上海市东实验学校2024届数学高二下期末质量检测试题含解析

上海市东实验学校2024届数学高二下期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在极坐标系中，点关于极点的对称点为A． B． C． D．2．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．3．已知函数，若的两个极值点的等差中项在区间上，则整数（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或14．等比数列{}的前n项和为，若则=A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或105．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温低于的月份有个B．月份的最高气温不低于月份的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关6．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A．24 B．60 C．72 D．1207．若复数满足，则在复数平面上对应的点()A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于直线对称8．已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A． B．C． D．9．已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．10．若对任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．11．若是虚数单位，，则实数（）A． B． C．2 D．312．函数的极值情况是（）．A．有极大值，极小值2 B．有极大值1，极小值C．无极大值，但有极小值 D．有极大值2，无极小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数在存在零点（其中为自然对数的底数），则的最小值是__________.14．已知随机变量服从二项分布，那么方差的值为__________．15．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．16．抛物线的焦点到准线的距离为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．18．（12分）已知函数，.（1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）.19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一个菱形，三角形PAD是一个等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，点E在线段PC上，且PE＝3EC．（1）求证：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．20．（12分）已知二项式．（1）求展开式中的常数项；（2）设展开式中系数最大的项为求的值。21．（12分）在平面直角坐标系中，圆为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．分别求圆的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；设直线交曲线于两点，曲线于两点，求的长；为曲线上任意一点，求的取值范围．22．（10分）如图，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到的距离分别为4公里和5公里.（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：∵关于极点的对称点为，

∴关于极点的对称点为．

故选：C．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．2、D【解题分析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.3、B【解题分析】

根据极值点个数、极值点与导函数之间的关系可确定的取值范围，结合为整数可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，，解得：或.方程的两根即为的两个极值点，，综上可得：，又是整数，.故选：.【题目点拨】本题考查极值与导数之间的关系，关键是明确极值点是导函数的零点，从而利用根与系数关系构造方程.4、B【解题分析】

由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20），代入可求．【题目详解】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即解=20或-10（舍去）故选B．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用5、A【解题分析】

由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【题目详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6、B【解题分析】

由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不同的排法.本题选择B选项.7、A【解题分析】

由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2的关系即可得解．【题目详解】复数满足，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于轴对称，故选A.【题目点拨】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．8、D【解题分析】

由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.【题目详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，，，即，故选D.【题目点拨】本题主要考查集合的计算，利用图象确定集合关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9、B【解题分析】

首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.【题目详解】因为函数的图象关于点对称，所以.即：，解得，.所以，，切点为.，.切线为：.因为切线过点，所以，解得.所以，.，所以.所以.故选：B【题目点拨】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.10、C【解题分析】

令f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|，然后将f（x）化成分段函数，则m的最大值为f（x）的最小值．【题目详解】设F(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝如图所示，F(x)min＝－－3＝－.故m≤F(x)min＝－.【题目点拨】本题考查了绝对值在分段函数中的应用，正确去掉绝对值符号是关键．11、B【解题分析】

先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.【题目详解】由于由复数相等的定义，故选：B【题目点拨】本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.12、A【解题分析】

求导分析函数导数的零点,进而求得原函数的单调性再判断即可.【题目详解】由题,函数定义域为,,令有.故在上单调递增,在上单调递减.在上单调递减,在上单调递增.且当时,；当时,故有极大值,极小值2.故选：A【题目点拨】本题主要考查了函数极值的求解,需要求导分析单调性.同时注意函数在和上分别单调递减.属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

依题意可得方程，在上存在解，要使取得最小值，则，令，利用导数研究函数的单调性，对分类讨论，分别求出的最小值，即可得解，【题目详解】解：依题意在存在零点，即方程在存在解，即，在存在解，要使取得最小值，则，令，则，①当时，在上恒成立，即在上单调递增，所以，即，，所以；②当即时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，所以，令，则，，所以，所以在上单调递减，所以③当时，则在上恒成立，即在上单调递减，综上可得的最小值为故答案为：．【题目点拨】本题考查函数零点及最值问题，考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想，属于难题．14、【解题分析】分析：随机变量服从二项分布，那么，即可求得答案.详解：随机变量服从二项分布，那么，即.故答案为：.点睛：求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．15、【解题分析】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．16、【解题分析】，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

先由求出复数，再由求出复数，计算出其复数，可得出以复数为根的实系数方程为，化简后可得出结果.【题目详解】由，得，，.，，因此，以复数为一个根的实系数方程为，即，即.【题目点拨】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）（2）证明见解析【解题分析】

1，等价于方程在恰有一个变号零点．即在恰有一个变号零点．令，利用

函数图象即可求解．

2要证明：只需证明，即证明要证明，即证明利用导数即可证明．【题目详解】Ⅰ，，，函数恰有一个极值点，方程在恰有一个变号零点．在恰有一个变号零点．令，则．可得时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．函数草图如下，可得，．实数a的取值范围为：2要证明：证明．证明，即证明．令则，时，，函数递增，时，，递减．，即原不等式成立．要证明，即证明．，故只需证明即可．令，则．时，，函数递减，时，，函数递增．，又，故原不等式成立．综上，，【题目点拨】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题．19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）取中点,连接,根据等边三角形的性质证得平面，由此证得.（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【题目详解】（1）取中点,连接,由条件知均为等边三角形，因此,而由线面垂直定理可证,又即证（2）由（1）知，从而；以建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，，，,，设面的法向量为则可得；设面的法向量为则可得由图知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【题目点拨】本小题主要考查线线垂直、线面垂直的证明，考查利用空间向量计算二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、（1）7920；（2）12.【解题分析】

(1)直接利用展开式通项,取次数为0,解得答案.(2)通过展开式通项最大项大于等于前一项和大于等于后一项得到不等式组,解得答案.【题目详解】解：（1）展开式中的通项，令得所以展开式中的常数项为（2）设展开式中系数最大的项是，则所以代入通项公式可得.【题目点拨】本题考查了二项式定理的常数项和最大项,意在考查学生的计算能力.21、（1），；（2）；（3）.【解题分析】

消去参数得到普通方程，利用这个是可得到的直角坐标，直接利用转换关系对极坐标方程进行转换可得到曲线的极坐标方程；利用方程组和两点间的距离公式分别求出,相减求出结果．利用向量的数量积和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质可求出结果．【题目详解】圆为参数，转换为直角