浙江省诸暨市牌头中学2024届数学高二第二学期期末统考试题含解析

浙江省诸暨市牌头中学2024届数学高二第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．曲线的图像（）A．关于轴对称B．关于原点对称,但不关于直线对称C．关于轴对称D．关于直线对称，关于直线对称4．设向量与向量垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（）A． B． C． D．5．双曲线的焦点坐标是A． B． C． D．6．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（）A． B． C． D．7．已知，，且，则的最大值是()A． B． C． D．8．已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为()A． B． C． D．9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为310．函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．11．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（）A． B．C． D．12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若在(0,2)上有两个不同的,则k的取值范围是_____.14．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为____________.15．已知函数是定义在R上的偶函数，满足，若时，，则函数的零点个数为___________．16．已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，.（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：与不能同时为负数.18．（12分）在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，若的面积为，求的值．19．（12分）已知函数，为的导函数．（1）证明：在上存在唯一零点．（2）若，恒成立，求的取值范围．20．（12分）已知正三棱柱中，，点为的中点，点在线段上.（Ⅰ）当时，求证；（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于60°？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数.求的单调区间；若在处取得极值，直线y=与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．22．（10分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期月日月日月日月日月日温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验.（1）求选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；（2）若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先求出直线和圆相交时的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可．【题目详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，直线方程即为，所以圆心到直线的距离，又直线与圆相交，所以，解得．所以在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选C．【题目点拨】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【题目详解】构造函数，；当时，，；；在上单调递减；，；由不等式得：；，且；；原不等式的解集为．故选：．【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解题分析】

构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况.【题目详解】A．，所以不关于轴对称；B．，，所以关于原点对称，也关于直线对称；C．，所以不关于轴对称；D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称.故选：D.【题目点拨】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变.4、B【解题分析】

先根据向量计算出的值，然后写出的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【题目详解】因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，则向量与向量共线，故选：B.【题目点拨】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当，若，则，若，则.5、C【解题分析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.6、B【解题分析】

首先过作，过作（为准线），，易得，.根据直线：与抛物线联立得到，根据焦点弦性质得到，结合已知即可得到，再计算即可.【题目详解】如图所示：过作，过作（为准线），.因为，设，则，.所以.在中，，所以.则.，直线为.，.所以，.在中，.所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.7、A【解题分析】

根据题中条件，结合基本不等式，即可得出结果.【题目详解】因为，，所以，；又，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A【题目点拨】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于基础题型.8、A【解题分析】

令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【题目详解】解:令，则，令，则，在上单调递增，，故选A.【题目点拨】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.9、D【解题分析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差10、B【解题分析】

利用三角函数恒等变换，可得，，利用其为偶函数，得到，从而求得结果.【题目详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以的最小值为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.11、B【解题分析】

利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【题目详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.12、B【解题分析】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法．共有2++=1．故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决详解：不妨设在是单调函数，故在上至多一个解若则，故不符合题意，由可得，由可得，故答案为点睛：本题主要考查的知识点是函数零点问题，求参量的取值范围，在解答含有绝对值的题目时要先去绝对值，分类讨论，然后再分析问题，注意函数单调性与奇偶性和零点之间的关系，适当注意函数的图像，本题有一定难度14、1【解题分析】

列举出算法的每一步，于此可得出该算法输出的结果．【题目详解】成立，，，，；不成立，输出的值为，故答案为.【题目点拨】本题考查算法与程序框图，要求读懂程序框图，解题时一般是列举每次循环，并写出相应的结果，考查推理能力，属于基础题．15、2【解题分析】

由题意得：的周期为2，且其图象关于轴对称，函数的零点个数即为函数与函数图象的交点个数，然后作出图象即可.【题目详解】由题意得：的周期为2，且其图象关于轴对称函数的零点个数即为函数与函数图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数的图象如下由图象观察可知，共有两个交点故答案为：2【题目点拨】一个复杂函数的零点个数问题常常是转化为两个常见函数的交点个数问题.16、【解题分析】

利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。【题目详解】如图正六边形中，，直线即双曲线的渐近线方程为，由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的离心率，所以椭圆与双曲线的离心率之积为【题目点拨】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解题分析】分析：（1）利用分析法，原命题等价于证明，则题中的结论成立.（2）假设与同时为负数，而，与假设矛盾，则题中的结论成立.详解：（1）因为，，要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，显然上式恒成立，故.（2）设与同时为负数，则（1），所以，与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以与不能同时为负数.点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力.18、(1)是以为圆心，为半径的圆.的极坐标方程.(2)【解题分析】

（1）消去参数得到的普通方程.可得的轨迹.再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）先得到的极坐标方程，再将，代入，解得，，利用三角形面积公式表示出的面积，进而求得a.【题目详解】(1)由已知得：平方相加消去参数得到=1，即，∴的普通方程：.∴是以为圆心，为半径的圆.再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）的极坐标方程，将，代入，解得，，则的面积为，解得.【题目点拨】本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.19、（1）详见解析；（2）.【解题分析】

(1)求出,设，求,由的单调性及零点存在定理说明在区间上存在唯一零点,即证得在上存在唯一零点.(2)将恒成立问题,转化为函数的最值问题,利用导数研究函数的单调性,从而求得最值即可.【题目详解】（1）证明：设，则，．令，则．∵当时，，则为增函数，且，，∴存在，使得，∴当时，；当时，．即在上单调递减，在上单调递增．又∵，，∴在区间上存在唯一零点，即在区间上存在唯一零点．（2）解：当时，；当时，．设，，即，∵，∴，∴在上单调递减，∴，∴．综上所述，的取值范围为．【题目点拨】本题考查导数的运算、零点存在性定理的应用,以及利用导数证明不等式恒成立问题,难度较大.20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在点,当时，二面角等于.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接，由为正三棱柱为正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.由丄平面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．试题解析：（Ⅰ）证明：连接，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以，所以在中，，在中，，所以，即.又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假设存在点满足条件，设.取的中点，连接，则丄平面，所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，同理，平面的一个法向量为，则，取，∴.∴，解得，故存在点,当时，二面角等于.21、【解题分析】

解：（Ⅰ），

①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调