2024届云南省泸西县一中高二数学第二学期期末预测试题含解析

2024届云南省泸西县一中高二数学第二学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则（）A． B． C． D．3．已知，则为（）A．2 B．3 C．4 D．54．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为()A．分层抽样,简单随机抽样 B．简单随机抽样,分层抽样C．分层抽样,系统抽样 D．简单随机抽样,系统抽样5．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．486．在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项 B．337项 C．338项 D．1009项7．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420 B．210 C．70 D．358．已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A．4 B．1 C． D．210．若，满足条件，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为（）A． B． C． D．12．设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线：的距离等于3，则_______.14．某单位为了了解用电量(单位:千瓦时)与气温(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温/℃181310-1用电量/千瓦时24343864由表中数据得回归直线方程中,预测当气温为℃时,用电量的千瓦时数约为_____.15．椭圆的焦点为、，为椭圆上的一点，，则__________．16．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第（）行左起第3个数为_______。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设命题p:函数f(x)=x2-ax命题q:方程x2+ay2命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．（1）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（2）如果，证明直线必过一定点，并求出该定点．19．（12分）已知函数().(Ⅰ)若在处的切线过点，求的值；(Ⅱ)若恰有两个极值点，().(ⅰ)求的取值范围；(ⅱ)求证：.20．（12分）2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促销全天交易数据显示，天猫年中促销当天全天下单金额为1592亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了6月18日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4.网购金额(元)频数频率50.05150.15250.25300.3合计1001(Ⅰ)先求出的值，再将图中所示的频率分布直方图绘制完整；(Ⅱ)对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下(含2000元)的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？网龄3年以上网龄不足3年总计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20总计100参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828参考公式：其中.（Ⅲ）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在和两组所抽中的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求组获得现金奖的数学期望.21．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.22．（10分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）已知，求证．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为有解，即可得到结论.【题目详解】由题意，函数的导数，若曲线C存在与直线垂直的切线，则切线的斜率为，满足，即有解，因为有解，又因为，即，所以实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及方程的有解问题，其中解答中把曲线存在与直线垂直的切线，转化为有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.2、D【解题分析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果.【题目详解】解：，则.故选：D.【题目点拨】本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题.3、A【解题分析】

根据自变量范围代入对应解析式，解得结果.【题目详解】故选：A【题目点拨】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.4、D【解题分析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D5、B【解题分析】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法．共有2++=1．故选B6、A【解题分析】

根据题意，求出的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可知若系数为有理数，必有，、2、、，即可得出答案．【题目详解】根据题意，的展开式的通项为；其系数为若系数为有理数，必有，、、共有336项，故选A．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．7、A【解题分析】

将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【题目详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为当不同时：染色方案为不同的染色方案为：种故答案为A【题目点拨】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.8、B【解题分析】

求出函数的解析式，并求出零点、关于的表达式，令，知，并构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即可作出的取值范围．【题目详解】因为函数，所以，，由，得，，由，得，设，则，所以，，设，则，，，即函数在上是减函数，，故选B.【题目点拨】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题．9、D【解题分析】

由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案．【题目详解】对任意的，成立.所以，，所以，故选D．【题目点拨】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．10、A【解题分析】作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．由解得A（0，2）．此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，故选A．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．11、B【解题分析】

求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．【题目详解】∵f（x）lnx（a＞0），∴f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，得x，∴函数f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，∴f（x）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数；∵函数f（x）在区间[1，+∞）内是增函数，∴1，又a＞0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）；故选：B．【题目点拨】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．12、B【解题分析】由题设可得，即，解之得，即；结合图形可得，即，应选答案B。点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点代入椭圆方程得到，即，解之得，从而求得，然后再借助与椭圆的几何性质，建立了不等式，进而使得问题获解。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

直接利用点到直线的距离公式列方程，即可得到答案．【题目详解】由题意可得：，解得或．故答案为：或．【题目点拨】本题考查点到直线的距离公式，考查基本运算求解能力，属于基础题．14、68.【解题分析】分析：先求出样本中心，根据回归直线方程过样本中心求得，然后再进行估计．详解：由题意得，∴样本中心为．∵回归直线方程过样本中心，∴，∴．∴回归直线方程为．当时，，即预测当气温为℃时,用电量的千瓦时数约为．点睛：在回归分析中，线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本点中的参数．另外，利用回归方程可进行估计、作出预测．15、8【解题分析】分析：根据椭圆的方程，得到，由知为直角三角形，在中利用勾股定理得|．再根据椭圆的定义得到，两式联解可得，由此即可得到Rt△F1PF2的面积为S=1．详解：∵椭圆方程为，且，可得

∵，∴…①

根据椭圆的定义，得|，

∴…②

②减去①，得，可得

即答案为：8点睛：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．16、【解题分析】

根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【题目详解】依排列规律得，数表中第行最后一个数为第行左起第3个数为.【题目点拨】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、a<1【解题分析】分析：化简命题p可得a≤0，化简命题q可得0<a<1，由p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p,q一真一假，分两种情况讨论，对于p真q假以及p假q真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数a的取值范围.详解：由于命题p:函数f(x)=x2-ax所以a≤0命题q:方程x2+ay2所以2a命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题，则p、①p真q假时：a≤0a≤0②p假q真综上所述：a的取值范围为：a<1点睛：本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查二次函数的单调性以及椭圆的标准方程与性质，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18、（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点，证明过程详见解析.【解题分析】

Ⅰ根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．Ⅱ设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．【题目详解】Ⅰ由题意：抛物线焦点为设l：代入抛物线消去x得，，设，则，．Ⅱ设l：代入抛物线，消去x得设，则，令，．直线l过定点．【题目点拨】从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．19、(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)见证明【解题分析】

(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出在处的切线的斜率，求出切线方程，把点代入切线方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分类讨论函数的单调性；当时，可以判断函数没有极值，不符合题意；当时，可以证明出函数有两个极值点，，故可以求出的取值范围；由(ⅰ)知在上单调递减，，且，由得，，又，.法一：先证明（）成立，应用这个不等式，利用放缩法可以证明出成立；法二：令()，求导，利用单调性也可以证明出成立.【题目详解】解:(Ⅰ)，又在处的切线方程为，即切线过点，(Ⅱ)(ⅰ)，，，当时，，在上单调递增，无极值，不合题意，舍去当时，令，得，()，或;，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，恰有个极值点，，符合题意，故的取值范围是(ⅱ)由(ⅰ)知在上单调递减，，且，由得，，又，法一:下面证明（），令（），，在上单调递增，，即（），，综上法二:令()，则，在上单调递增，，即，综上【题目点拨】本题考查了曲线切线方程的求法，考查了函数有极值时求参数取值范围问题，考查了利用导数研究函数的性质.20、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．（Ⅲ）1.【解题分析】

(Ⅰ)由题意可知2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，由此再结合频率分布直方图与频率分布表可分别求得的值。再由数据补全频率分布直方图。(Ⅱ)先补全2×2列联表，由表中数据求得K2。（Ⅲ）在(2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，求得概率及期望。【题目详解】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1