上海杨浦凤城高级中学2022年度高一数学文期末试题含解析

上海杨浦凤城高级中学2022年度高一数学文期末试题

含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.△ABC中，若C=2itCOS力，则△ABC的形状为()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三

角形

参考答案：

B

2.已知二次函数y=2》2—l在区间口,b］上有最小值一1,是下面关系式一定成立的是

()

A.aW0<b或a<0WbB.a<0<b

C.a<b<0或。<0<bD.0<a<b或a<b<0

参考答案：

A

3.(5分)下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是()

x2

A.y=(Vx)2B.y=Vx^C.D.y=x

参考答案：

B

考点：判断两个函数是否为同一函数.

专题：证明题.

分析：逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关

系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数.

解答：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；

选项B中的函数与.已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选

项B满足条件；

选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；

选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；

故选B.

点评：本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域、值

域、对应关系完全相同时，才是同一个函数.

4.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=3'+x3-5,则函数y=f

(x)的零点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

C

5.下列问题中，应采用哪种抽样方法()

①有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；

②有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

③有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；

④有甲厂生产的300个篮球，抽取50个入样.

A.分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样

B.分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样

C.抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样

D.抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法

参考答案：

C

【考点】简单随机抽样.

【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计.

【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；

如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体

中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样.

【解答】解：总体容量较小，用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽

样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜

用系统抽样，

故选C.

【点评】本题考查收集数据的方法，考查系统抽样，分层抽样，简单随机抽样的合理运

用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

6.(5分)若直线经过A(0,4),B(V3,1)两点，则直线AB的倾斜角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

参考答案：

D

考点：直线的倾斜角.

专题：直线与圆.

分析：由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案.

解答：•.•直线经过A(0,4),B(V3,1)两点，

设直线AB的倾斜角为a(0°<180°),

由tana=-J^,得a=120°.

故选：D.

点评：本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题.

(3a-1)x+4a(x<Cl)

7.已知f(x)=1lo§aX是(-8,+8)上的减函数，那么a的取值

范围是()

11j.1j.

A.[7,3)B.(0,3)C.(7,1)D.(3,1)

参考答案：

A

【考点】函数单调性的性质.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由f(x)为(-8,+oo)上的减函数，知(3a-1)x+4a递减，logaX递减，且

’3aT<0

<0<a<l

(3a-1)Xl+4aelog』，从而得I⑶-口Xl+4a>logal>解出即可.

【解答】解：因为f(X)为(-8,+OO)上的减函数，

3a~1<CO

<0<a<l

所以有.(3aT)X1+4a>loga1,解得六a<q

故选A.

【点评】本题考查函数单调性的性质，属中档题.

8.下列判断正确的是()

A.1.72J>1.73B,0.82<0.^c,不？D.

1,703>0,903

参考答案：

D

9当OVaVl时,在同一坐标系中，函数y—T，与y=log仕的图象是()

参考答案:

C

【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质.

【专题】压轴题；数形结合.

【分析】先将函数y=a-'化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数

的单调性即可判断出结果

【解答】解：•.•函数y=a”与可化为

由x

函数y=a,其底数大于1,是增函数，

又y=l0glix,当0<aVl时是减函数，

两个函数是一增一减，前增后减.

故选C.

【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以

及数形结合的思维能力.

工2L

10.如果cos(n+A)--2,那么sin(2+A)的值是()

1_工返返

A.-2B.2C.-2D.2

参考答案：

B

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值.

【分析】已知等式利用诱导公式化简求出cosA的值，所求式子利用诱导公式化简后将

cosA的值代入计算即可求出.

【解答】解：’.'cos(n+A)=-cosA=-2,即cosA=2,

,*.sin(2+A)=cosA=2.

故选：B.

【点评】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，是基础

题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若xG(0,2n),则使A/1-sin2x=sinx-cosx成立的x的取值范围是.

参考答案：

兀5兀

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinxecosx,再由

已知x的范围求得x的具体范围.

【解答】解：

-222=

•/sin2x=Vsinx+cosx~2sinxcosx=V(sinx-cosx)Isinx-cosx|-sinx

-cosx,

sinx^cosx,又xG(0,2"),

n5兀

.,.xe[44].

715-

故答案为：eiT'~T].

12.已知集合冲一4,8={(")[y=x+网，且Zc5“，则实数

附的取值范围是

参考答案：

[-7,772]

13.在AABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在AM上且满足方=2而，则

PA'(PB+PC)=.

参考答案：

-4

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】计算题.

【分析】先根据AM=3,点P在AM上且满足方=2诬，求方|的值，再根据M是BC的中

点，计算通+正，最后计算威•(丽+正)即可.

解：VAM=3,点P在AM上且满足萩=2询，A|AP=2

：M是BC的中点，,PB+PC=2W=AP

.-.PA*(PB+PC)=PA?AP=-IAP|2=-4

故答案为-4

【点评】本题考查了向量的加法与向量的数量积的运算，属基础题，必须掌握.

14.函数y+3恒过定点。

参考答案：

(3,4)

略

15.已知函数产=湎二杳歹>"€口2对于满足<巧<2的任意不，〜，给出下列

结论：

①/&)_/(R)一反；②'/(区)>；

③区一^X/U2)-/(xj)]<o④(--oXA/)-/(^)1>0

其中正确结论的序号是.

参考答案：

②③

16.已知向量）与否的夹角为120,且|a|=2,巧|=1,则|。+25|=

参考答案：

2

17.已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P,使得4APB的最大边是AB发生的概率为

1_AD

2,贝尾=

参考答案:

VI

4

【考点】几何概型.

【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件”在矩形ABCD的边CD上随

机取一点P,使AAPB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概

1AD

率2,从而求出屈

【解答】解:记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使aAPB的最大边是AB”为事件

M,试验的全部结果构成的长度即为线段CD,

1

构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=WCD时，AB=PB,如图.

设CD=4x,则AF=DP=x,BF=3x,再设AD=y,

则PB=7BF2+PF2=V9x2+y2,

丁力工近ADVI

x/+y=4x,解得4x=4,从而AB=4.

近

故答案为：4.

DPEC

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知动圆C经过点力（2,一3）和8（-2,-5）

（I）当圆C面积最小时，求圆C的方程；

（II）若圆C的圆心在直线3x+y+5=°上，求圆C的方程。

参考答案：

（I）要使圆C的面积最小，则为圆C的直径，______2分

同、。（0,-4）出］=讶明=3

圆心'」,¥任乙----------4分

所以所求圆c的方程为：,+（»+4）2=5__________6分

k=2

（H）法一：因为期一5,中点为（a）,

所以幺H中垂线方程为y+4=一如，即2x+y+4=0_________8夕

2x+y+4=0fx=-l

<

解方程组［3x+v+5=。得：U=-2,所以圆心C为______

根据两点间的距离公式，得半径厂=/记，____________11分

因此，所求的圆C的方程为@+1）2+8+2）2=10______J2分

法二：设所求圆c的方程为（x_a）2+Cy_gy=户，

根据已知条件得

’(2-4+(-3-与2=户

<(―2—a(+(—5—占尸=/

3d+3+5=0

---------6分

a=-1

=<8=-2

所以所求圆c的方程为（X+1）2+O+2）2=10._________]2分

略

/（x）=|x|+—-1,

19.已知函数X（XHO）

（I）若对任意xwR,不等式/（2X）＞0恒成立，求冽的取值范围;

（2）讨论函数/（/零点的个数.

参考答案：

,”、、仆|2”|："-彳一1＞°

解：（1）由〃2）＞0得।2',

变形为（2"），-2”+演＞0,即加＞2*—（2y

---2分

2,一⑵)2=一(2"-与+!

而24,

2X=-

当2即x=T产”3,

所以

1

m>—

4

-------------6分

(2)由/(工)=0可得x|x|-x+，=0(xw0),变为活=_x|x|+x(xwO)

।-x*-x,x•>C

令烈X；=x-x

|x:-x,x<C

■9分

作)=Z(x的图像及直统；=，，:，由曲像可想：

当也>1或也<时，有1人零点.

44

当，”=：或”：=(：或"；=-：时，/•苜2个零点;

当。<<:或(；时，j】'x)有3i零点.

略

20.如图，在直角梯形A8CZ)中，ABHDC,ZBAD=9QT,0?=4,JD=2,

刀。=3,点£在CO上，且。E=2,将44Z坦沿AE折起，使得平面血，平面ABCE

(1)求证:OGJ■平面A8CE；

(2)求四棱锥ZXA8CE的体积;

BP

(3)在线段3。上是否存在点尸，使得CP〃平面3E?若存在，求丽的值；若不存

在，请说明理由.

参考答案：

之也BP=l

(1)见证明；(2)(3)BD4

【分析】

(1)证明0G1/E,再根据面面垂直的性质得出ZJGJ■平面3CE；

(2)分别计算。G和梯形幺故茁的面积，即可得出棱锥的体积；

(3)过点C作CF〃本交41于点产，过点F作史P〃切交。射于点P,连接尸C,

BP

可证平面C万〃平面40E,故CP〃平面3E,根据丑P//MJ计算BD的值.

【详解】(1)证明：因为G为幺E中点，AD=DE=2,

所以ZJG1/E.

因为平面平面㈤JCE,

平面㈤平面=DGu平面

所以Z)G_L平面4SCE.

ADDE

(2)在直角三角形㈤JE中，易求dE=2及，则一AE

所以四棱锥刀-幺膜布的体积为

(3)过点C作〃幺E交于点尸，则/尸:m=1:3.

过点尸作FPUZD交DB于点P,连接用C,则刀尸:7®=1:3.

又因为CF//AE,ZEu平面加国b①平面底，

所以CF〃平面㈤JE.

同理口〃平面ZDE.

又因为C〃cEF=F,

所以平面CFP〃平面3E.

因为CPU平面C即，

所以CP〃平面幺迎.

3

所以在此上存在点尸，使得CP〃平面ADE,且罚一..

【点睛】本题主要考查线面垂直的性质与判定，线面平行的性质与判定以及四棱锥的体

积，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.计算柱锥台的体积的关键是根据条件找出相

应的底面积和高，如果给出的几何体不规则，需要利用求体积的一些特殊方法：分割法、

补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.

-----<x<O,sinx+cosx=-

21.(18)(本小题满分12分)已知25.

(I)求sinx—cosx的值;

3sin2—-2sin-cos-4-cos2—

2222

tanx+---

(II)(II)求tanx的值

参考答案：

7

sinx-cosx=——=swc。亚2-四=(上皿2」)=-火

⑴5⑵255125

sinx+cosx=-，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2z=—,

解：(I)由525

2sinxcosx=—-.•:(sinx-cosx)2=l-2sinxcosx=—.

即2525.....4分

---<x<0,：.sinx<O.cosx>O.sinx-cosx<0,

又2

7

sinx-cosx=—

故5..............7分

(ID