江苏省泰州市泰兴一中2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省泰州市泰兴一中2024届数学高二下期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（）A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形2．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，3．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有A．540种 B．240种 C．180种 D．150种4．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)5．用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项 B．项 C．项 D．项6．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（）A． B． C． D．7．已知命题,那么命题为A． B．C． D．8．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（）A． B． C． D．9．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．210．若，都是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．函数的图象大致为A． B． C． D．12．设是虚数单位，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，D是AB的中点，若CD=1且(a-14．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.15．已知函数与函数的图象所围成的面积为，则实数的值为______．16．已知满足约束条件，则的最大值为__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求证：直线直线；（2）若直线与底面ABC成的角为，求二面角的余弦值．18．（12分）设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求的前项和．19．（12分）已知矩阵对应的变换将点变换成．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）求矩阵的特征向量．20．（12分）已知函数.（1）求；（2）求函数的图像上的点P（1,1）处的切线方程.21．（12分）将个不同的红球和个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球.（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记分，取出一个白球记分，若取出个球的总分不少于分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.22．（10分）在正项等比数列{}中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：由已知构造余弦定理条件：，再结合余弦定理，化简整理得，即一定为直角三角形.详解：由已知，得①由余弦定理：②将①代入②整理得一定为直角三角形故选C点睛：判断三角形形状（1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．①若；则A=B；②若；则A=B或（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．①若，则；②若，则；③若，则．2、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．3、D【解题分析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．详解：由题意不同方法数有．故选D．点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错．4、B【解题分析】

不等式的exfx<1的解集等价于函数g(x)=exf(x)图像在y=1下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数g(x)=exf(x)的性质进行研究，将fx+f'x【题目详解】解：令g(x)=因为f所以，(故g故gx在R又因为f所以，g所以当x>0，gx<1，即e故选B.【题目点拨】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.5、D【解题分析】

分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【题目详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.6、C【解题分析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．7、C【解题分析】

全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.8、A【解题分析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为．故选A9、B【解题分析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【题目详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【题目点拨】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．10、A【解题分析】分析：先证明充分性，两边同时平方即可，再证明必要性，取特值，从而判断出结果。详解：充分性：将两边平方可得：化简可得：则，故满足充分性必要性：，当时，，故不满足必要性条件则是的充分而不必要条件故选点睛：本题考查了充分条件与必要条件的判定，可以根据其定义进行判断，在必要性的判定时采用了取特值的方法，这里也要熟练不等式的运用11、B【解题分析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.12、B【解题分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【题目详解】解：设,可得：，则，，可得：，可得：，故选：B.【题目点拨】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解题分析】

由题意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【题目详解】如图，设∠CDA=θ，则∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分别由余弦定理可得cosθ=两式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推论可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面积的最大值是155故答案为155【题目点拨】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．14、【解题分析】

由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【题目详解】不妨设椭圆方程为：，由题意可得，解得，则椭圆的短轴长度为：.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解题分析】

求出两函数的交点坐标，可得知当时，，由此得出两函数图象所围成区域的面积为，可解出实数的值.【题目详解】联立，得或，当时，由不等式的性质得.所以，函数与函数的图象所围成的面积为，即，解得，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域，如图所示，化目标函数为，由图可得，当直线过时，直线在轴上的截距最大，所以有最大值为．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）先证平面，再证平面，可证直线直线（2）由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角．【题目详解】证明：连接，侧面为菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直线直线；解：由知，平面平面，由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，，得D为AB的中点，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则为平面的一个法向量，则0，，2，，，设平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值为．【题目点拨】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．18、（1）；（2）．【解题分析】试题分析：（1）将已知条件转化为数列的首项和公差表示，通过解方程组可得到基本量的值，从而求得通项公式；（2）借助于（1）可求得的通项公式，结合特点利用列项求和法求和试题解析：（1）由已知有，则（2），则考点：数列求通项公式就和19、（1）；（2）和.【解题分析】

（1）由题中点的变换得到，列方程组解出、的值，再利用逆矩阵变换求出；（2）求出矩阵的特征多项式，解出特征根，即可得出特征值和相应的特征向量.【题目详解】（1）由题意得，即，解得，，由于矩阵的逆矩阵为，因此，矩阵的逆矩阵为；（2）矩阵的特征多项式为，解特征方程，得或.①当时，由，得，即，可取，则，即属于的一个特征向量为；②当时，由，得，即，可取，则，即属于的一个特征向量为.综上，矩阵的特征向量为和.【题目点拨】本题考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，考查矩阵的特征值和特征向量的求法，考查方程思想与运算能力，属于中等题.20、（1）2x+lnx+1(2)【解题分析】

试题分析：（1）由导数的运算可求得的值；（2）由导数的几何意义可得切线在切点处的斜率，由点斜式可求得直线方程.试题解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，所以切线方程为，即．考点：1、求导公式；2、导数的几何意义．【易错点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题放在解答题的位置，难度不大，是得分的主要题型.21、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有红、红白、红白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的球的总分不少于分，则有红、红白、红白和红白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（3）由题意得出箱子里红球和白球都是个，并求出操作三