小升初衔接数学讲义

第一讲数系扩张一有理数（一）有3个有理数a,b,c,两两不等，那么中有几个负数？

一，【问题引入及归纳】■尿设三个互不相等的有理数，既可表示为1,的形式式，又可表

1,正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

示为0,力的形式，求/侬+户07。

2,有理数的两种分类：a

3,有理数的本质定义，能表成?互质）。三个有理数a,h,c的积为负数，和为正数，且

n

4,性质：①顺序性（可比较大小）；x"+_L+£+叫四+国贝小加+5+|的值是多少？

|a|\b\|c|ahbeac

②四则运算的封闭性（0不作除数）；

Mo7

③稠密性：随意两个有理数间都存在无数个有理数。若a,4c为整数,且|a-br0+|c-a1=1,试求|c-a|+|a-Z）|+W-c|的值。

5,肯定值的意义及性质：三，课堂备用练习题。

①②非负性（|止0,〃2±0）1,计算：1+2-3-4+5+6-7-8+-+2005+2006

2,计算：lX2+2X3+3X4+—+n（n+l）

③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。3,计算：5+9+17+33+65+129_13

248163264

ii）几个非负数的和为0,则他们都为0。

4,已知a*为非负整数，且满意la-〃+曲=1,求〃涉的全部可能值。

【典型例题解析】：

蕉）若加o,则回+回-她的值等于多少？5,若三个有理数“Ac满意，求的值。

abab

假如，"是大于1的有理数，那么，”肯定小于它的（D）第二讲数系扩张一有理数（二）

A.相反数B.倒数C.肯定值D.平方

•已知两数°,〃互为相反数，c,"互为倒数，*的肯定值是2,求一，【实力训练点】：

x2-（a+b+cd）x+（a+b产+（-cd产，的值。1,肯定值的几何意义

■）假如在数轴上表示a,力两上实数r------0-6--------*①"Ra-0|表示数a对应的点到原点的距离。

点的位置，如下图所示，那么|a-b|+|a+b|化简②|a-“表示数a,。对应的两点间的距离。

的结果等于（）2,利用肯定值的代数，几何意义化简肯定值。

A.2aB.-2aC.0D.2b二，【典型例题解析］:

已知（a-3）2+2-2|=0,求/的值是（）(1)若-2WaVO,化简|a+2|+|a-2|

A.2B.3C.9D.6（2）若XYO,化简

解答：4,x是什么样的有理数时，下列等式成立？

设OYO,且，化|x+11-1x-21(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|(2)|(7x+6)(3%-5)|=(7.r+6)(3%-5)

解答：5,化简下式：

«,。是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

(1)|a+〃=|a|+|b|;(2)|必|=|0|勿;第三讲数系扩张一有理数(三)

(3)\a-b\=^b-a\;(4)若|a|=/：)则a=b

一，【实力训练点】：

(5)若|a|Y〃，则aYb(6)若a>b,则|aI*/?|

1,运算的分级及运算顺序；

解答：

2,有理数的加，减，乘，除及乘方运算的法则。

若|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范围。

(1)加法法则：同号相加取同号，并把肯定值相加；异号相加取肯定值

解答：

较大数的符号，并用较大肯定值减较小肯定值：一个数同零相加得原数。

不相等的有理数a*,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,假如

(2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

\a-b\+\b-c\^a-c\,那么B点在A,C的什么位置?

(3)乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把肯定值相

解答：

乘。

设“YbYCY",求|x-a|+|x-〃|+|x-c|+|x-的最小值。

(4)除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

解答：

3,精确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

abcde是一个五位数，aYbYCYd,求|a-"+|6-c[+|c-d|+|d-e|的最大值。

二，【典型例题解析】：

解答：

计算：0.75+(省+(毋125)+卜吟卜(司

设％,外,aw都是有理数，令M=(q+%+%+…+a2m5)

解答：

(%+%+%■I---2---Fa2ml6)(%+/+%H200s)，试比较M,N的大

计算：(1),56+(-0,9)4-4.4+(-8,1)4-1

小。

解答：(2),(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25

三，【课堂备用练习题】：(3),(-41)+阊+(词+圜

1,已知f(x)=|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2002|求/出的最小值。

解答：

2,若]a+Z)+ll及(a-b+l)2互为相反数，求3a+&-l的值。

计算:①卜3.12积-甲-(+1.75)

3,假如ab"(),求的值。

①凑整（凑0）；②巧用安排律

③去，添括号法则；④裂项法

4,综合运用有理数的知识解有关问题。

二，【典型例题解析】：

1计算0.7x16.6x--2.2-i—F0.7x—+3.3-；—

1173118

解答：

计算：（1—------）-（1-1-1..........................—）

2319962341997231997

解答：解答：

计算：①-22+（-2）2-|3.14-T|-备T-3.14I

计算：（1）（-2），+3x（-iy-（-I）4

解答：

（2）-lIW8-（l-0.5）xlx[3-（-3）2]

化简：（x+y）+（2x+，^y）+（3x+2＞）+…（9x+焉力并求当x=2,

（3）自（21枭卜弓卜“24

y=9时的值。

解答：

解答：

计算：[1+专一㈢x（-2,*（-10-5-0.5）

•计算…斜导导…碧

解答：

解答：

■）计算：

比较S”=；+；+（+尚+…+提及2的大小。

解答：

解答：

第四讲数系扩张一有理数（四）计算：

一，【实力训练点】：解答：

1,运算的分级及运算顺序；■）已知a,B是有理数，且“Y〃，含，，，请将a,Ac,x”按从小到大的顺序排

2,有理数的加，减，乘，除及乘方运算的法则。列。

3,巧算的一般性技巧：

解答:(9)能被5整除的数。

(10)随意一个三位数。

三，【备用练习题】：

:。代数式的求值：

1,计算(1)—+—+—4--!—+—!—(2)-^-+—?—+••.+——-——

428701302081x33x599x101(1)已知，求代数式的值。

2,计算：2007--2006-+2005--2004-+.

232323(2)已知x+2.y2+5的值是7,求代数式3x+6f+4的值。

3,计算：(­J)x(Tg)x(T()x…(3)已知a=2Z?;c=5a,求的值(c工0)

4,假如-1)2+16+21=0,求代数式的值。(4)已知，求的值。

5,若明力互为相反数，c,4互为倒数，■的肯定值为2,(5)已知：当x=l时，代数式外、尔+1的值为2007,求当x=-l时，代

a2-b2+—+的值。数式Px3+办+1的值。

cd

(6)已知等式(2人-7如+(34-8为=8工+10对一切工都成立，求A,B的值。

第五讲代数式(一)

(7)已知(1+工尸。7)=々+以+以2+加，求4+b+C+d的值。

一，【实力训练点】：(8)当多项式+〃l1=0时，求多项式n?+2nr+2006的值。

•找规律：

(1)列代数式；(2)代数式的意义；

(3)代数式的求值(整体代入法)I.(1)(1+2)2-12=4(1+1);(2)(2+2>-2：=4(2+1)

二，【典型例题解析】：(3)(3+2)2-3?=4(3+1)(4)(4+2)2-4?=4(4+1)

用代数式表示：第N个式子呢？

(1)比X与了的和的平方小X的数。II.已知；；

(2)比a与6的积的2倍大5的数。；若

(3)甲乙两数平方的和(差)。

(明方为正整数)，求"+方=?

(4)甲数及乙数的差的平方。

III.13=12;13+25=32;13+23+33=62;15+23+33+43=102;

(5)甲，乙两数和的平方及甲乙两数平方和的商。

想：

(6)甲，乙两数和的2倍及甲乙两数积的一半的差。

例4(如右图)三个圆的面积为K,两个阴影部分面

(7)比a的平方的2倍小1的数。

积相等，/以下的面积是9,三个圆覆盖的面积是2K+2,求K

(8)随意一个偶数(奇数)

的值。/已知,+,"-1=0,求加+2己+2005的值o

假如a+19=b+9=c+8,则(a-")2+S-c)2+(c-a)2等于多少？解答：

两个自然数的和及差的乘积是1996,求两数的和？已知-""1=,求3,“2--2"?的值。

三，【备用练习题工解答：

1,若(,"+”)个人完成一项工程须要，“天，贝U”个人完成这项工程须要多少；•)已知。力均为正整数，且他=1,求的值。

天？

解答：

2,已知代数式3y2-2)，+6的值为8,求代数式的值。

求证!1[.黎22二2,等于两个连续自然数的积。

3,某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，2006个I2006个2

解答：

而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千

；•已知/C=l,求」一+，—+的值。

克多少元？ab+a+1bc+b+\ac+c+1

解答：

4,已知(“=1,2,3,…,2006)求当。[=1时，q%+。汹+…+0MoM0m=?

[.一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最终

第六讲代数式(二)

一，【实力训练点】：一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？

(1)同类项的合并法则；解答：

(2)代数式的整体代入求值。三，【备用练习题】：

二，【典型例题解析】：1,已知必=1,比较M,N的大小。

^已知多项式2>+5/-9*)3+3x+3,uy2-0iy+7经合并后，不含有「的项，求2,已知求丁-2工+1的值。

2雨+"的值。3,已知上=上=二=/，求K的值。

y+zx+zx+y

解答：4,a=3",b=4",c=5,",比较a,b,c的大小。

当50-(2a+3〃)2达到最大值时，求1+4〃2-9必的值。5,已知2/-3a-5=0,求4/-12/+9"-10的值。

解答：第七讲发觉规律

已知多项式2"-/+a-5及多项式N的2倍之和是4a*-2a2+2a-4>求N?

一，【问题引入及归纳】

解答：

我国闻名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再

,'.、・a若a,4c互异，且，求x+y+Z的值。

从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们相识客观法则的方法之一”。这种

解答：

以退为进，找寻规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举

例说明。读一读:式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然

实力训练点：视察，分析，猜想，归纳，抽象，验证的思维实力。数的和，由于上述式子比较长，书写也不便利，为了简便起见，我们可将

100

二，【典型例题解析】“1+2+3+4+5+…+100”表示为£“，这里“Z”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…

■＞）视察算式：«=1

+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如

1+3=剑③氾,1+3+5="21+3+5+7空至4+3+5+7+9="以,…，按规律KI5+23+33+4,+53+6,+75+8'+9'+10'"可表示为,同学们,通过以上材料的阅读，

2222

填空:1+3+5+・・・+99=?,1+3+5+7+・・・+（2〃-1）=?请解答下列问题：

（1）2+4+6+8+10+-+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求

•;如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。视察图形的变化规律，

和符号可表示为；

写出第"个小房子用了多少块石.A

••••（2）计算：=（填写最终的计算结果）。

子T？•••••:••••:•:・:・:•:■视察下列各式，你会发觉什么规律？

:•用黑，白两种颜色的正::::::::::::::六

3X5=15,而15=4?-15X7=35,而35=6?T……

边形地面砖（如图所示）的规律，拼

11X13=143,而143=12-1.......

成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第〃个图案中有

将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。

白色地面砖多少块？

；■）你从右表归纳出计算r+2，+33+…+/的分式,并算出「+2：'+3：'+…+100：'的

■）视察下列一组图形，如图，依据其变化规律，可得第10个图形中三角

值。

形的个数为多少？第〃个图形中三角A△

视察右图，回答下列问题：XX旨0②三，【跟踪训练题】1所在学校姓名联系

③④

1,有一列数4,%,%必…%,其中：a,=6X2+1,%=6X3+2,%=6X4+3,%=6

（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个Um

X5+4;…则第"个数a“=,当%=2001时，，尸。

点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少

2,将正偶数按下表排成5列

个点?

第1列第2列第3列第4列第5列

（2）假如要你接着画下去，那第五层应当画多少个点,

第一行2468

第n层有多少个点？

第：行16141210

（3）某一层上有77个点，这是第几层？

第三行18202224

（4）第一层及第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没

..........2826

有发觉什么规律？依据你的推想，前12层的和是多少？

依据上面的规律，则2006应在行列。

3,已知一个数列2,5,9,14,20,x,35…则x的值应为：()时，n4n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？

4,在以下两个数串中：10,计算2008层1-------L------

1,3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,•••,

搐八千T1一综合练习(一)

1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个。

A.333B.334C.335D.3361,若,求的值。I—J13

5,学校阅览室有能坐4人的方桌，假△△2,已知|x+y-9|及(2x-y+3)2互翔目反数，求

如多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌△△△

3,己知|x-2|+x-2=0,求x的范围。

拼成一行能坐6人(如右图所示)依据这△△

种规定填写下表的空格：4,推断代数式的正负。

拼成一行的桌子数123・・・n

5,若，求的值。

人数46・・・

2

6,右'|ab-21+(b-I)=0,AR-—I----------4----------F•■■

6,给出下列算式:ab(a+1)3+1)(a+2)(b+2)

视察上面的算式，你能发觉什么规律，用代数式表示这个规律:7,已知-2YXY3,化简|X+2|-|X-3|

7,通过计算探究规律：8,已知ab互为相反数，c,4互为倒数，，"的肯定值等于2,P是数轴上的表

15，=225可写成100X1X(1+1)+25

示原点的数，求的值。

25^=625可写成100X2X(2+1)+25

9,问口中应填入什么数时，才能使|2006*口-2006|=2006

35?=1225可写成100X3X(3+1)+25

45三2025可写成100X4X(4+1)+2510,域也c在数轴上的位置如图所一-----一-------_►示，

卜aQc1x

75-=5625可写成化简：

归纳，猜想得：(10n+5)J|a+/?|+|/?-l|-|a-c|-|l-c|-|2t-3|

依据猜想计算：1995!

11,若“(UYO,求使|x-a|+|x-b|=|a-〃|成立的x的取值范围。

8,已知『+22+3?+…+1=1"("+1)(2"+1),计算:

6J

12计算，(2+1)(2?+1)(2+1)(2*+1)(2"+1)

112+122+132+—+192-；

9,从古到今，全部数学家总盼望找到一个能表示全部质数的公式，有位学者]3已知2004x2004-2004fc_2005x2005-2005

'，0~~2003x2003+2003)2004x2004+2004,

提出：当n是自然数时，代数式i?+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40

2006x2006-20063，

c=---------------,本abco已知x=l是方程的解，求代数式("/-7,”+9严，的值。

2005x2005+2005

解答：

14,已知，求P,4的大小关系。

关于x的方程(2£T)x=6的解是正整数，求整数K的值。

15,有理数a也c均不为0,且〃+"c=0。设,yKL+曳+里求代数式

b+cc+aa+b解答：

/-99x+2008的值。

就若方程及方程2s-个=2-平同解，求，”的值。

期解答：4(，

第九讲一元一次方程(一)

关于x的一兀―"次方程(nr-l"-Q"+l)x+8=0求代数式200("?+x)(x-2,")+,"的

知识点归纳：变形名具体做法变形依重点提值。

1,等式的性质。解答:

称据示

X