小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-1星题（含解析）

几何-直线型几何-蝴蝶模型-1星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式少考

2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模

型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的

几何知识

知识提要

蝴蝶模型

•任意四边形蝴蝶模型（1）S1：S2=S4：53（2）0A-.0C=（Si+S2）:（S4+S3）

（）：：：：：：：

•梯形蝴蝶模型1S2=S4（2）SiS2=54:S3（3）515352$4$梯形=。282£18:山）:（（1+

by

精选例题

蝴蝶模型

1.如图，四边形4BCD的对角线4c与BD交于点0.如果△4BD的面积等于△BCD的面积的土

且40=2,D0=3,那么CO的长度是。。的长度的倍.

【答案】2

【分析】根据蝴蝶模型：嘿=；=第0C=2x3=6,C。的长度是。。长度的6+3=2倍.

2.4BCD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.那么阴影局部的面

积是平方厘米.

【答案】21

【分析】连接4c.

由于ABCD是平行四边形，BC-.CE=3:2,所以CE:AO=2:3,

根据梯形蝴蝶定理，

SACOE：-^A/IOC:-^ADOF:^t^AOD

=22:2x3:2x3:32

=4:6:6:9,

所以

SMOC=6（平方厘米）,Su。。=9（平方厘米）,

又

ShABC=SMCD=6+9=15（平方厘米）,

阴影局部面积为

6+15=21（平方厘米）.

3.如下列图，梯形ABCD的4B平行于C。，对角线AC,BD交于0,△A0B与△B0C的面积分别

为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形48CD的面积是平方厘米.

［答案］144

【玄析】根据梯形蝴蝶定理，

SA4OB：SABOC=a。:ab=25:35,

可得

a:b=5:7,

再根据梯形蝴蝶定理，

SAAOB-S^DOC=。2:炉=52:72=25:49,

所以

SADOC=49（平方厘米）.

那么梯形ABCD的面积为

25+35+35+49=144（平方厘米）.

4.如图，长方形中，假设三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5,四边形2的面积为36,那

么三角形1的面积为.

【答案】16

【分析】做辅助线如下：

利用蝴蝶模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3,所以三

角形1的面积就是36x=16,三角形3的面积就是36x=20.

4+54+5

5.如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,。。的长是16,OB的长是9.那么

四边形OEC。的面积是.

【答案】119：

【分析】解法一：连接DE,

依题意

11

S&AOB=2X8。x力。=2x9x4。=54,

所以

A0=12,

那么

11

S&AOD=5xDOxAO=-x16x12=96.

又因为

一］

S&AOB~S、DOE=54=—X16X0E,

所以

3

0E=6-,

4

得

1133

S>BOE=5xBOxE0=~x9x6--=30—,

ZZ4-0

所以

S()ECD=S&BDC-S2BOE

=S^ABD~S^BOE

3

=(54+96)-30-

8

5

=119引

解法二：由于

SRAOD：SXAOB=OD'.OB=16:9,

所以

16

S〉AOD=54x豆=96,

而

S&DOE~S&AOB=54，

根据蝴蝶定理，

X

S〉BOEXS»AOD=S&AOBS^DOE，

所以

3

S^BOE=54x54+96=30

所以

SoECD=S&BDC-S&BOE

—S—BO-S^BOE

3

=(54+96)-30-

o

5

=119引

6.如下列图所示，点C在线段AE上，三角形4BC和三角形CCE都是正三角形，且尸是线段BC的

中点，G是线段0E的中点.假设三角形4BC的面积为27,三角形4FG（阴影局部）的面积是.

【答案】13.5

【分析】如下列图所示，连接CG,那么4/HICG,根据梯形蝴蝶模型，得到

11_

S^AFG=S&AFC~=2x27—135

7.如图，梯形4BCD的对角线相互垂直.三角形40B的面积是12,。。的长是4,求0C的长.

【答案】6

【分析】SACOD=SAAOB=12,1xOCxOO=12,OC=6.

8.如图，$2=2,53=4,求梯形的面积.

【答案】9

【分析】设Si为份,S3为炉份.

根据梯形蝴蝶定理，

b2

S3=4=t

所以

b=2;

又因为

S2=2=axb,

所以

a=1;

那么

Si=M=i.

54=axb=2,

所以梯形面积

S=S14-S24-S34-S4=14-2+44-2=9I

或者根据梯形蝴蝶定理，

S=(a+b)2=(1+2)2=9.

9.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2,问三角形A。。的面积是多少？

【答案】4cm2

【分析】根据梯形蝴蝶定理，a2-b2=22

a:b=1:1.5=2:3,S^AOD：S^BOC=2:3=4:9,

所以SAAOO=4(cm2).

10.如图，在△ABC中，M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于。，假设AAOM、AABO

和△BON的面积分别是3、2、1,那么AMNC的面积是多少？

【答案】22.5

【分析】这道题给出的条件较少，需要运用共边模型和蝴蝶模型来求解.

根据蝴蝶模型得

c_SA/IOMxS^BON_3x1_3

3AMON=7="o-=9

J—OB/L

设SAMNC=x,根据共边模型我们可以得

S&ANM_S—8M

S&MNCS^MBC

3+|_3+2

x1+1+:

解得x=22.5.

11.下列图中的正方形4BCD的面积为1,M是4D边上的中点.求图中阴影局部的面积.

【答案】|

【分析】令三角形AGM的面积为1份，那么三角形GMC的面积为2份，三角形MCD的面积为3份,

所以1份=16=*那么题目中所求阴影局部面积为：^X4=i.

12.图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三

角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【答案】21

【分析】在A4BE,ACDE中有乙4EB=NCED,所以AABE,△CDE的面积比为

(AExEB):(CExDE).

同理有AADE,△BCE的面积比为

(AExDEWBExEC).

所以有

S^ABEXS^cDE=^LADEX

即

S^ABEX6=S^ADEX7,

所以有A4BE与△?!£»£■的面积比为7:6,SMBE=三x39=21公顷，54加=名义39=18公

6+76+7

顷.显然，最大的三角形的面积为21公顷.

13.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9平方厘米，问三角形4。。的面积是多少？

【答案】4平方厘米

22Z2

【分析】根据梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3,S^AOD：S^BOC=a:b=2:3=4:9,

所以SAAOD=4（平方厘米）.

14.如图：求三角形4DE的面积.

【答案】10

【分析】应用蝴蝶模型可得：三角形4DE的面积等于12x5-6=10.

15.如下列图，四边形力BCD中，对角线4C和BC交于。点，4。=1,并且黑北歌然=|，那

么。C的长是多少？

【答案】|

【分析】根据蝴蝶定理，彗鬻蠹卷所唱=|,又4。=1,所以C。/

16.右图中4BCD是梯形，48ED是平行四边形，三角形面积如下图（单位：平方厘米），阴影

局部的面积是平方厘米.

【答案】4

【分析】连接4E.

由于力。与BC是平行的，所以4ECD也是梯形，那么SA°CD=SAOAE.根据蝴蝶模型，

SAOCDxSAOAE=S&OCExSAOAD=2x8=16,

故SAOCJ=161所以SAOCD=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形ABED中，

_1

SAADE=2s平行四边形

1

=-x（16+8）

=12（平方厘米），

所以

SAAOE=SMDE—^AXOD

=12-8

=4（平方厘米），

根据蝴蝶模型，阴影局部的面积为

8x2+4=4（平方厘米）.

17.如图，一个长方形被一些直线分成了假设干个小块，三角形4DG的面积是11,三角形BCH

的面积是23,求四边形EGFH的面积.

【答案】34

【分析】

连接EF,ShEFC=S^ADG,SABCH=SXEFH・所以，四边形EGFH的面积是11+23=34.

18.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线4C、BO分成四个局部，△40B面积为1

平方千米，ABOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方

千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【答案】0.58平方千米

【分析】应用蝴蝶模型

SHAOBxSACO。=^ABOCX^HAOD>

S^AOD=3X1+2=1.5（平方千米），

四边形ABC。（公园）的面积是

1+2+34-1.5=7.5（平方千米）,

人工湖的面积为

7.5-6.92=0.58(平方千米).

19.如下列图，四边形48co中，对角线4c和BD交于。点，AO=1,并且$\dfrac{\text{三角形

$ABD$的面积}}{\text{三角形$CBD$的面积}}=\dfrac{3}{5}$,那么。C的长是多少？

【答案】|

【分析】根据蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形$人8口$的面积}}{\text{三角形$CBD$的面积}}=

\dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以羽=£又4。=1,所以CO=g.

20.图中AAOB的面积为15cm2,线段。8的长度为。。的3倍，求梯形ABCD的面积.

【答案】80cm2

【分析】在△48D中，因为

S^AOB=15(cm2),

且OB=3。。，所以有

S—OD-S^AOB+3=5(cm2).

因为△4B。和△4C0等底等局，所以有

SAAB。=^AACD-

从而

S^OCD=15(cm2),

在△BCD中，

SABOC=3SAOC°=45(c7n2),

所以梯形面积：

15+5+15+45=80(cm2).

21.如图中四边形力BCO的对角线4c和8D交于点。，如果三角形力的面积是30平方厘米，三

角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米.请问：三角形BOC的面积是

多少？

【答案】30

【分析】根据题意可得：\[\text{三角形$8人口$与三角形$8©口$的面积比}=AO:CO=30:50=

3:5,\]所以三角形BOC的面积为48x1=30.

22.如下列图所示，在梯形中,AB||CD,对角线AC,BD相交于点0.AB=5,CD=3,

且梯形ABCO的面积为4.求三角形048的面积.

【答案】

【分析】根据蝴蝶模型.根据题意，AB=5,CD=3,CD-.AB=3-.5,

那么根据蝴蝶模型，

SADOC：S>AOD：S〉AOB：SMOB=9:15:25:15,

令S-08=25份，那么梯形4BCD共有：

9+15+25+15=64(份).

所以1份为：

1

4+64=,

16

那么三角形04B的面积为

125

i6X25=16-

23.如图，梯形4BCD中,AAOB、△COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形4BCD的面积.

【答案】7.5

【分析】根据梯形蝴蝶定理，

SMOB：SACOD=。2：力2=4:9,

所以a:b=2:3,SAAOD：SAAOB=ab：n2=b:a=3:2,

,3

S^AOD~S&COB~1,2x2=1.8.

S梯形BACD=I?+18+1.8+2.7=7.5.

24.图中的四边形土地的总面积是48平方厘米，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个

小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米.那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？

【答案】23|

【分析】在△40B,△C。。中有乙4。8=ZT。。，所以AAOB,△COD的面积比为（4。X

OB）:（COx0D）.同理有△400,△BOC的面积比为（40X00）:（80x。。）.所以有SAAOBX

SXCOD=SKAODXSGBOC，所以有44。8与44。。的面积比为4:3,ShA0B=x（48-3-

4）=23"平方厘米），S-OD=捻乂（48-3-4）=17；（平方厘米），最大的三角形面积是

23,（平方厘米）.

25.如下图，BD,C尸将长方形ABC。分成4块，ZiDEF的面积是4cm2,△CED的面积是

6cm2.四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【答案】11

【分析】连接BF,在右边的梯形BCDF中，由梯形根本结论知：S4BEF=S“CDE=6,所以

SABEC=9,SABFC=9+6=15,又AF:BC=（6-4）:6=1:3,所以S—BF=5，所以四边形

4BEF的面积是11平方厘米。

26.如图，每个小方格的边长都是1,求三角形48c的面积.

【答案】y

【分析】因为BD:CE=2:5,S.BD||CE,所以。44C=2:5,S-BC=呆，5ADBC=|x2=

10

7•

27.长方形ABCC中，对角线交于。点，F是BC上一点，连接AF、DF.如图得到三块阴影，阴

影的面积之和是28平方厘米，长方形的长是8厘米，宽是6厘米.求四边形。EFG的面积.

【答案】4平方厘米.

【分析】由平行线定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形CDG的面积就等于4FG的面积.

这样阴影面积之和就变成了△48。和四边形0E尸G的面积之和.

前者面积是

8x6+2=24（平方厘米）.

后者面积是

28-24=4（平方厘米）

即为所求.

28.如下图，BD、CF将长方形4BCD分成4块，三角形DEF的面积4平方厘米，三角形CEC的面

积是6平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

【答案】11

【分析】连接8尸,

由于4D与BC平行的，所以四边形BCDF是梯形，

S^BEF-S^CED-6，

根据蝴蝶模型，

S&DEFXShBEC=ShBEFXS“CED>

代入局部，可得S"EC=9（平方厘米），

^ABEF=SA/IBD—S&DEF

=SMBD-S&DEF

=9+6—4

=11（平方厘米）.

29.图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小

三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积.

【答案】21公顷

【分析】设另两块面积分别为居y,如图：

C7x=6y

U+y=52-（6+7）=39，

设x=6k,y—7k,那么x+y=13k,13k=39,

代入，得：

（x=18

\y=21,

所以面积最大的一个的面积为21公顷.

30.在下列图的正方形4BCD中，E是BC边的中点，AE与B。相交于F点，三角形BEF的面积为1

平方厘米，那么正方形4BCD面积是平方厘米.

【答案】12

【分析】连接CE,根据题意可知BE:/W=1:2,根据蝴蝶模型得S梯形=（1+2>=9（平方厘

米），SAECO=3（平方厘米），那么S^BCD=12（平方厘米）•

31.如图,梯形ABCD中，三角形力。3、三角形C。。的面积分别是1.2和2.7,求梯形力BCD的面

积.

［答案］7,5

【分析】由于四边形4BCD是梯形，所以S“℃=SABOD，根据蝴蝶模型，

S^AOCXS&BOD=S"OBXShC0D,

代入面积值，可以求出