人教版数学八年级下册平行四边形单元测试卷（B）

平行四边形单元测试卷（B）

一、单选题

1.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正

方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为Si、S2、S3.若S1+S2+S3

=60,则S2的值是（）

K

BFC

A.12B.15C.20D.30

2.如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN,EF,M,N,EF分别在边AB,CD,

AD,BC上.小明认为：若MN=EF,则MNLEF：小亮认为:若MN_LEF,则MN=

EF,你认为（）

AED

三,

RFC

A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对

3.如图，在正方形ABC。中，43=9,点E在C£＞边上，且。=2CE,点尸是

AC上的一个动点，则PE+PO的最小值是（）

A.3MB.1073C.9D.90

4.如图所示，已知正方形ABCD的面积是8平方厘米，正方形EFGH的面积是62平

方厘米，BC落在EH上，AACG的面积是4.9平方厘米，则AABE的面积是（）

A.0.5平方厘米B.2平方厘米C.、历平方厘米D.0.9平方厘米

5.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,

PFJ_AC于F,则EF的最小值为（）

A.2B.2.2C.2.4D.2.5

6.已知正方形ABCD的边长为5,E在BC边上运动，DE的中点G,EG绕E顺时针

旋转90。得EF,问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）

7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF,若AB=3,则菱

D.4

8.如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其"锥体”面图的“锥角”是60。.

已知舞台ABCD是边长为6m的正方形.要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂

高度是（）

A.3瓜mB.36mC.4GmD.迷m

9.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点,

则DN+MN的最小值是（）

AD

BC

A.8B.9C.10D.12

10.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于

G,连接AG、HG,下歹ij结论:①CE_LDF；②AG=AD；③NCHG=NDAG；®HG=-AD.其

2

中正确的有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题

11.如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿

CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的

序号）

①当E为线段AB中点时，AF〃CE；

9

②当E为线段AB中点时，AF=-;

③当A、F、C三点共线时，AE=立工电；

3

④当A、F、C三点共线时，4CEF丝AAEF.

12.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪

去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB〃CD,CD_LBC于C,且AB、

BC、CD边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是.

13.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN,连接AC

交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的

最小值是.

14.如图，在直线1上摆放着三个三角形：AABC、△HFG.ADCE,己知BC=』CE,

3

F、G分别是BC、CE的中点，FM〃AC〃HG〃DE,GN〃DC〃HF〃AB.设图中三个

四边形的面积依次是Si,S2,S3,若SI+S3=20,则S尸,S2=.

15.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、

且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G.若2—=工，则生=_.

GA7AB

16.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C0的边C0、。4分别在x轴、y轴上，点E

在边8c上，将该矩形沿AE折叠，点8恰好落在边0C上的尸处.若0A=8,CF=4,

则点E的坐标是.

17.如图，在^ABC中，0是AC上一动点，过点O作直线MN〃BC,设MN交/BCA

的平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则

ZACB=。时，四边形AECF是正方形.

18.如图，口ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,ACLAB,点E是

BC的中点，△AOD的周长比AAOB的周长多3cm,则AE的长度为cm.

三、解答题

19.在。ABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF；

(2)若NABC=90。，G是EF的中点(如图2),直接写出/BDG的度数；

(3)若NABC=120。，FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求NBDG的

度数.

20.如图所示，折叠矩形ABCD的一边40,使点。落在8c边的点尸处，已知48=

Scm,BC—10cm.求CE的长？

21.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即AABD、

△BCE、△ACF,请回答下列问题：

(1)四边形ADEF是什么四边形？

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

(3)当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

22.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

(1)将4PAB绕点B顺时针旋转90。到4P，CB的位置(如图1).

①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P，CB的过程中边PA所扫

过区域(图1中阴影部分)的面积；

②若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的长.

(2)如图2,若PA2+PC2-2PB2,请说明点P必在对角线AC

图1图2

23.如图，在IDABCD中，AB=6,BC=10,对角线AC_LAB,点E,F分别是边BC,

AD上的点，且BE=DF.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)填空：①当BE的长度为时，四边形AECF是菱形;

②当BE的长度为时，四边形AECF是矩形.

24.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BE〃AC,CE/7DB.

求证：四边形OBEC是正方形.

25.如图，四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD沿MN折叠，折痕为MN,点B的对

应点B，落在AD边上，已知AB=6,AD=4.

(1)若点B，与点D重合，连结DM,BN,求证：四边形BMB代为菱形;

(2)在(1)问条件下求出折痕MN的长.

26.以四边形A3。的边AB、AO为边分别向外侧作等边三角形ABF和AOE,连接E8、

FD,交点为G.

图1图2图3

⑴当四边形ABCO为正方形时(如图1),EB和FD的数量关系是；

(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB和ED具有怎样的数量关系？请加以证明；

(3)四边形ABC。由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，NEG。是否发生变

化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出NEG3的度数.

参考答案

1.c【解析】设每个小直角三角形的面积为m,则Si=4m+S2,S3=S2-4m,

因为SI+S2+S3=60,

所以4m+S2+S2+S2-4m=60,

即3s2=60,

解得S2=20,故选C.

2.C【解析】如图，过点E作EGLBC于点G,过点M作MPLCD于点P,设EF与MN相交于点

O,MP与EF相交于点Q,

RGFC

・・•四边形ABCD是正方形，

AEG=MP,

对于小明的说法：

在RtAEFG和RtAMNP中，

'MN=EF

EG=MP'

ARtAEFG^RtAMNP(HL),

AZMNP=ZEFG,

VMP1CD,ZC=90°,

・・・MP〃BC,

・・・ZEQM=ZEFG=ZMNP,

XVZMNP+ZNMP=90°,

・・・NEQM+/NMP=90。，

在aMOQ中，ZMOQ=180°-(ZEQM+ZNMP)=180°-90o=90°,

AMN1EF,

故甲正确.

对小亮的说法：

VMP±CD,ZC=90°,

・・・MP〃BC,

・・・ZEQM=ZEFG,

VMN1EF,

NNMP+NEQM=90。，

XVMP1CD,

.\ZNMP+ZMNP=90°,

/EQM=/MNP,

NEFG=NMNP,

在4EFG和△MNP中，

4EFG=NMNP

<NEGF=NMPN=90。,

EG=MP

.♦.△EFG丝△MNP(AAS),

••.MN=EF,故小亮的说法正确，

综上所述，两个人的说法都正确.故选C.

3.A【解析】如图，连接BE,设BE与AC交于点P,•.•四边形ABC。是正方形，.•.点B与。关于

AC对称，：.P'D=P'B,：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE>/J'.即P在4c与8E的交点上时，PD+PE最小，

为8E的长度.•.•直角ACBE中，ZBCE=90°,BC=9,CE=；CD=3,BE=存存=3JI6.故选

4.D【解析】延长AB与FG交于点M,如图所示:

设正方形ABCD的边长为a厘米，EB=b厘米，CH=c厘米，

贝ljAB=BC=a厘米，BM=EH=EB+BC+CH=(a+b+c)厘米，MG=BH=(a+c)厘米,

般思强=%您嚼詈霸-跟财即=

1II

整理得色产北士蟾=4嶙，

售害

又正方形ABCD的面积为8平方厘米，即:产=需，

:•，葭〃吧=1/朦,,豳=三选=现嚼一工超=1既粤（平方厘米）•故选D。

5.C【解析】连接AP,如图所示.

•..在AABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,

，BC=5.

；PEJ_AB于E,PF_LAC于F,

四边形AEPF是矩形，

，EF=AP.

VAP的最小值即为RtAABC斜边上的高，

；AB=3,ACM,BC=5,

/.3X4=5XAP,

；.AP=2.4,

；.EF的最小值为2.4.故选C.

6.D

【解析】

过F作FNLBC,交BC延长线于N点，连接AC,如图所示:

VZDCE=ZENF=90°,ZDEC+ZNEF=90°,ZNEF+ZEFN=90°,

.,.ZDEC=ZEFN,

/.RtAFNE0°RtAECD,

DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90。得EF,

/.DE：EF=2：1,

ACE：FN=DE：EF=DC：NE=2：1,

.，.CE=2NF,NE=-CD=-,

22

VZACB=45°,

...当NNCF=45。时，A、C、F在一条直线上.

则^CNF是等腰直角三角形，

，CN=NF,

，CE=2CN,

:.CE=2-NE=2—又5一5=一,

3323

，CE=g时，A、C、F在一条直线上；

故选D.

7.C【解析】；四边形AECF是菱形，AB=3,

二假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,

；四边形AECF是菱形，

.".ZFCO=ZECO,

VZECO=ZECB,

・・・ZECO=ZECB=ZFCO=30°,

2BE=CE,

/.CE=2x,

/.2x=3-x,

解得：x=l,

・・・CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,BC=_§炉=打_产=6,又•.•AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积是:

AEBC=2V3.故选C.

8.A【解析】连接AC,

60。、

/D\

R

"：ZAPC=60°,

NPAC=NPCA=60。，

VABCD是边长为6m的正方形,

:.AC=6尬,OC=30

，PC=6a,，PO=3",故选A.

9.C【解析】•.•正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,

二连接BN,BD,则直线AC即为BD的垂直平分线,

.•.BN=ND；.DN+MN=BN+MN连接BM交AC于点P,

:点N为AC上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点P时，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度，

♦••四边形ABCD为正方形，

；.BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°,

.,.BM=5/声一8：=10,

・・・DN+MN的最小值是10.故选：C.

10.D【解析】

•••四边形ABCD是正方形,

，AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=90°,

•.•点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点,

.'.△BCE^ACDF,

，NECB=NCDF,

VZBCE+ZECD=90°,

:.ZECD+ZCDF=90°,

/.ZCGD=90°,

.-.CE±DF,故①正确；

在RSCGD中，H是CD边的中点，

.*.HG=-CD=-AD,故④正确；

22

连接AH,

同理可得：AH1DF,

VHG=HD=-CD,

/.DK=GK,

.•.AH垂直平分DG,

，AG=AD,故②正确；

/.ZDAG=2ZDAH,

同理：ZkADH@ZiDCF,

，NDAH=NCDF,

VGH=DH,

:.NHDG=NHGD,

:.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

AZCHG=ZDAG.故③正确.故选D.

11.①②③【解析】如图1中，当AE=EB时,

Dr

VAE=EB=EF,

，ZEAF=ZEFA,

VZCEF=ZCEB,ZBEF=ZEAF+ZEFA,

，NBEC=NEAF,

...AF〃EC,故①正确,

作EM±AF,则AM=FM,

5

在RtAECB中，EC=

2

VZAME=ZB=90°,ZEAM=ZCEB,

/.△CEB^-AEAM,

.EBEC

,•而一瓦’

35

.1=2

"AM

2

9

・・AM=—，

10

9

Z.AF=2AM=-,故②正确，

如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x.

在RSAEF中，,/AE2=AF2+EF2,

/.x2=(^/13-2)2+(3-x)2,

.•.xJ3-29,AAE=13-2^,故③正确，如果，△CEF丝ZXAEF,则NEAF=NECF=/ECB=30。,

33

显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③.

12.4右或10【解析】①如图：因为AC=,22-户2仔

点A是斜边EF的中点,

所以EF=2AC=4H，

②如图：

因为BD=V3：-夕亮,

点D是斜边EF的中点,

所以EF=2BD=10,

综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是或10,

故答案是：4百或10.

13.3亚-3

【解析】如图，

在正方形ABCD中，AD=BC=CD,/ADC=NBCD,NDCE=/BCE,

在Rt^ADM和Rt^BCN中，

AD=BC

(AM=BN,

RIAADM丝RtABCN(HL),

••."AM=/CBN,

在ADCE和ABCE中，

BC=CD

</DCE=/BCE,

CE=CE

.-.△DCE丝△BCE(SAS),

.•./CDE=/CBE,

.•.^DCM=/CDE,

/ADF+/CDE=/ADC=90，

"AM+NADF=90)

...NAFD=180-900=90'，

取AD的中点O,连接OF、OC,

则OF=DO=—AD=3,

2

在Rt«)DC中，OC=，DC)2+DC2=36,

根据三角形的三边关系，OF+CF>OC，

；.当O、F、C三点共线时，CF的长度最小,

最小值=OC-OF=3逐—3，

故答案为3指-3.

14.26.

【解析】根据正三角形的性质，ZABC=ZHFG=ZDCE=60°,：.AB//HF//DC//GN,设AC与切交

于P,CD与HG交于Q,:ZFC、△QCG和△NGE是正三角形.

VF,G分别是BC、CE的中点，：.MF=-AC=-BC,PF^-AB=-BC.

2222

122331

XBC=-CE=-CG=-GE:・CP=MF,CQ=-BC=3PF,QG=GC=CQ=-AB=3CP,/.51=-5,

333f2232

S?=352.

・・・SI+S3=20,-S+35=20,AS2=6,ASI=2.

322

故答案为2；6.

D

■:点E是CD的中点，EC=DE,

•.•将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，

/.EF=DE,ZBFE=90°,

\GE=GE

在RtAEDG和RtAEFG中《，

DE=EF

DG1

EDG丝RtAEFG(HL),；.FG=DG,:——=一，

GA7

.•.设DG=FG=a,贝ijAG=7a,故AD=BC=8a,则BG=BF+FG=9a,

•**AB=-(a)?=40a，故=r-=母，故答案为V2.

16.(-10,3)【解析】根据题意可知ACEFs^OFA,可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求

得OF=2CE,设CE=x，则BE=8-x,然后根据折叠的性质，可得EF=8-x,根据勾股定理可得

X2+42=(8-X)2,解得X=3,则OF=6,所以OC=10,由此可得点E的坐标为(-10,3).

故答案为：(-10,3)

17.90

【解析】

(1)'：MN//BC,

：.ZOEC=ZECB,ZOFC=ZFCD.

又平分NACB,FC平分NACD

：.ZECB=ZOCE,ZOCF=ZFCD,

：・/OEC=/OCE,/OFC=/OCF,

：.EO=OC,FO=OC,

：.EO=FO；

OE=OC=OF,

当0C=Q4,即点。为AC的中点时，

:.OE=OC=OF=OAf

・•・四边形AECF是平行四边形，AC=EFf

，这时四边形4EC尸是矩形，

・・.当点O运动到AC中点时，

四边形AEC尸是矩形，

由正方形AECF可知，AC.LEF,

又,：EF〃BC,

：.NAC8=90。，

I.△ABC是NAC8=90。.

18.4【解析】♦•,□ABCD的周长为26cm,

AB+AD=13cm,OB=OD,

VAAOD的周长比^AOB的周长多3cm,

(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=3cm,

/.AB=5cm,AD=8cm.BC=AD=8cm.

VAC1AB,E是BC中点，/.AE=-BC=4cm：故答案为4.

2

19.⑴见解析;⑵45。；(3)见解析.

【解析】(1)证明：如图1,

：AF平分/BAD,AZBAF=ZDAF,•四边形ABCD是平行四边形，；.AD〃BC,AB//CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF,：.ZCEF=ZF..,.CE=CF.

(2)解：连接GC、BG,

D

,：四边形ABCD为平行四边形，ZABC=90°,

，四边形ABCD为矩形，

VAF^^-ZBAD,

,ZDAF=ZBAF=45°,

VZDCB=90°,DF〃AB,

；.NDFA=45°,ZECF=90°

...△ECF为等腰直角三角形，

•；G为EF中点，

，EG=CG=FG,CG1EF,

•••△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,

；.BE=DC,

,?ZCEF=ZGCF=45°,

.♦.NBEG=NDCG=135°

在^BEG与ADCG中，

EG=CG

V<NBEG=ZDCG,

BE=DC

.".△BEG^ADCG,

；.BG=DG,

VCG1EF,

.,.ZDGC+ZDGA=90°,

又；NDGC=NBGA,

；./BGA+/DGA=90。，

...△DGB为等腰直角三角形，

ZBDG=45°.

(3)解：延长AB、FG交于H,连接HD.

AD

・・，AD〃GF,AB〃DF,

・・・四边形AHFD为平行四边形

VZABC=120°,AF平分NBAD

AZDAF=30°,ZADC=120°,ZDFA=30°

•••△DAF为等腰三角形

AAD=DF,

ACE=CF,

・••平行四边形AHFD为菱形

AAADH,aDLIF为全等的等边三角形

・・・DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

，BH=GF

在4BHD-^AGFD中，

DH=DF

,.・</BHD=ZGFD,.・.ABHD^AGFD,ZBDH=ZGDF

BH=GF

：.ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°.

20.CE=3cm.

【解析】由折叠的性质可得：AD=AF=BC=\0f

在R3ABF中可得：BF=[AF?_AB2=6,

：.FC=BC-BF=4,

设CE=x,EF=DE=8-x,则在RsEC尸中，

EFqnEC+C产,即f+16=(8-x)2,

解可得冗=3,

故CE=3cm.

21.(1)四边形ADEF是平行四边形；

(2)/BAC=150。时，四边形ADEF是矩形；

(3)当NBAC=60。时，以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.

【解析】(1)四边形AOEF是平行四边形.理由如下：

V/\ABD,AEBC者K是等边三角形，：.AD=BD=AB,BC=BE=EC,ZDBA=ZEBC=60°,

：.NDBE+NEBA=NABC+NEBA,：.NDBE=NABC.

在△OBE和AABC中，♦.•8O=BA,NDBE=NABC,BE=BC,；.△3BE四△ABC,：.DE=AC.

又•••△4(7/是等边三角形，：.AC=AF,：.DE=AF.

同理可证：AD=EF,四边形AOEF平行四边形.

(2)当/8AC=150。时，四边形4OE尸是矩形.理由如下：

,/四边形ADEF是矩形，；.ZMD=90°,，ZBAC=360°-ZDAF-ZDAB-ZMC=360°-90°-60°

-60°=150°,.,.NBAC=150°时，四边形AOEF是矩形.

(3)当/A4C=60。时，以A,D,E,尸为顶点的四边形不存在.理由如下：

若/BAC=60°,贝I」/DAF=360°-ABAC-/DAB-ZMC=360°-60°-60°-60°=180°.

此时，点A、D、E、尸四点共线，，以A、。、E、尸为顶点的四边形不存在.

22.⑴①S阴影="£一")

4

②PC=6;(2)证明见解析.

【解析】(1)如图1,①S阴影二S图形ABC+SaBP9-S闲形PBP」SAABP

=S扇形ABC-S扇形PBP'

360

_7r(a2-b2)

4

②连接PP',

根据旋转的性质可知：

BP=BP\ZPBPr=90°；

即：△PBP，为等腰直角三角形，

・・・NBPP』45。，

VZBPA=ZBPrC=135°,ZBPrP=45°,

・・・NBPA+NBPP'=180°,

即A、P、P，共线，

，ZPP'C=135°-45°=90°；

在RSPPC中，PP，=4夜,P，C=PA=2,根据勾股定理可得PC=6.

(2)如图2,将APAB绕点B顺时针旋转90。到4P-CB的位置，连接PP'.

同⑴①可知：△BPP，是等腰直角三角形，即PP@=2PB2；

VPA2+PC2=2PB2=PP，2,

/.PC2+P,C2=PP，2,

ZP,CP=90°；

•.,/PBP，=NPCP，=90。，在四边形BPCP，中，ZBP'C+ZBPC=180°；

•.,/BPA=/BPC

.".ZBPC+ZAPB=180°,即点P在对角线AC上.

23.(1)见解析(2)①5②3.6

【解析】(1)•••四边形ABCD是平行四边形,

；.AD〃BC,AD=BC,VBE=DF,

.•.AF=EC,...四边形AECF是平行四边形；

(2)①当EB=5时，四边形AECF是菱形；

理由：当四边形AECF是菱形时，

贝I」AE=EC,

/.ZEAC=ZECA.

VZEAC+ZB