2024届广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学数学高二下期末统考试题含解析

2024届广西壮族自治区南宁市兴宁区第三中学数学高二下期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（）A．与异面. B．与相交.C．与平行. D．与异面、相交、平行均有可能.2．设复数（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．3．已知函数fx在R上可导，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-44．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A． B． C． D．5．如图，直线：与双曲线：的右支交于，两点，点是线段的中点，为坐标原点，直线交双曲线于，两点，其中点，，在双曲线的同一支上，若双曲线的实轴长为4，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）A．B．8C．9D．127．复数满足，则（）A． B． C． D．8．设随机变量ξ~B(2,p), η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．659．已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A． B． C． D．10．如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.49611．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A． B． C． D．12．集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知幂函数的图象过点，则______．14．已知抛物线上的点，则到准线的距离为________15．“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的__________条件．16．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（1）求实数a的值．（2）若存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）在（1）的条件下求函数的单调区间与极值点.19．（12分）己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．20．（12分）已知二项式的展开式中各项的系数和为.（1）求；（2）求展开式中的常数项．21．（12分）选修4-5：不等式选讲（1）已知，且，证明；（2）已知，且，证明.22．（10分）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：家庭人口数12345678910家庭数20294850463619843（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．2、C【解题分析】分析:先化简复数z,再求z的虚部.详解：由题得=，故复数z的虚部为-1,故答案为C.点睛：（1）本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和运算能力.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.3、A【解题分析】

求导后代入x=1可得关于f'1【题目详解】由fx=令x=1，则f'1本题正确选项：A【题目点拨】本题考查导数值的求解，关键是能够根据导数运算法则得到导函数的解析式，属于基础题.4、D【解题分析】

是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【题目点拨】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.5、A【解题分析】

根据点是线段的中点，利用点差法求得直线的斜率及其方程；联立直线与双曲线得到点横坐标，联立直线与直线，得到点横坐标。由于，根据相似可得，又因为双曲线的对称性，，故，则，整理得到，进一步求得离心率。【题目详解】设点为，点为，中点为，则，根据点差法可得，即，双曲线的实轴长为4，直线为，，直线为.联立，得；联立，得又，根据相似可得双曲线的对称性，，，，，故选A【题目点拨】本题考察双曲线离心率问题，出现弦中点考虑点差法，面积比值可以利用相似转化为边的比值，以此简化计算6、C【解题分析】试题解析：依题可得不等式的解集为，故，所以即，又，则当且仅当时上式取等号，故选C考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用7、C【解题分析】

利用复数的四则运算可得，再利用复数的除法与减法法则可求出复数.【题目详解】，，故选C.【题目点拨】本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题．8、A【解题分析】

利用二项分布概率计算公式结合条件Pξ≥1=59计算出【题目详解】由于ξ~B2,p，则Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【题目点拨】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。9、A【解题分析】

P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系．【题目详解】如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），易知，，∴，．故选A．【题目点拨】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．10、B【解题分析】

由题中意思可知，当、元件至少有一个在工作，且元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【题目详解】由题意可知，该系统正常工作时，、元件至少有一个在工作，且元件在元件，当、元件至少有一个在工作时，其概率为，由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为，故选B．【题目点拨】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题．11、B【解题分析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选12、B【解题分析】,，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【题目详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【题目点拨】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14、【解题分析】

利用点的坐标满足抛物线方程，求出，然后求解准线方程，即可推出结果。【题目详解】由抛物线上的点可得，所以抛物线方程：，准线方程为，则到准线的距离为故答案为：【题目点拨】本题考查抛物线方程，需熟记抛物线准线方程的求法，属于基础题。15、必要非充分【解题分析】

结合直线和双曲线的位置关系，先判断充分条件，再判断必要条件得解.【题目详解】当直线与双曲线有且只有一个公共点时，直线有可能与双曲线相切，也有可能相交（直线与双曲线的渐近线平行），所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的非充分条件；直线与双曲线相切时，直线与双曲线有且只有一个公共点，所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要条件.所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、【解题分析】分析：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球的取法，再求得当个球都是红球的取法，利用古典概型的概率计算公式，即可得到答案.详解：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球，共有种方法，其中当个球都是红球的取法有种方法，所以概率为.点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中概率排列、组合的知识得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）【解题分析】

（1）解不等式f（x）≤4，根据其解集，得到的值；（2）将所求不等式转化为5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，从而得到关于的不等式，解出的取值范围.【题目详解】（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，∵不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤3}，∴，∴a＝1；（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，∵存在实数x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，当且仅当（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1时取等号，∴5m2+m≥6，∴或m≥1，∴m的取值范围为（﹣∞，]∪[1，+∞）．【题目点拨】本题考查解绝对值不等式，绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题.18、（1）；（2）详见解析【解题分析】【试题分析】（1）先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组进行求解；（2）先对函数求导，再依据导数与函数单调性之间的关系进行分类求求出其单调区间和极值点：解：(1），∵曲线在点处与直线相切，∴；（2）∵，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.19、（1），；（2）.【解题分析】

（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程．（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值．【题目详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，直线的参数方程改写为（t为参数），代入，，，，．【题目点拨】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．20、（1）8；（2）.【解题分析】

⑴观察可知，展开式中各项系数的和为，即，解出得到的值⑵利用二次展开式中的第项，即通项公式，将第一问的代入，并整理，令的次数为，解出，得到答案【题目详解】（1）由题意，得，即＝256，解得n＝8.（2）该二项展开式中的第项为Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此时，常数项为＝28.【题目点拨】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题。21、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由展开利用基本不等式证明即可；（2）由，结合条件即可得解.【题目详解】证明：（1）因为，当时等号成立.（2）因