5 B．1.5,2C．2,2.5 D．2.5,3【变式21】3.（2019上·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）已知函数fx=x+2A．1,32 B．32,2【变式21】4.（2021·高一课时练习）设x=(log1A．(-3B．(-2C．1,2D．(2【变式21】5.（2023下·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）根据表格中的数据，可以判定方程exx10123e0.3712.727.4020.12x+323456A．-1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【变式21】6.（2020·高一课时练习）根据表中数据，可以判定方程exx-10123e0.3712.277.3920.09x12345A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)题型3判断函数零点个数【方法总结】直接法即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数性质法即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数◆类型1直接法或方程法【例题31】（2023上·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【变式31】1.（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【变式31】2.（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数y=xA．0 B．1 C．2 D．3【变式31】3.（2023上·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）函数fxA．1 B．2 C．3 D．4【变式31】4.（2023上·天津河东·高一天津市第五十四中学校考阶段练习）函数fx◆类型2零点存在性定理【例题32】（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）函数fxA．1 B．2 C．3 D．4【变式32】1.（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考期中）函数f(x)=|2A．1 B．2 C．3 D．4【变式32】2.（2022上·新疆阿克苏·高一校考期末）已知函数fx=6A．1 B．2 C．3 D．0【变式32】3.（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）函数fx【变式32】4.（2023上·安徽亳州·高一蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数f(x)=x2+2x◆类型3图像法【例题33】（2023·全国·高一课堂例题）函数fx【变式33】1.（2023上·北京海淀·高一校考阶段练习）函数fxA．0 B．1 C．2 D．3【变式33】2.（2023上·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=52x【变式33】3.（2023上·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=5x-5(x≤1)x2A．1 B．2 C．3 D．4【变式33】4.（2023下·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）函数fx◆类型4利用奇偶性对称性判断函数零点个数【例题34】（2023下·湖北·高一校联考阶段练习）已知fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx单调递增，且f(-2)=0，f1A．4 B．3 C．2 D．1【变式34】1.（2023上·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x)=f(2-x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=2x-1.若函数g(x)=f(x)-logaA．5<a<9 B．1<a<9C．a>9 D．1<a≤5【变式34】2.（2023上·全国·高一专题练习）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x-3【变式34】3.（2021·高一单元测试）定义在R的奇函数fx满足fx+4=fx，且当x∈0,2时，f【变式34】4.（2022下·北京·高一校考期中）已知定义在R上的函数fx是周期为3的奇函数.当x∈0,32时，fx【变式34】5.（多选）（2023上·山东威海·高一统考期末）若fx是定义在R上的奇函数，fx+2是偶函数，当x∈0,2A．fx在-4,-2上单调递减 B．C．fx在-4,4上恰有5个零点 D．f【变式34】6.（多选）（2022上·湖北黄冈·高一校联考阶段练习）已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x≤0时，fA．x>0时，fx=-xC．fx在区间1,+∞上单调递增 D．不等式fx>0题型4根据零点求参数取值范围◆类型1利用零点存在性定理【例题41】（2023上·江苏·高一专题练习）若函数f(x)=3kx+1在(-1,1)存在零点，则实数k的取值范围是（

）A．-13C．13,+∞ D．【变式41】1.（2023上·江苏·高一专题练习）若函数f(x)=lnx-1x+a【变式41】2.（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）若函数fx=lnx-2A．2e-1,2 B．1e,1【变式41】3.（2023·全国·高一专题练习）函数fx=log2x+A．-∞,-18C．(5,18) D．-18,-5【变式41】4.（2023上·江苏南京·高一期末）已知fx=ex+4x-3A．-1 B．0 C．1 D．2【变式41】5.（2023上·四川·高一校联考期中）已知函数fx=3x-◆类型2图像法【例题42】（2024上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）若函数fx=exA．-1,2 B．-1,1 C．0,1 D．-1,0【变式42】1.（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知函数fx=-x+2,x≥1x2A．0,1 B．-1,0,1 C．0,1 D．0,1【变式42】2.（2023上·河南驻马店·高一校联考阶段练习）已知函数fx=-xx-4,x≥0【变式42】3.．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）函数fx=x【变式42】4.（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考阶段练习）设fx=2x+1,x≤0【变式42】5.（2017上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数fx(1)画出函数图象，并写出函数的值域；(2)求使函数Fx题型5零点和差积商问题【例题5】（2024上·重庆·高一重庆市第二十九中学校校考阶段练习）已知函数fx=2xx2+1,x≥0-3A．22,+∞ B．22【变式51】1.（2023上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期中）已知函数fx=log2x,x>0xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．【变式51】2.（2023上·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期中）已知函数fx=2x-1,x⩽1log3x-1,x>1，若函数y=fx-aa∈RA．0,3 B．22,3 C．2【变式51】3.（多选）（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数fx=xA．实数a的取值范围是-B．函数fxC．xD．x1+3【变式51】4.（多选）（2023上·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足：fx=f2-x，且当x≥A．fx的值域为B．fx在(-C．fx在RD．若方程|f(x)|=m有4个不同的解x1,x2,x题型6二次函数零点问题【例题6】（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知函数fx=x2-ax+4A．8,10 B．8,10 C．4,5 D．4,5【变式61】1.（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)【变式61】2.（2021上·高一课时练习）已知：f(x)=(x-a)(x-b)-2的零点α,β，那么a，b，α,β大小关系可能是（

）A．α<a<b<β B．a<α<β<bC．a<α<b<β D．α<a<β<b【变式61】3.（2020上·湖南常德·高一校考阶段练习）已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，m，n是函数f(x)的两个零点(m<n)，则实数m，n，a，b的大小关系为（

）A．m<a<b<n B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<n<b【变式61】4.（2023上·广东汕头·高一汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数f(x)=ax(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若