2024届安徽省阜阳市界首市高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届安徽省阜阳市界首市高二数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为A．25 B．50 C．125 D．2502．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是3．已知函数，，则其导函数的图象大致是（）A.B.C.D.4．下列说法错误的是A．回归直线过样本点的中心B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小5．设有下面四个命题若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的个数为（）A． B． C． D．6．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A．6个 B．8个 C．10个 D．12个7．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（）A．14种 B．种 C．种 D．24种8．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（）A． B． C． D．9．设函数，则（）A．3 B．4 C．5 D．610．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（）A． B．C． D．11．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．412．已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A．1， B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是______．（写出所有符合要求的序号）14．已知函数，若在处取得极小值，则实数的值为______.15．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.16．已知正整数n，二项式的展开式中含有的项，则n的最小值是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对一批产品的内径进行抽查，已知被抽查的产品的数量为200，所得内径大小统计如表所示：（Ⅰ）以频率估计概率，若从所有的这批产品中随机抽取3个，记内径在的产品个数为X，X的分布列及数学期望；（Ⅱ）已知被抽查的产品是由甲、乙两类机器生产，根据如下表所示的相关统计数据，是否有的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性．参考公式：，（其中为样本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）设函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．19．（12分）已知抛物线：的焦点为，过作互相垂直的直线,分别与交于点、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知函数，．（1）当时，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为8，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）某研究性学习小组为了调查研究学生玩手机对学习的影响，现抽取了30名学生，得到数据如表：玩手机不玩手机合计学习成绩优秀8学习成绩不优秀16合计30已知在全部的30人中随机抽取1人，抽到不玩手机的概率为.（1）请将2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响；（3）现从不玩手机，学习成绩优秀的8名学生中任意选取两人，对他们的学习情况进行全程跟踪，记甲、乙两名学生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先计算数据平均值，再利用方差公式得到答案.【题目详解】数据恰好构成公差为5的等差数列故答案选B【题目点拨】本题考查了数据的方差的计算，将平均值表示为是解题的关键，意在考查学生的计算能力.2、A【解题分析】

由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A.【题目详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A【题目点拨】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.3、C【解题分析】试题分析：，为偶函数，当且时，或，所以选择C。考点：1.导数运算；2.函数图象。4、D【解题分析】

分析：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A.两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心；B.两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.错误，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．5、C【解题分析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对若，则，故不正确；对若，则，故正确；对若，则，故正确；对若，对称轴为，则，故正确.故选：C.点睛：本题考查了命题真假的判断，是基础题.6、B【解题分析】分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．

其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。故选B点睛：本题考查排列数的求法，考查乘法原理、排列、捆绑法，间接法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7、D【解题分析】五人选四人有种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲乙丙丁，有种；若所选四人为甲乙丙戊，有种；若所选四人为甲乙丁戊，有种；若所选四人为甲丙丁戊，有种；若所选四人为乙丙丁戊，有种；由加法原理：不同组队方式有种.8、D【解题分析】

首先根据三角函数的定义求出，再求即可.【题目详解】，.故选：D【题目点拨】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题.9、C【解题分析】

根据的取值计算的值即可.【题目详解】解：，故，故选：C.【题目点拨】本题考查了函数求值问题，考查对数以及指数的运算，是一道基础题.10、C【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【题目详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.11、D【解题分析】

由椭圆方程得出即可【题目详解】由可得，即所以长轴长为故选：D【题目点拨】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单12、B【解题分析】

图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可【题目详解】图中阴影部分表示的集合为故选【题目点拨】本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合的限制条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③【解题分析】

根据空间点、线、面之间的位置关系,逐一判断,即可得到答案.【题目详解】对于①,根据平行公理,可知过一点有且仅有一条直线与已知直线平行,在立体几何中也正确,故①正确.对于②,在平面几何中,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.在立体几何中,过直线外一点可以做一个平面和直线垂直,即平面内所有直线和其垂直.故②错误.对于③,根据平行的传递性,平行于同一条直线的两直线平行,在立体几何中也正确,故③正确.对于④,平面几何中,垂直于同一条直线的两直线平行.在立体几何中,垂直于同一条直线的两直线可以是异面直线,故④错误.对于⑤,平面几何中两组对边分别相等的四边形是平行四边形.在立体几何中,两组对边分别相等,可构成空间四边形,故⑤错误.故答案为:①③.【题目点拨】本题考查了命题真假的判定,平面几何和立体几何中线与线位置关系,掌握点线面关系的性质是解题关键,属于基础题.14、.【解题分析】

先求出导数，建立方程求出的值，并验证能否取得极小值【题目详解】解：由题意知，，则，解得.经检验，时，函数在处取得极小值.故答案为:.【题目点拨】本题考查函数极小值的概念.要注意对求出值的验证．令导数为0，求出的方程的根不一定是极值点，还应满足在解的两边函数的单调性相反.15、【解题分析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，1．∴.16、4.【解题分析】分析：根据二项式呃展开式得到第r+1项为，，对r,n赋值即可.详解：二项式的展开式中第r+1项为则，当r=1时，n=4。故答案为：4.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）分布列见解析，；（Ⅱ）没有.【解题分析】

（Ⅰ）由频率分布表可知，任取1件产品，内径在[26，28)的概率，所以，根据二项分布的计算公式分别求出时的概率，列出分布列，再根据期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依题意填写列联表，再求得的观测值，结合临界值表即可得出结论。【题目详解】(I)任取1件产品，内径在[26，28)的概率，故，，＝，＝，＝，故X的分布列为：X0123P故；（II）依题意，所得列联表如下所示内径小于28mm内径不小于28mm总计甲机器生产6832100乙机器生产6040100总计12872200的观测值为，故没有99%的把握认为生产产品的机器种类与产品的内径大小具有相关性。【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，独立性检验的基本思想及其应用。18、（Ⅰ）函数f（x）最小正周期为，单调增区间为，（Ⅱ）f（x）取得最大值为，此时．【解题分析】

（Ⅰ）化简，再根据周期公式以及正弦函数的单调性即可解决（Ⅱ）根据求出的范围，再结合图像即可解决．【题目详解】（Ⅰ）由于函数，∴最小正周期为．由得：，故函数f（x）的单调增区间为，．（Ⅱ）当时，，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值，∴，故当时，原函数取最小值2，即，∴，故，故当时，f（x）取得最大值为，此时，，．【题目点拨】本题主要考查了三角函数化简的问题，以及三角函数的周期，单调性、最值问题．在解决此类问题时首先需要记住正弦函数的性质．属于中等题．19、（1）（2）存在，使得恒成立，详见解析【解题分析】

（1）由题意可设的方程为，代入可得，通过韦达定理与中点坐标公式求出的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。（2））假设存在常数，设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：，利用韦达定理与弦长公式可得，，列式解出常数【题目详解】解：（1）由题意可设的方程为，代入可得．所以，由韦达定理得，所以所以的中点坐标为，即圆心坐标为又，所以半径所以以为直径的圆的方程为．（2）假设存在常数，使得恒成立．设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：．由韦达定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【题目点拨】本类题型常用的方法是设而不求法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，弦长公式等结合题意解答。20、（1）最大值是，最小值为1．（2）【解题分析】

（1）记的导函数的导数为，分析可得，结合，可得在R上是增函数，再，可得在上是增函数，即得解；（2）分，，三种情况分析的单调性，继而分析的最小值，即得解.【题目详解】（1）为表述简单起见，记的导函数的导数为．当时，，则．，所以在R上是增函数．又，所以当时，，所以在上是增函数．故在上的最大值是，最小值为．（2），．①若，即时，，所以在R上是增函数．又，所以当时，，所以在上是增函数．所以当时，．可见，当，．又是偶函数，所以恒成立．所以符合题意．②若，即时，，所以在R上是减函数．所以当时，，所以在上是减函数．所以当时，．这与恒成立矛盾，所以不符合题意．③当时，．由，得．由的图象，知存在唯一的，使得．当时，．所以在上是减函数．所以当时，，所以在上是减函数．所以当时，．这与恒成立矛盾，所以不符合题意．综上，a的取值范围是．【题目点拨】本题考查了函数与导数综合，考查了二次求导，含参函数的最值，不等式恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；（Ⅱ）先求的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）函数，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h（t）的对称轴为t＝a，①当a≥2时