2024届山东省菏泽、烟台数学高二第二学期期末联考试题含解析

2024届山东省菏泽、烟台数学高二第二学期期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．2．一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下3．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．04．现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有()A．120种 B．5种 C．种 D．种5．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．设i是虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．2 C． D．7．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（）A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.758．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，209．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种10．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件{两次掷的玩具底面图案不相同}，{两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则（）A． B． C． D．11．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则这个单位安排夜晚值班的方案共有（）A．960种 B．984种 C．1080种 D．1440种12．如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)，满足f'(x1A．（13，12）B．（32，3）C．（1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.14．《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．15．若双曲线C:y25-x216．如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为__________海里．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．参考公式：，参考数据：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82818．（12分）已知，.（1）若，求实数的值；（2）若，，若是的充分条件，求实数的取值范围.19．（12分）在直角坐标系中，，不在轴上的动点满足于点为的中点。(1)求点的轨迹的方程；(2)设曲线与轴正半轴的交点为，斜率为的直线交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。20．（12分）我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：定价（元/）102030405060年销售11506434242621658614.112.912.111.110.28.9图（1）为散点图，图（2）为散点图.（Ⅰ）根据散点图判断与，与哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立关于的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额定价年销售）参考数据：，，，，，，，，参考公式：，.21．（12分）等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列中，，且,．（1）求数列与的通项公式；（2）求．22．（10分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。2、A【解题分析】

由线性回归方程的意义得解.【题目详解】将代入线性回归方程求得由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．【题目点拨】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.3、C【解题分析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.4、D【解题分析】

先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【题目详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到答案为D【题目点拨】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.5、C【解题分析】试题分析：，∴在上单调递增，上单调递减，∴，又∵，，不等式只有两个整数解，∴，即实数的取值范围是故选C．【考点】本题主要考查导数的运用．6、B【解题分析】

利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选B.【题目点拨】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率．【题目详解】乙至少赢甲—局的概率为.故选C【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8、A【解题分析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【题目详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.9、B【解题分析】分析：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有种方法，则分配方法共有种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题10、C【解题分析】

利用条件概率公式得到答案.【题目详解】故答案选C【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.11、A【解题分析】分五类：（1）甲乙都不选：；（2）选甲不选乙：；（3）选乙不选甲：；（4）甲乙都选：；故由加法计数原理可得，共种，应选答案A。点睛：解答本题的关键是深刻充分理解题意，灵活运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理。求解依据题设条件将问题分为四类，然后运用排列数、组合数公式及分步计数原理和分类计数原理两个基本原理求出问题的答案，使得问题获解。12、C【解题分析】试题分析：f'(x)=3x2-2x，f(a)-f(0)a-0=a2-a，所以函数f(x)=x3-x2+a是区间[0,a]上的“双中值函数”等价于f'考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可得直线的斜率为，再由垂直可得曲线在处的切线斜率为，对曲线求导令导函数为可得的值.【题目详解】解：直线的斜率为,可得曲线在处的切线为，，当，，可得，可得，故答案：.【题目点拨】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.14、【解题分析】

连结，交于，可得，即可确定点为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【题目详解】如图，连结，，连结，交于，可得，由已知可得，所以点为刍甍的外接球的球心，该球的半径为，所以该刍甍的外接球的表面积为．故答案为：【题目点拨】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．15、5【解题分析】

先求出双曲线的渐近线方程，然后利用渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于半径，因此可得出r的值。【题目详解】双曲线C的渐近线方程为y=±52x圆x-32+y2=由于双曲线C的渐近线与圆相切，则r=355【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线，考查直线与圆的位置关系，在求解直线与圆相切的问题时，常有以下两种方法进行转化：（1）几何法：圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立，利用判别式为零进行求解。考查化归与转化思想，考查计算能力，属于中等题。16、【解题分析】分析：根据已知条件，分别在和中计算，在用余弦定理计算.详解：连接，由题可知，，，，，，则在中，由正弦定理得为等腰直角三角形，则在中，由余弦定理得故答案为.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．【解题分析】

（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.【题目详解】（Ⅰ）填写列联表如下：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100（Ⅱ）K2的观测值为≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．【题目点拨】本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.18、（1）（2）或【解题分析】

（1）求解出集合，再根据交集范围计算的值；（2）由是的充分条件，得到集合之间的关系，然后再计算的取值.【题目详解】解：，，（1）∴∴∴；（2）∵是的充分条件，∴或，∴或即或.【题目点拨】现有集合，且，，若集合是集合的充分条件，则有：；若集合是集合的必要条件，则有：.19、（1）；（2）定值0【解题分析】

（1）解法一：设点的坐标为，可得出点，由，转化为，利用斜率公式计算并化简得出曲线的方程，并标出的范围；解法二：设点，得出，由知点在圆上，再将点的坐标代入圆的方程并化简，可得出曲线的方程，并标出的范围；（2）先求出点的坐标，并设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理计算出来证明结论成立。【题目详解】（1）解法一：设点，因为轴，为的中点，则，，所以，，即，化简得，所以，的方程为；解法二：依题意可知点的轨迹方程为，设点，因为轴，为的中点，所以，，所以，即，所以，的方程为；（2）依题意可知，设直线的方程为，、，由，得，所以，，，所以，所以，为定值。【题目点拨】本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的综合问题，考查将韦达定理法在直线与圆锥曲线综合问题中的应用，这类问题的求解方法就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理求解，运算量大是基本特点，化简是关键，考查计算能力，属于难题。20、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)定价为20元/时，年销售额的预报值最大.【解题分析】分析：（Ⅰ）由于图（2）的点更集中在一条直线附近，所以与具有的线性相关性较强.（Ⅱ）利用最小二乘法求关于的回归方程为.（Ⅲ）先得到，，再利用导数求定价为多少时年销售额的预报值最大.详解：（Ⅰ）由