2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口3　体育比赛与闯关问题

微切口3体育比赛与闯关问题1．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10∶10平后，先多得2分者为胜方．在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为eq\f(3,5)，乙发球时甲得分的概率为eq\f(1,3)，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，甲先发球，则甲以13∶11赢下此局的概率为(C)A．eq\f(4,25) B．eq\f(2,25)C．eq\f(8,75) D．eq\f(2,75)【解析】由题意，此局分两种情况：(1)后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为eq\f(3,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,25)；(2)后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为eq\f(2,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,75)，所以所求概率为eq\f(2,25)＋eq\f(2,75)＝eq\f(8,75)．2．甲、乙、丙、丁进行足球单循环小组赛(每两队只进行一场比赛)，每场小组赛结果相互独立．已知甲与乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p1＞p2＞p3＞0．记甲连胜两场的概率为p，则(A)A．甲在第二场与乙比赛，p最大B．甲在第二场与丙比赛，p最大C．甲在第二场与丁比赛，p最大D．p与甲和乙、丙、丁的比赛次序无关【解析】因为甲连胜两场，则第二场甲必胜，①设甲在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为P1，则P1＝2(1－p2)p1p3＋2(1－p3)p1p2＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3；②设甲在第二场与丙比赛，且两场连胜的概率为P2，则P2＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p3)p1p2＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3；③设甲在第二场与丁比赛，且两场连胜的概率为P3，则P3＝2(1－p1)p2p3＋2(1－p2)p1p3＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3．所以P1－P2＝2p3(p1－p2)＞0，P1－P3＝2p2(p1－p3)＞0，P2－P3＝2p1(p2－p3)＞0，所以P1＞P2＞P3，因此甲在第二场与乙比赛，p最大，A正确，B，C，D错误．3．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现A，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若A，B一局各自赢的概率都是eq\f(1,3)，平局的概率为eq\f(1,3)，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是(B)A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,27)C．eq\f(2,81) D．eq\f(4,81)【解析】设恰好5局时游戏终止的事件为M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前3局输2局赢1局的事件为M2，则M＝M1＋M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时A可以是输方，B也可以是输方，于是得P(M1)＝2Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,81)，P(M2)＝2Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(2,81)，P(M)＝P(M1＋M2)＝P(M1)＋P(M2)＝eq\f(6,81)＝eq\f(2,27)，所以恰好5局时游戏终止的概率为eq\f(2,27)．4．(2023·苏州期末)(多选)为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq\f(1,3)，则在比赛结束时(ACD)A．四支球队的积分总和可能为15分B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为eq\f(2,35)C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为eq\f(8,35)【解析】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，A，C均正确；每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq\f(1,3)，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,35)，B错误；丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意．若丙全赢eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(概率是\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2))时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙、甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率为Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率为eq\f(2,3)，两场均平，概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，乙丁这场比赛只能平，概率是eq\f(1,3)．综上，概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\f(1,3)))＝eq\f(8,35)，D正确．5．(2023·黄石一模)(多选)乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f(p)，则下列说法正确的是(ABD)A．三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3B．f(p)的常数项为3C．函数f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(33,8)【解析】设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3,4,5，所以P(X＝3)＝p3＋(1－p)3，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2，因此三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3，则A正确；故f(p)＝3[p3＋(1－p)3]＋4[Ceq\o\al(1,3)p3(1－p)＋Ceq\o\al(1,3)p(1－p)3]＋5×Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＝6p4－12p3＋3p2＋3p＋3，由f(0)＝3知常数项为3，故B正确；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝6×eq\f(1,16)－12×eq\f(1,8)＋3×eq\f(1,4)＋eq\f(3,2)＋3＝eq\f(33,8)，故D正确；由f′(p)＝24p3－36p2＋6p＋3＝3(2p－1)(4p2－4p－1)，因为0≤p≤1，所以4p2－4p－1＝(2p－1)2－2＜0，所以令f′(p)＞0，则0≤p＜eq\f(1,2)；令f′(p)＜0，则eq\f(1,2)＜p≤1，故函数f(p)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，则C不正确．6．(2023·十堰调研)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛．决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束．假设每局比赛双方获胜的概率均为eq\f(1,2)，且每局比赛相互独立．(1)求比赛进行四局结束的概率；【解答】比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜，第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率P1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,16)，第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,16)，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,8)．(2)求甲获得比赛胜利的概率．【解答】设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，丙获胜为事件C，比赛进行三局，甲获胜的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，比赛进行五局，有以下6种情况：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲获胜的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×6＝eq\f(3,16)，比赛进行七局，有以下8种情况：AABCCBA，BCABCAA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCCBAAA．甲获胜的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×8＝eq\f(1,16)，故甲获得比赛胜利的概率为eq\f(1,8)＋eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(3,8)．7．(2023·梅州一模)甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两支队比赛一场)，比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．队伍近10场胜场比队伍甲7∶3乙甲5∶5丙甲4∶6丁乙4∶6丙乙5∶5丁丙3∶7丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P(X＝3)；【解答】设甲的第i场比赛获胜记为Ai(i＝1,2,3)，根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为eq\f(7,10)，eq\f(1,2)，eq\f(4,10)，则有P(X＝3)＝P(A1eq\x\to(A2)eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)A2eq\x\to(A3))＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(A2)A3)＝eq\f(7,10)×eq\f(1,2)×eq\f(6,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,2)×eq\f(6,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,2)×eq\f(4,10)＝eq\f(9,25)．(2)若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3,3,0,6，求甲队能小组出线的概率．【解答】分以下三种情况：(i)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6,6,0,6，此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为eq\f(2,3)，所以这种情况下，甲出线的概率为P1＝eq\f(4,10)×eq\f(4,10)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,75)．(ii)若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为6,3,3,6，此时甲一定出线，甲出线的概率为P2＝eq\f(4,10)×eq\f(6,10)＝eq\f(6,25)．(iii)若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为3,3,3,9，此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为eq\f(1,3)，所以这种情况下，甲出线的概率为P3＝eq\f(6,10)×eq\f(6,10)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,25)．综上，甲出线的概率为P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(8,75)＋eq\f(6,25)＋eq\f(3,25)＝eq\f(7,15)．8．学校将举行心理健康知识竞赛．第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；【解答】(1)记答对A，B，C分别为事件D1，D2，D3，甲同学进入下一轮为事件E，答了两题为事件F，则P(E)＝P(D1D2＋D1eq\x\to(D2)D3＋eq\x\to(D1)D2D3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×e